第三节 函数的奇偶性及周期性
函数的奇偶性的定义
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)[或f(－x)＝－f(x)]，那么函数f(x)就叫做偶函数(奇函数)．
[提醒] 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．
[类题通法]
判定函数奇偶性的常用方法及思路
1．定义法：
2．图象法：
3．性质法：
(1)“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶；
(2)“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；
(3)“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．
[提醒] (1)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．
(2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．
1．周期函数
对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
2．最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
[类题通法]
1．判断函数周期性的两个方法
(1)定义法．
(2)图象法．
2．周期性三个常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a；
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a.(a>0)
[提醒] 应用函数的周期性时，应保证自变量在给定的区间内．
基础盘查一 函数的奇偶性
(一)循纲忆知
1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．
2．会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．
(二)小题查验
1．判断正误
(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0( )
(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点( )
(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数( )
(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件( )
答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√
2．(人教A版教材习题改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则x<0时，f(x)＝________.
答案：x(1－x)
3.已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________．
答案：
基础盘查二 函数的周期性
(一)循纲忆知
了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．
(二)小题查验
1．判断正误
(1)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期( )
(2)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数( )
答案：(1)√ (2)√
2．若函数f(x)是周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(8)－f(14)＝________.
答案：－1
[题组练透]
判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝3x－3－x；
(4)f(x)＝；
(5)f(x)＝
解：(1)∵由得x＝±1，
∴f(x)的定义域为{－1,1}．
又f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0，
即f(x)＝±f(－x)．
∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
(2)∵函数f(x)＝＋的定义域为，
不关于坐标原点对称，
∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
(3)∵f(x)的定义域为R，
∴f(－x)＝3－x－3x＝－(3x－3－x)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
(4)∵由得－2≤x≤2且x≠0.
∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，
∴f(x)＝＝＝，
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
(5)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x>0时，f(x)＝x2＋x，
则当x<0时，－x>0，
故f(－x)＝x2－x＝f(x)；
当x<0时，f(x)＝x2－x，则当x>0时，－x<0，
故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数．
[一题多变][典型母题]
设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求函数的最小正周期；(2)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)．[解] (1)∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)的最小正周期为4.(2)f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.又∵f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)＋f(2 015)＝0，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)＝0.
[题点发散1] 本例条件若改为：设定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2.试计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)的值．
解：因为f(x＋2)＝f(x)，所以周期T＝2.
又f(0)＝0，f(1)＝1，
所以f(0)＝f(2)＝f(4)＝…＝f(2 014)＝0，
f(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝f(2 015)＝1，
所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)＝1 008.
[题点发散2] 若本例中条件变为“f(x＋2)＝－”，求函数f(x)的最小正周期．
解：∵对任意x∈R，都有f(x＋2)＝－，
∴f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－＝－＝f(x)，
∴f(x)是以4为周期的周期函数．
[题点发散3] 在本例条件下，求f(x)(x∈[2,4])的解析式．
解：当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，
由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2，
又f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2.
∴f(x)＝x2＋2x.
又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，
∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．
又f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.
故x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.
[多角探明]
高考对于函数性质的考查，一般不会单纯地考查某一个性质，而是对奇偶性、周期性、单调性的综合考查.
归纳起来常见的命题角度有：(1)单调性与奇偶性结合；(2)周期性与奇偶性结合；(3)单调性、奇偶性与周期性结合.
角度一：单调性与奇偶性结合
1．(2015·洛阳统考)下列函数中，既是偶函数又在(－∞，0)上单调递增的是( )
A．y＝x2 B．y＝2|x|
C．y＝log2 D．y＝sin x
解析：选C 函数y＝x2在(－∞，0)上是减函数；函数y＝2|x|在(－∞，0)上是减函数；函数y＝log2＝－log2|x|是偶函数，且在(－∞，0)上是增函数；函数y＝sin x不是偶函数．综上所述，选C.
2．已知奇函数f(x)的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]上递减，求满足f(1－m)＋f(1－m2)<0的实数m的取值范围．
解：∵f(x)的定义域为[－2,2]，
∴解得－1≤m≤.①
又f(x)为奇函数，且在[－2,0]上递减，
∴f(x)在[－2,2]上递减，
∴f(1－m)<－f(1－m2)＝f(m2－1) 1－m>m2－1，
解得－2综合①②可知，－1≤m<1.
即实数m的取值范围是[－1,1)．
角度二：周期性与奇偶性结合
3．(2015·石家庄一模)已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)＜1，f(5)＝，则实数a的取值范围为( )
A．(－1,4) B．(－2,0)
C．(－1,0) D．(－1,2)
解：选A ∵f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数，
∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)，∵f(1)＜1，f(5)＝，∴＜1，即＜0，解得－1＜a＜4，故选A.
角度三：单调性、奇偶性与周期性结合
4．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( )
A．f(－25)＜f(11)＜f(80) B．f(80)＜f(11)＜f(－25)
C．f(11)＜f(80)＜f(－25) D．f(－25)＜f(80)解：选D ∵f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，
∴f(x－8)＝f(x)，∴函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．
由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．
∵f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，
∴f(x)在区间[－2,2]上是增函数，
∴f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．
[类题通法]
函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略
(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．
(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．
一、选择题
1．(2015·河南信阳二模)函数f(x)＝lg|sin x|是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为2π的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数
D．最小正周期为2π的偶函数
解析：选C 易知函数的定义域为，关于原点对称，又f(－x)＝lg |sin(－x)|＝lg |－sin x|＝lg |sin x|＝f(x)，所以f(x)是偶函数，又函数y＝|sin x|的最小正周期为π，所以函数f(x)＝lg|sin x|是最小正周期为π的偶函数．
2．(2015·大连测试)下列函数中，与函数y＝－3|x|的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是( )
A．y＝－ B．y＝log2|x|
C．y＝1－x2 D．y＝x3－1
解析：选C 函数y＝－3|x|为偶函数，在(－∞，0)上为增函数，选项B的函数是偶函数，但其单调性不符合，只有选项C符合要求．
3．(2015·唐山统考)f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x3＋ln(1＋x)．则当x＜0时，f(x)＝( )
A．－x3－ln(1－x) B．x3＋ln(1－x)
C．x3－ln(1－x) D．－x3＋ln(1－x)
解析：选C 当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝(－x)3＋ln(1－x)，∵f(x)是R上的奇函数，∴当x＞0时，f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)3＋ln(1－x)]，∴f(x)＝x3－ln(1－x)．
4．(2015·长春调研)已知函数f(x)＝，若f(a)＝，则f(－a)＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：选C 根据题意，f(x)＝＝1＋，而h(x)＝是奇函数，故f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(a)＝2－[1＋h(a)]＝2－f(a)＝2－＝，故选C.
5．(2015·甘肃天水一模)已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，若f(2)＝2，则f(2 014)的值为( )
A．2 B．0
C．－2 D．±2
解析：选A ∵g(－x)＝f(－x－1)，∴－g(x)＝f(x＋1)．
又g(x)＝f(x－1)，∴f(x＋1)＝－f(x－1)，
∴f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
则f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(2 014)＝f(2)＝2.
6．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1,2)
C．(－2,1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
解析：选C ∵f(x)是奇函数，∴当x＜0时，f(x)＝－x2＋2x.作出函数f(x)的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f(x)是R上的增函数，由f(2－a2)＞f(a)，得2－a2＞a，解得－2＜a＜1.
二、填空题
7．若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.
解析：法一：∵f(－x)＝f(x)对于x∈R恒成立，
∴|－x＋a|＝|x＋a|对于x∈R恒成立，两边平方整理得ax＝0对于x∈R恒成立，故a＝0.
法二：由f(－1)＝f(1)，得|a－1|＝|a＋1|得a＝0.
答案：0
8．(2015·江苏南通二模)设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③当0≤x≤1时，f(x)＝2x－1，则f＋f(1)＋f＋f(2)＋f＝________.
解析：依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2，
∴f＋f(1)＋f＋f(2)＋f
＝f＋f(1)＋f＋f(0)＋f
＝f＋f(1)－f＋f(0)＋f
＝f＋f(1)＋f(0)
＝2－1＋21－1＋20－1
＝.
答案：
9．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)－g(x)＝x，则f(1)，g(0)，g(－1)之间的大小关系是______________．
解析：在f(x)－g(x)＝x中，用－x替换x，得f(－x)－g(－x)＝2x，由于f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，因此得－f(x)－g(x)＝2x.于是解得f(x)＝，g(x)＝－，于是f(1)＝－，g(0)＝－1，g(－1)＝－，故f(1)>g(0)>g(－1)．
答案：f(1)>g(0)>g(－1)
10．设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝其中a，b∈R.若f＝f，则a＋3b的值为________．
解析：因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，所以f＝f，且f(－1)＝f(1)，故f＝f，从而＝－a＋1，即3a＋2b＝－2.①
由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝，即b＝－2a.②
由①②得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10.
答案：－10
三、解答题
11．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
解：(1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
结合f(x)的图象知
所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．
12．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积；
(3)写出(－∞，＋∞)内函数f(x)的单调区间．
解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)，得
f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，
∴f(x)是以4为周期的周期函数．
∴f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.
(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，
得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，
即f(1＋x)＝f(1－x)．
从而可知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．
又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．
设当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，
则S＝4S△OAB＝4×＝4.
(3)函数f(x)的单调递增区间为[4k－1,4k＋1](k∈Z)，
单调递减区间为[4k＋1,4k＋3](k∈Z)．第三节 函数的奇偶性及周期性
函数的奇偶性的定义
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)[或f(－x)＝－f(x)]，那么函数f(x)就叫做偶函数(奇函数)．
[提醒] 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．
[类题通法]
判定函数奇偶性的常用方法及思路
1．定义法：
2．图象法：
3．性质法：
(1)“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶；
(2)“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；
(3)“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．
[提醒] (1)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．
(2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．
1．周期函数
对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
2．最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
[类题通法]
1．判断函数周期性的两个方法
(1)定义法．
(2)图象法．
2．周期性三个常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a；
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a.(a>0)
[提醒] 应用函数的周期性时，应保证自变量在给定的区间内．
基础盘查一 函数的奇偶性
1．判断正误
(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0( )
(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点( )
(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数( )
(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件( )
2．(人教A版教材习题改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则x<0时，f(x)＝________.
3.已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________．
基础盘查二 函数的周期性
1．判断正误
(1)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期( )
(2)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数( )
2．若函数f(x)是周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(8)－f(14)＝________.
[题组练透]
判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝＋；(2)f(x)＝＋；(3)f(x)＝3x－3－x；
(4)f(x)＝；(5)f(x)＝
[一题多变][典型母题]
设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求函数的最小正周期；(2)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)．[解] (1)∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)的最小正周期为4.(2)f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.又∵f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)＋f(2 015)＝0，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)＝0.
[题点发散1] 本例条件若改为：设定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2.试计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)的值．
解：因为f(x＋2)＝f(x)，所以周期T＝2.
又f(0)＝0，f(1)＝1，
所以f(0)＝f(2)＝f(4)＝…＝f(2 014)＝0，
f(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝f(2 015)＝1，
所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)＝1 008.
[题点发散2] 若本例中条件变为“f(x＋2)＝－”，求函数f(x)的最小正周期．
解：∵对任意x∈R，都有f(x＋2)＝－，
∴f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－＝－＝f(x)，
∴f(x)是以4为周期的周期函数．
[题点发散3] 在本例条件下，求f(x)(x∈[2,4])的解析式．
解：当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，
由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2，
又f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2.
∴f(x)＝x2＋2x.
又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，
∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．
又f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.
故x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.
[多角探明]
高考对于函数性质的考查，一般不会单纯地考查某一个性质，而是对奇偶性、周期性、单调性的综合考查.
归纳起来常见的命题角度有：(1)单调性与奇偶性结合；(2)周期性与奇偶性结合；(3)单调性、奇偶性与周期性结合.
角度一：单调性与奇偶性结合
1．(2015·洛阳统考)下列函数中，既是偶函数又在(－∞，0)上单调递增的是( )
A．y＝x2 B．y＝2|x|
C．y＝log2 D．y＝sin x
2．已知奇函数f(x)的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]上递减，求满足f(1－m)＋f(1－m2)<0的实数m的取值范围．
角度二：周期性与奇偶性结合
3．(2015·石家庄一模)已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)＜1，f(5)＝，则实数a的取值范围为( )
A．(－1,4) B．(－2,0)
C．(－1,0) D．(－1,2)
角度三：单调性、奇偶性与周期性结合
4．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( )
A．f(－25)＜f(11)＜f(80) B．f(80)＜f(11)＜f(－25)
C．f(11)＜f(80)＜f(－25) D．f(－25)＜f(80)[类题通法]
函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略
(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．
(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．
一、选择题
1．(2015·河南信阳二模)函数f(x)＝lg|sin x|是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为2π的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数
D．最小正周期为2π的偶函数
2．(2015·大连测试)下列函数中，与函数y＝－3|x|的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是( )
A．y＝－ B．y＝log2|x|
C．y＝1－x2 D．y＝x3－1
3．(2015·唐山统考)f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x3＋ln(1＋x)．则当x＜0时，f(x)＝( )
A．－x3－ln(1－x) B．x3＋ln(1－x)
C．x3－ln(1－x) D．－x3＋ln(1－x)
4．(2015·长春调研)已知函数f(x)＝，若f(a)＝，则f(－a)＝( )
A. B．－
C. D．－
5．(2015·甘肃天水一模)已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，若f(2)＝2，则f(2 014)的值为( )
A．2 B．0
C．－2 D．±2
6．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1,2)
C．(－2,1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
二、填空题
7．若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.
8．(2015·江苏南通二模)设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③当0≤x≤1时，f(x)＝2x－1，则f＋f(1)＋f＋f(2)＋f＝________.
9．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)－g(x)＝x，则f(1)，g(0)，g(－1)之间的大小关系是______________．
10．设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝其中a，b∈R.若f＝f，则a＋3b的值为________．
三、解答题
11．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
12．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积；
(3)写出(－∞，＋∞)内函数f(x)的单调区间．
