不等式的应用[上学期]
图片预览
内容文字预览
高二数学必修V教案36
不等式的应用
教学目的：能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法，解决有关不等式的问题；通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角、几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力；在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程当中，提高学生数学素质及创新意识．
教学重点：应用不等式知识解决较综合的有关不等式的问题．
教学过程：
一、问题情景
某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
分析：此类问题属应用题型，要想解决它，首先需要由实际问题向数学问题转化，一般情况下是要选择恰当的变量，建立相应的函数关系式，然后通过分析函数的特征来解决问题。
略解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l元，根据题意，得
当
因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元。
二、数学构建
通过对上述问题的研究表明： 有些应用题，由于它所列出的式子中含有明确的基本不等式的外形特点，比较容易让人想到用不等式中的有关结论与方法去解决。但在应用不等式方法解决问题时，一定要注意不等式成立所需要的条件。不等式的应用，以均值不等式的应用居多!
1．用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)正确写出答案。
2．不等式的应用所需具备的基础知识
1．基本不等式：
2．基本思想方法
（1）综合法――利用公式直接求解；（2）分析法――根据结论探索本原；
（3）图象法――借助图象数形结合；（4）穷举法――按照条件分类讨论；
（5）转化法――等价变换实现简化。
不等式的有关知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用．它的应用不仅有一定的综合性、灵活多样性，有时候还具有隐蔽性。所以同学们要将不等式知识与其它数学各部分知识融汇贯通，在解决问题中，紧紧抓住问题中的题设、题断的结构特点、内在联系进行思考，选择适当的解决方案，将问题转化为不等式的求解或证明．
三、知识运用
【例1】下列命题中正确的是（ ）
A 函数的最小值为2 B 的最小值为2
C 函数的最小值为
D 函数的最大值为
基本练习：
（1）若，则的最小值是 。
（2）设，，且恒成立，则c的最大值为最大值为 。
（3）若，则函数y=有最 值是 。
【例2】（1）若x >0, y >0且，则x + y的最小值是 。
（2）若a,b∈R，且a>>0，则的最小值是 。
（3）函数y=6x(4-x2) （0【例3】现在一些家庭常常在一张圆桌上方，装一只“拉灯”，由于该灯到桌面的距离可以调节，这样桌面上的光线亮度可以根据不同需要加以选择。根据光学上的定律，电灯A到圆桌边缘B的照明度为，其中k为电灯的发光强度，l为电灯到圆桌边缘的距离，为电灯到圆桌边缘光线与桌面所成的角，那么半径为r的圆桌上方多高作为灯的位置(如图2)，才能使桌子边缘上的照度最大？
解：因为在公式中，，且在Rt⊿AOB中，，代入上式得：。所以求I的最大值问题，归结为求在的条件下，函数的最大值的问题。
由不等式知：
所以，从而。
当且仅当时，即时，取得最大值。
评述：利用均值定理求函数的最大值时，要注意等号成立的条件．当“和”为定值时，“积”有最大值．在解决具体问题时，“和”为定值的情形往往需适当的配凑．
【例4】已知奇函数f(x)在(-∞，0)∪(0，+∞)上有定义，且在(0，+∞)上是增函数，f(1)=0，又知函数g(θ)=sin2θ+mcosθ-2m，θ∈[0，]，集合M、N满足M={m|g(θ)＜0}, N={m|f(g(θ))＜0}，求M∩N。
分析 欲求M∩N，只需将不等式“f(g(θ))＜0”转化为g(θ)＜a或g(θ)＞a型不等式，要达到这一目的，必须知道函数f(x)的增减性．
解：因为奇函数f(x)在(0，+∞)上是增函数，所以f(x)在(-∞，0)上也是增函数．
又由f(1)=0，得f(-1)=-f(1)=0．
所以满足的条件为，即。
由此得，对任意，sin2θ+m cosθ-2m＜－1恒成立，
即－cos2θ+m cosθ－2m+2＜0．即2－cos2θ＜m（2－cosθ）
设，由知，所以对任意，有
，从而。而，当时取等号。故：即为所求的范围。
注：本题也可设(t)=-t2+mt-2m+2，0≤t≤1．将问题转化为：要使(t)＜0，必须使(t)在[0，1]内的最大值小于零．
评述：本题是一道比较综合的问题，用到许多函数知识，通过恰当的换元，使问题巧妙的转化为二次函数在闭区间上的最值问题．
四、学力发展
【1】如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2米的无盖长方体的沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比。现有制箱材料60平方米，问a、b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔面积忽略不计)。
分析：这是一道求最值的应用问题，我们的主要思想是先选取适当的变量，再依据题设，建立恰当的数学模型(即函数关系式)，然后再根据函数式所表现出来的数学特征，选取合适的方法求出最值。
解法一：设y为流出的水中杂质的质量份数，根据题意可知：y＝，其中k＞0且k是比例系数依题意要使y最小，只需求ab的最大值。
由题设得：4b＋2ab＋2a＝60 （a＞0，b＞0）
即a＋2b＋ab＝30 （a＞0，b＞0)
∵a＋2b≥2 ∴2＋ab≤30
当且仅当a＝2b时取“＝”号，ab有最大值。
∴当a＝2b时有2＋ab＝30,即b2＋2b－15＝0
解之得：b1＝3，b2＝－５（舍去)∴a＝2b＝6
故当a＝6米，b＝3米时经沉淀后流出的水中杂质最少
解法二：设y为流出的水中杂质的质量份数，由题意可知：4b＋2ab＋2a＝60（a＞0，b＞0）
∴a＋2b＋ab＝30 （a＞0，b＞0）,∴b＝ （0＜a＜30）
由题设：y＝，其中k＞0且k是比例系数，依题只需ab取最大值
∴y＝＝
≥
∴当且仅当a＋2＝时取“＝”号，即a＝6，b＝3时ab有最大值18。
故当a＝6米，b＝3米时经沉淀后流出的水中杂质最少
评述：均值不等式在实际问题中的应用相当广泛，解题过程为：(1)先构造定值；(2)出现关系式；(3)验证“＝”号成立
【2】设集合M={(x,y)|x=(y+3)|y-1|+(y+3),-5/2≤y≤3}，若(a,b)∈M，且对M中的其它元素(c，d)，总有c≥a，则a= ．
分析：怎样理解“对M中的其它元素(c，d)，总有c≥a”？M中的元素又有什么特点？这里我们要读懂并能揭示问题中的数学实质，才能找到解决该问题的突破口．
解：依题可知，本题等价于求函数x=f(y)=(y+3)·|y-1|+(y+3) 在时的最小值。
(1)当时，
所以，时，。
(2)当1≤y≤3时，
所以当y=1时，xmin=4．
而，因此当时，x有最小值，即。
评述：题设条件中出现集合的形式，因此要认清集合元素的本质属性，然后结合条件，揭露其数学实质．即求集合M中的元素满足关系式x=f(y)=(y+3)·|y-1|+(y+3) 在
时的所有点中横坐标最小的a值。
五、课堂小结
不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中．诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明，不等式应用问题体现了一定的综合性．这类问题大致可以分为两类：
一类是建立不等式、解不等式；
另一类是建立函数式求最大值或最小值．
利用平均值不等式求函数的最值时，要特别注意“正数、定值和相等”三个条件缺一不可，有时需要适当拼凑，使之符合这三个条件．
六、课外练习
1. 函数y=2sinxsin2x的最大值是( )．
A B C D
2. 函数y=(sin2x+csc2x)+(cos2x+sec2x)的最小值是( )．
A4 B3 C5 D不存在
3. 设，，，则A、B的大小关系是 。
4. 设实数x，y满足x2+(y-1)2=1，当x+y+d≥0恒成立时，d∈ 。
5. 方程4y2+4xy+x+6=0的曲线上的点到y轴的距离的最小值为__2__．
6. 已知正数x,y满足x+2y=1，求的最小值。
7. 已知关于x的方程loga(x-3)=1+loga(x+2)+loga(x-1)有实根，则实数a的取值范围是____．
8. 若满足关于x的不等式lg(20-5x2)＞lg(a-x)+1的x的整数值只有1，则实数a的取值范围是____．
9. 圆柱轴截面的周长l为定值，那么圆柱体积的最大值是 ．
10. 已知2x+4y=1，x2+y2≥t，则t的最大值为 ．
11. 定义在(-∞，3]上的减函数f(x)使得：f(a2-sinx)≤f(a+1+cos2x)对一切x∈R成立，求实数a的取值范围．
12. 有一块边长为36cm的正三角形铁皮，从它的三个角上剪下三个全等的四边形后做成一个无盖正三棱柱容器，要使这个容器的容积最大，剪下的三个四边形面积之和等于多少？
13. 青工小李需制作一批容积为V的圆锥形漏斗，欲使其用料最省，问漏斗高与漏斗底面半径应具有怎样的比例？
14. 轮船每小时使用燃料费用(单位：元)和轮船速度(单位：海里／时)的立方成正比．已知某轮船的最大船速是18海里／时，当速度是10海里／时时，它的燃料费用是每小时30元，其余费用(不论速度如何)都是每小时480元，如果甲、乙两地相距1000海里，求轮船从甲地行驶到乙地，所需的总费用与船速的函数关系，并问船速为多少时，总费用最低？
，当海里/时，可使总费用最低。
设计说明
学习数学不仅要加强基本知识、数学思想方法、技能等方面的训练，还应提高学生运用所学数学知识解决较综合问题的能力，即要提高学以致用的能力．在复习过程中，启发学生根据问题的条件和结论所提供的信息，结合自己所学的数学知识，探索解决问题的思路，寻找解决问题的方法，创设问题情境，使学生在共同探索、讨论、交流过程中，寻求问题的解决方案．当学生认为问题解决完时，教师及时提出一些问题．比如：还有没有更好的解决方案？条件能否改变？结论能否推广？求解过程中暴露了什么问题？等等，经常这样做，有助于提高学生思维的深刻性、广阔性，并且也为将来的创新埋下了“种子”．
不等式的应用
教学目的：能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法，解决有关不等式的问题；通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角、几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力；在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程当中，提高学生数学素质及创新意识．
教学重点：应用不等式知识解决较综合的有关不等式的问题．
教学过程：
一、问题情景
某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
分析：此类问题属应用题型，要想解决它，首先需要由实际问题向数学问题转化，一般情况下是要选择恰当的变量，建立相应的函数关系式，然后通过分析函数的特征来解决问题。
略解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l元，根据题意，得
当
因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元。
二、数学构建
通过对上述问题的研究表明： 有些应用题，由于它所列出的式子中含有明确的基本不等式的外形特点，比较容易让人想到用不等式中的有关结论与方法去解决。但在应用不等式方法解决问题时，一定要注意不等式成立所需要的条件。不等式的应用，以均值不等式的应用居多!
1．用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)正确写出答案。
2．不等式的应用所需具备的基础知识
1．基本不等式：
2．基本思想方法
（1）综合法――利用公式直接求解；（2）分析法――根据结论探索本原；
（3）图象法――借助图象数形结合；（4）穷举法――按照条件分类讨论；
（5）转化法――等价变换实现简化。
不等式的有关知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用．它的应用不仅有一定的综合性、灵活多样性，有时候还具有隐蔽性。所以同学们要将不等式知识与其它数学各部分知识融汇贯通，在解决问题中，紧紧抓住问题中的题设、题断的结构特点、内在联系进行思考，选择适当的解决方案，将问题转化为不等式的求解或证明．
三、知识运用
【例1】下列命题中正确的是（ ）
A 函数的最小值为2 B 的最小值为2
C 函数的最小值为
D 函数的最大值为
基本练习：
（1）若，则的最小值是 。
（2）设，，且恒成立，则c的最大值为最大值为 。
（3）若，则函数y=有最 值是 。
【例2】（1）若x >0, y >0且，则x + y的最小值是 。
（2）若a,b∈R，且a>>0，则的最小值是 。
（3）函数y=6x(4-x2) （0
解：因为在公式中，，且在Rt⊿AOB中，，代入上式得：。所以求I的最大值问题，归结为求在的条件下，函数的最大值的问题。
由不等式知：
所以，从而。
当且仅当时，即时，取得最大值。
评述：利用均值定理求函数的最大值时，要注意等号成立的条件．当“和”为定值时，“积”有最大值．在解决具体问题时，“和”为定值的情形往往需适当的配凑．
【例4】已知奇函数f(x)在(-∞，0)∪(0，+∞)上有定义，且在(0，+∞)上是增函数，f(1)=0，又知函数g(θ)=sin2θ+mcosθ-2m，θ∈[0，]，集合M、N满足M={m|g(θ)＜0}, N={m|f(g(θ))＜0}，求M∩N。
分析 欲求M∩N，只需将不等式“f(g(θ))＜0”转化为g(θ)＜a或g(θ)＞a型不等式，要达到这一目的，必须知道函数f(x)的增减性．
解：因为奇函数f(x)在(0，+∞)上是增函数，所以f(x)在(-∞，0)上也是增函数．
又由f(1)=0，得f(-1)=-f(1)=0．
所以满足的条件为，即。
由此得，对任意，sin2θ+m cosθ-2m＜－1恒成立，
即－cos2θ+m cosθ－2m+2＜0．即2－cos2θ＜m（2－cosθ）
设，由知，所以对任意，有
，从而。而，当时取等号。故：即为所求的范围。
注：本题也可设(t)=-t2+mt-2m+2，0≤t≤1．将问题转化为：要使(t)＜0，必须使(t)在[0，1]内的最大值小于零．
评述：本题是一道比较综合的问题，用到许多函数知识，通过恰当的换元，使问题巧妙的转化为二次函数在闭区间上的最值问题．
四、学力发展
【1】如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2米的无盖长方体的沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比。现有制箱材料60平方米，问a、b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔面积忽略不计)。
分析：这是一道求最值的应用问题，我们的主要思想是先选取适当的变量，再依据题设，建立恰当的数学模型(即函数关系式)，然后再根据函数式所表现出来的数学特征，选取合适的方法求出最值。
解法一：设y为流出的水中杂质的质量份数，根据题意可知：y＝，其中k＞0且k是比例系数依题意要使y最小，只需求ab的最大值。
由题设得：4b＋2ab＋2a＝60 （a＞0，b＞0）
即a＋2b＋ab＝30 （a＞0，b＞0)
∵a＋2b≥2 ∴2＋ab≤30
当且仅当a＝2b时取“＝”号，ab有最大值。
∴当a＝2b时有2＋ab＝30,即b2＋2b－15＝0
解之得：b1＝3，b2＝－５（舍去)∴a＝2b＝6
故当a＝6米，b＝3米时经沉淀后流出的水中杂质最少
解法二：设y为流出的水中杂质的质量份数，由题意可知：4b＋2ab＋2a＝60（a＞0，b＞0）
∴a＋2b＋ab＝30 （a＞0，b＞0）,∴b＝ （0＜a＜30）
由题设：y＝，其中k＞0且k是比例系数，依题只需ab取最大值
∴y＝＝
≥
∴当且仅当a＋2＝时取“＝”号，即a＝6，b＝3时ab有最大值18。
故当a＝6米，b＝3米时经沉淀后流出的水中杂质最少
评述：均值不等式在实际问题中的应用相当广泛，解题过程为：(1)先构造定值；(2)出现关系式；(3)验证“＝”号成立
【2】设集合M={(x,y)|x=(y+3)|y-1|+(y+3),-5/2≤y≤3}，若(a,b)∈M，且对M中的其它元素(c，d)，总有c≥a，则a= ．
分析：怎样理解“对M中的其它元素(c，d)，总有c≥a”？M中的元素又有什么特点？这里我们要读懂并能揭示问题中的数学实质，才能找到解决该问题的突破口．
解：依题可知，本题等价于求函数x=f(y)=(y+3)·|y-1|+(y+3) 在时的最小值。
(1)当时，
所以，时，。
(2)当1≤y≤3时，
所以当y=1时，xmin=4．
而，因此当时，x有最小值，即。
评述：题设条件中出现集合的形式，因此要认清集合元素的本质属性，然后结合条件，揭露其数学实质．即求集合M中的元素满足关系式x=f(y)=(y+3)·|y-1|+(y+3) 在
时的所有点中横坐标最小的a值。
五、课堂小结
不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中．诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明，不等式应用问题体现了一定的综合性．这类问题大致可以分为两类：
一类是建立不等式、解不等式；
另一类是建立函数式求最大值或最小值．
利用平均值不等式求函数的最值时，要特别注意“正数、定值和相等”三个条件缺一不可，有时需要适当拼凑，使之符合这三个条件．
六、课外练习
1. 函数y=2sinxsin2x的最大值是( )．
A B C D
2. 函数y=(sin2x+csc2x)+(cos2x+sec2x)的最小值是( )．
A4 B3 C5 D不存在
3. 设，，，则A、B的大小关系是 。
4. 设实数x，y满足x2+(y-1)2=1，当x+y+d≥0恒成立时，d∈ 。
5. 方程4y2+4xy+x+6=0的曲线上的点到y轴的距离的最小值为__2__．
6. 已知正数x,y满足x+2y=1，求的最小值。
7. 已知关于x的方程loga(x-3)=1+loga(x+2)+loga(x-1)有实根，则实数a的取值范围是____．
8. 若满足关于x的不等式lg(20-5x2)＞lg(a-x)+1的x的整数值只有1，则实数a的取值范围是____．
9. 圆柱轴截面的周长l为定值，那么圆柱体积的最大值是 ．
10. 已知2x+4y=1，x2+y2≥t，则t的最大值为 ．
11. 定义在(-∞，3]上的减函数f(x)使得：f(a2-sinx)≤f(a+1+cos2x)对一切x∈R成立，求实数a的取值范围．
12. 有一块边长为36cm的正三角形铁皮，从它的三个角上剪下三个全等的四边形后做成一个无盖正三棱柱容器，要使这个容器的容积最大，剪下的三个四边形面积之和等于多少？
13. 青工小李需制作一批容积为V的圆锥形漏斗，欲使其用料最省，问漏斗高与漏斗底面半径应具有怎样的比例？
14. 轮船每小时使用燃料费用(单位：元)和轮船速度(单位：海里／时)的立方成正比．已知某轮船的最大船速是18海里／时，当速度是10海里／时时，它的燃料费用是每小时30元，其余费用(不论速度如何)都是每小时480元，如果甲、乙两地相距1000海里，求轮船从甲地行驶到乙地，所需的总费用与船速的函数关系，并问船速为多少时，总费用最低？
，当海里/时，可使总费用最低。
设计说明
学习数学不仅要加强基本知识、数学思想方法、技能等方面的训练，还应提高学生运用所学数学知识解决较综合问题的能力，即要提高学以致用的能力．在复习过程中，启发学生根据问题的条件和结论所提供的信息，结合自己所学的数学知识，探索解决问题的思路，寻找解决问题的方法，创设问题情境，使学生在共同探索、讨论、交流过程中，寻求问题的解决方案．当学生认为问题解决完时，教师及时提出一些问题．比如：还有没有更好的解决方案？条件能否改变？结论能否推广？求解过程中暴露了什么问题？等等，经常这样做，有助于提高学生思维的深刻性、广阔性，并且也为将来的创新埋下了“种子”．