不等式的应用[上学期]
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课件21张PPT。不等式的应用 能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法，解决有关不等式的问题；通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角、几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力；在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生数学素质及创新意识． 应用不等式知识解决较综合的有关不等式的问题．教学目的:教学重点:【问题】某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值. 解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为y元，根据题意，得 因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元。 评述：此题是应用数学方法解决实际问题的类型，因此特别应注意将问题数学化,即用准确的数学语言(函数解析式)来表达实际问题。同时此题又是不等式性质在求最值中的应用，所以要非常重视所涉及的不等式的适用条件。问题情景: 通过对上述问题的研究表明： 有些应用题，由于它所列出的式子中含有明确的基本不等式的外形特点，比较容易让人想到用不等式中的有关结论与方法去解决。但在应用不等式方法解决问题时，一定要注意不等式成立所需要的条件。不等式的应用，以均值不等式的应用居多! (1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)正确写出答案。用均值不等式解题的基本步骤数学构建:不等式的应用所需具备的基础知识:2．基本思想方法
（1）综合法――利用公式直接求解；（2）分析法――根据结论探索本原；
（3）图象法――借助图象数形结合； (4）穷举法――按照条件分类讨论；
（5）转化法――等价变换实现简化。1．基本不等式：知识运用:D基本练习4大-11/5（3）函数y=6x(4-x2) （0又由f(1)=0，得f(-1)=-f(1)=0．即－cos2θ+m cosθ－2m+2＜0．即2－cos2θ＜m（2－cosθ）而即注：本题也可设?(t)=-t2+mt-2m+2，0≤t≤1．将问题转化为：要使?(t)＜0，必须使?(t)在[0，1]内的最大值小于零．再来求解。评述：本题是一道比较综合的问题，用到许多函数知识，通过恰当的换元，使问题巧妙的转化为不等式“恒成立”的问题，或转化为二次函数在闭区间上的最值问题．学力发展: 为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2米的无盖长方体的沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比。现有制箱材料60平方米，问a、b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔面积忽略不计)。 分析：这是一道求最值的应用问题，我们的主要思想是先选取适当的变量，再依据题设，建立恰当的数学模型(即函数关系式)，然后再根据函数式所表现出来的数学特征，选取合适的方法求出最值。 如图，解法一：设y为流出的水中杂质的质量份数，根据题意可知：y＝ ，其中k＞0且k是比例系数依题意要使y最小，只需求ab的最大值。
由题设得：4b＋2ab＋2a＝60 （a＞0，b＞0）
即a＋2b＋ab＝30 （a＞0，b＞0)
∵a＋2b≥2 ∴2 ＋ab≤30
当且仅当a＝2b时取“＝”号，ab有最大值。
∴当a＝2b时有2 ＋ab＝30,即b2＋2b－15＝0
解之得：b1＝3，b2＝－５（舍去)∴a＝2b＝6
故当a＝6米，b＝3米时经沉淀后流出的水中杂质最少.解法二：设y为流出的水中杂质的质量份数，由题意可知：4b＋2ab＋2a＝60（a＞0，b＞0）
∴a＋2b＋ab＝30 （a＞0，b＞0）,∴b＝ （0＜a＜30）
由题设：y＝ ，其中k＞0且k是比例系数，依题只需ab取最大值.
∴y＝ ＝
≥
∴当且仅当a＋2＝ 时取“＝”号，即a＝6，b＝3时ab有最大值18。
故当a＝6米，b＝3米时经沉淀后流出的水中杂质最少课堂小结: 不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中．诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明，不等式应用问题体现了一定的综合性．这类问题大致可以分为两类：
一类是直接建立不等关系、求解或求证不等式；
一类是引入变量建立函数式，求函数的最大值或最小值．
利用平均值不等式求函数的最值时，要特别注意“正数、定值和相等”三个条件缺一不可，有时需要适当拼凑，使之符合这三个条件．课外作业:1．数学学习册必修5第78—79页２．高二数学必修V补充作业(12)多谢各位光临指导!
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)正确写出答案。用均值不等式解题的基本步骤数学构建:不等式的应用所需具备的基础知识:2．基本思想方法
（1）综合法――利用公式直接求解；（2）分析法――根据结论探索本原；
（3）图象法――借助图象数形结合； (4）穷举法――按照条件分类讨论；
（5）转化法――等价变换实现简化。1．基本不等式：知识运用:D基本练习4大-11/5（3）函数y=6x(4-x2) （0
由题设得：4b＋2ab＋2a＝60 （a＞0，b＞0）
即a＋2b＋ab＝30 （a＞0，b＞0)
∵a＋2b≥2 ∴2 ＋ab≤30
当且仅当a＝2b时取“＝”号，ab有最大值。
∴当a＝2b时有2 ＋ab＝30,即b2＋2b－15＝0
解之得：b1＝3，b2＝－５（舍去)∴a＝2b＝6
故当a＝6米，b＝3米时经沉淀后流出的水中杂质最少.解法二：设y为流出的水中杂质的质量份数，由题意可知：4b＋2ab＋2a＝60（a＞0，b＞0）
∴a＋2b＋ab＝30 （a＞0，b＞0）,∴b＝ （0＜a＜30）
由题设：y＝ ，其中k＞0且k是比例系数，依题只需ab取最大值.
∴y＝ ＝
≥
∴当且仅当a＋2＝ 时取“＝”号，即a＝6，b＝3时ab有最大值18。
故当a＝6米，b＝3米时经沉淀后流出的水中杂质最少课堂小结: 不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中．诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明，不等式应用问题体现了一定的综合性．这类问题大致可以分为两类：
一类是直接建立不等关系、求解或求证不等式；
一类是引入变量建立函数式，求函数的最大值或最小值．
利用平均值不等式求函数的最值时，要特别注意“正数、定值和相等”三个条件缺一不可，有时需要适当拼凑，使之符合这三个条件．课外作业:1．数学学习册必修5第78—79页２．高二数学必修V补充作业(12)多谢各位光临指导!