【班海精品】人教版（新）七下-5.3 平行线的性质 第二课时【优质课件】

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5.3 平行线的性质
第2课时
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平行线的三个性质：
两直线平行，同位角相等．
两直线平行，内错角相等．
两直线平行，同旁内角互补．
新课精讲
探索新知
1
知识点
平行线的性质的应用
下图是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A=100°，∠B=115°， 梯形的另外两个角分别是多少度？
例1
探索新知
因为梯形上、下两底AB 与DC 互相平行，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得∠A 与∠D 互补， ∠B与∠C 互.补于是∠D = 180°-∠A=180°-100°=80°，
∠C = 180°-∠B=180°-115°=65° .
所以梯形的另外两个角分别是80°，65°.
解：
探索新知
例2 如图，将一张长方形的纸片沿EF 折叠后，点D，C 分别落在D ′，C ′位置上，ED ′与BC 的交点为点G，若∠EFG＝50°，求∠EGB 的度数．
探索新知
导引：本题根据长方形的对边是平行的，利用平行线
的性质：两直线平行，内错角相等，先求
∠DEF＝50°，再根据折叠前后的对应角相等
求得∠D′EF＝50°，然后根据平角的定义得
∠AEG＝80°，最后根据两直线平行，同旁内
角互补求得∠EGB＝100°.
解：∵四边形ABCD是长方形(已知)，
∴∠A＝∠B＝90°(长方形的定义)．
∴∠A＋∠B＝180°，
探索新知
∴AD∥BC (同旁内角互补，两直线平行)．
∴∠DEF＝∠EFG (两直线平行，内错角相等)．
∵∠EFG＝50°(已知)，
∴∠DEF＝50°(等量代换)．
∵∠DEF＝∠D′EF (折叠的性质)，
∴∠D′EF＝50°(等量代换)．
∴∠AEG＝180°－∠DEF－∠D′EF＝80°(平角的定义)．
又∵AD∥BC，
∴∠AEG＋∠EGB＝180°(两直线平行，同旁内角互补)，
∴∠EGB＝180°－∠AEG＝180°－80°＝100°.
探索新知
总 结
解决折叠问题的关键是找到折叠前后相等的角，
然后熟练利用平行线的性质来求角的度数．
典题精讲
1
如图，直线AB∥CD，AF 交CD于点E，∠CEF＝140°，则∠A等于(　　)
A．35°
B．40°
C．45°
D．50°
B
典题精讲
2
如图，在平行线a，b之间放置一块直角三角板，三角板的顶点A，B 分别在直线a，b上，则∠1＋∠2的值为（　　）
A．90°
B．85°
C．80°
D．60°
A
典题精讲
3
如图，将长方形纸片ABCD沿BD 折叠，得到△BC′D，C′D与AB交于点E. 若∠1＝35°，则∠2的度数为（　　）
A．20°
B．30°
C．35°
D．55°
A
典题精讲
4
如图是我们常用的折叠式小刀，刀柄外形是一个长方形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成如图所示的∠1与∠2，则∠1与∠2的度数和是__________度．
90
探索新知
2
知识点
平行线的判定的应用
例3 如图所示，∠B＝∠D，∠CEF＝∠A.试问CD与EF 平行吗？
为什么？
探索新知
导引：
1.要说明CD∥EF，我们无法找出相等的同位角、内错角，也无法说明其同旁内角互补，因此需找第三条直线与它们平行(即AB∥CD，AB∥EF )，这都能由已知∠B＝∠D， ∠CEF＝∠A 说明．
2.由已知∠B＝∠D，∠CEF＝∠A很容易就能得出AB∥CD及EF∥AB，再由如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行就可得到CD∥EF.
探索新知
解：CD∥EF，理由：
∵∠B＝∠D，
∴AB∥CD (内错角相等，两直线平行)．
∵∠CEF＝∠A，
∴EF∥AB (同位角相等，两直线平行)．
∴CD∥EF (平行于同一条直线的两条直线平行)．
探索新知
总 结
找寻说明平行的方法：
1. 分析法：由结论往前推，要说明这个结论成立需要什么样
的条件，一直递推到已知条件为止；(如导引1)
2. 综合法：由已知条件一步一步往后推理，看这个已知条件
能推出什么结论， 一直推导出要说明的结论为止； (如导引2)
3. 两头凑：当遇到复杂问题的时候，我们常常将分析法和综
合法同时进行，即由两头向中间推，寻找到中间的结合点．
探索新知
例4 光线从空气射入水中时，传播方向会发生改变，这种现象叫做光的折射现象．同样，光线从水中射入空气中时，也会发生折射现象，一束光线从空气射入水中再从水中射入空气中时，光线的传播方向如图，其中，直线a，b 都表示空气与水的分界面．已知∠1＝∠4，∠2＝∠3，请你判断光线c与d 是否平行？为什么？
探索新知
导引：
设光线在水中的部分为e，e 与直线a 所成的钝角为∠5，e 与直线b 所成的钝角为∠6，只要能说明∠1＋∠5＝∠4＋∠6，则根据“内错角相等，两直线平行”即可判定c∥d.
探索新知
解：c∥d.理由如下：
如图，设光线在水中的部分为e.
∵∠2＋∠5＝180°，∠3＋∠6＝180°，
∠2＝∠3，
∴∠5＝∠6(等角的补角相等)．
又∵∠1＝∠4，
∴∠1＋∠5＝∠4＋∠6.
∴c∥d (内错角相等，两直线平行)．
探索新知
总 结
判断光线c 与d 是否平行，应首先解决两个关键问
题，一是把实物图抽象为“三线八角”的基本图形；
二是把直线c，d 看作被直线e 所截的两条直线．如此，
问题转化为说明∠1＋∠5＝∠4＋∠6.
典题精讲
1
如图，已知BE 平分∠ABC，CF 平分∠BCD，∠1＝∠2，那么直线AB 与CD 的位置关系是________．
平行
典题精讲
2
如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（　　）
A．15°
B．22.5°
C．30°
D．45°
A
探索新知
3
知识点
平行线的性质与判定的综合应用
平行线的性质与判定之间既有联系又有区别，一定不可混淆二者的条件和结论，要把它们严格区别开来．
分类 条件 结论
平行线的判定 同位角相等
两直线平行
内错角相等 同旁内角互补 平行线的性质 两直线平行 同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
探索新知
例5 如图，已知∠ABC 与∠ECB 互补，∠1＝∠2，则∠P 与∠Q 一定相
等吗？说说你的理由．
导引：如果∠P 和∠Q 相等，那么PB∥CQ，
∴要判断∠P 与∠Q 是否相等，只需判
断PB 和CQ 是否平行．要说明PB∥CQ，
可以通过说明∠PBC＝∠BCQ 来实现，
由于∠1＝∠2，因此只需说明∠ABC＝
∠BCD 即可．
探索新知
解：∠P＝∠Q.
理由如下：∵∠ABC 与∠ECB 互补(已知)，
∴AB∥ED (同旁内角互补，两直线平行)．
∴∠ABC＝∠BCD (两直线平行，内错角相等)．
∵∠1＝∠2(已知)，
∴∠ABC－∠1＝∠BCD－∠2(等式的性质)，
即∠PBC＝∠BCQ.
∴PB∥CQ (内错角相等，两直线平行)．
∴∠P＝∠Q (两直线平行，内错角相等)．
探索新知
总 结
一个数学问题的构成含有四个要素：题目的条
件、解题的依据、解题的方法、题目的结论，如果
题目所含的四个要素解题者已经知道或者结论虽未
指明，但它是完全确定的，这样的问题就是封闭性
的数学问题．
典题精讲
1
如图，若∠A＋∠ABC＝180°，则下列结论正确的是（　　）
A．∠1＝∠2
B．∠2＝∠3
C．∠1＝∠3
D．∠2＝∠4
D
典题精讲
2
如图，在三角形ABC 中，CE⊥AB 于E，DF⊥AB 于F，AC∥ED，CE 是∠ACB 的平分线，则图中与∠FDB 相等的角（不包含∠FDB）的个数为（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
B
典题精讲
3
如图，直线a，b 被直线c，d 所截，若∠1＝80°，∠2＝100°，∠3＝85°，则∠4的度数是（　　）
A．80°
B．85°
C．95°
D．100°
B
易错提醒
如图，已知∠ABC，请你再画一个∠DEF，使DE∥AB，EF∥BC，且DE 交BC 边于点P.探究：∠ABC 与∠DEF 有怎样的数量关系？并说明理由．
易错提醒
解：
画图如图①②③④所示．∠ABC 与∠DEF 相等或互补，
理由如下：
如图①，∵AB∥DE，
∴∠ABC＝∠DPC.
∵BC∥EF，∴∠DEF＝∠DPC.
∴∠ABC＝∠DEF.
如图②，∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠EPC.
∵BC∥EF，∴∠EPC＝∠DEF.∴∠ABC＝∠DEF.
如图③，∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠BPE.∵BC∥EF，
∴∠DEF＋∠BPE＝180°.∴∠ABC＋∠DEF＝180°.
易错提醒
易错点：画图考虑不周导致漏解.
如图④，∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠EPC.
∵BC∥EF，∴∠EPC＋∠DEF＝180°.
∴∠ABC＋∠DEF＝180°.
综上可知，∠ABC 与∠DEF 相等或互补．
学以致用
小试牛刀
一个人从A地出发向北偏东60°方向走了一段距离到B 地，再从B地出发，向南偏西15°方向走了一段距离到达C 地，则∠ABC 的度数是______________．
45°
1
小试牛刀
如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则∠α 与∠β 满足（　　）
A．∠α＋∠β＝180°
B．∠β－∠α＝90°
C．∠β＝3∠α
D．∠α＋∠β＝90°
B
2
小试牛刀
如图，已知三角形ABC中，CD⊥AB，E，F，G 分别在BC，AB，AC上，且EF⊥AB，∠1＝∠2，试判断DG 与BC 的位置关系，并说明理由．
DG∥BC.理由如下：∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴CD∥EF.∴∠1＝∠DCB.
又∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠DCB，
∴DG∥BC.
解：
3
小试牛刀
如图， AB∥CD，BN，DN 分别平分∠ABM，∠MDC，则∠BMD与∠N 之间的数量关系如何？请说明理由．
∠BMD＝2∠N.理由如下：
如图，过点M 作ME∥AB，
则∠ABM＝∠BME.
∵AB∥CD，ME∥AB，∴ME∥CD.
∴∠CDM＝∠DME.
∴∠ABM＋∠CDM＝∠BME＋∠DME＝∠BMD.
解：
4
小试牛刀
同理∠N＝∠ABN＋∠CDN.
∵BN，DN 分别平分∠ABM，∠MDC，
∴∠ABM＝2∠ABN，∠CDM＝2∠CDN.
∴∠ABM＋∠CDM＝2∠ABN＋2∠CDN.
∴∠BMD＝2∠N.
小试牛刀
阅读下列解题过程，然后解答后面的问题．
如图①，已知AB∥CD，∠B＝35°，∠D＝32°，
求∠BED 的度数．
解：如图①，过点E 作EF∥AB.
则AB∥CD∥EF（平行公理的推论）.
∵AB∥EF，∴∠1＝∠B＝35°.
∵CD∥EF，∴∠2＝∠D＝32°.
∴∠BED＝∠1＋∠2＝35°＋32°＝67°.
5
小试牛刀
如图，A，B 两岛位于东西方向的一条水平线上，
C 岛在A 岛的北偏东50°方向，C 岛在B 岛的北偏西
40°方向，求∠ACB 的度数．
6
小试牛刀
解：
如图，过点A，C，B 分别画出南北方向的方向线，
由题意，得∠EAC＝50°，∠FBC＝40°.
∵AE∥DC∥BF，
∴∠ACD＝∠EAC＝50°，∠BCD＝∠FBC＝40°.
∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝50°＋40°＝90°.
课堂小结
课堂小结
两直线平行
同位角相等
内错角相等
平行线的判定
平行线的性质
线的关系
角的关系
性质
角的关系
线的关系
判定
平行线的判定与平行线的性质的关系：
同学们，
下节课见！
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