【班海精品】人教版（新）七下-8.2 消元——解二元一次方程组 第二课时【优质课件】

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8.2 消元——解二元一次方程组
第2课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
主要步骤：
基本思路：
写解
求解
代入
把变形后的方程代入到另一个方程中，消去一个元
分别求出两个未知数的值
写出方程组的解
变形
用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数, 写成y=ax+b 或x=ay+b
消元： 二元
1、解二元一次方程组的基本思路是什么？
2、用代入法解方程的步骤是什么？
一元
新课精讲
探索新知
1
知识点
直接加减消元
把②变形得 代入①，不就消去x了!
怎样解右面的二元一次方程组呢？
探索新知
按小丽的思路，你能消去一个未知数吗
把②变形得5y＝2x＋11,可以直接代入①呀！
5y 和－5y 互为相反数……
探索新知
两个方程相加，可以得到5x = 10,
x = 2.
将x = 2代入①，得 6 + 5y = 21，
y = 3.
所以方程组
的解是
探索新知
加减法定义：当二元一次方程组的两个方程中同
一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边
分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一
元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法．
探索新知
用加减法解方程组：
例1
导引：
两个方程中x 的系数相同，y 的系数互为相反数，
这样可以把两个方程相加消去y，或者把两个方
程相减消去x.
方法一：①＋②，得6x＝12，解得x＝2.把x＝2
代入②，得3×2＋7y＝13，解得y＝1.
所以原方程组的解为
解：
探索新知
方法二：①－②，得－14y＝－14，解得y＝1.
把y＝1代入①，得3x－7×1＝－1，解得x＝2.
所以原方程组的解为
探索新知
当二元一次方程组的两个方程中同一未知数
的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相
加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一
次方程，然后解答方程即可.
总 结
典题精讲
1 方程组 中，x 的系数的特点是_______，
方程组 中，y 的系数的特点是 ____________，
这两个方程组用________消元法解较简便．
相等
互为相反数
加减
典题精讲
2
方程组 既可以用__________消去未知数_____；也可以用 消去未知数______．
①＋②
y
①－②或②－①
x
典题精讲
3 用加减法解方程组 时，①－②得(　　)
A．5y＝2
B．－11y＝8
C．－11y＝2
D．5y＝8
A
典题精讲
4
解方程组 时，用加减消元法最简便的是(　　)
A．①＋②
B．①－②
C．①×2－②×3
D．①×3＋②×2
A
探索新知
2
知识点
先变形，再加减消元
如果二元一次方程组的未知数的系数相同或互为相反数，我们可以运用加减法来解．那么对于一些系数不同或不互为相反数的二元一次方程组，还能用加减法来解吗
探索新知
用加减法解方程组：
例2
这两个方程中没有同一个未知数的系数相反或相
等，直接加减这两 个方程不能消元. 我们对方程
变形，使得这两个方程中某个未知数的系数相反
或相等.
分析：
探索新知
解：
①×3，得 9x+12y=48. ③
②×2，得 10x-12y =66. ④
③+④，得19x=114，
即 x=6.
把x=6代入① ，得 3×6+4y =16，
4y= -2，
y＝
所以这个方程组的解是
探索新知
例3 解方程组：
导引：方程组中，两个方程中y 的系数的绝对值成倍数关系，
方程②乘以3就可与方程①相加消去y.
解： 由②×3，得 51x－9y＝222，③
由①＋③，得 59x＝295，解得 x＝5.
把x＝5代入①，得8×5＋9y＝73，解得
所以原方程组的解为
典题精讲
1 用加减法解方程组：
典题精讲
①＋②，得4x＝8，
解这个方程，得x＝2.
把x＝2代入①，得y＝ .
因此，这个方程组的解是
解：
典题精讲
①×2，得10x＋4y＝50.③
③－②，得7x＝35，解这个方程，得x＝5.
把x＝5代入①，得5×5＋2y＝25，y＝0.
因此，这个方程组的解是
解：
典题精讲
①×3，得6x＋15y＝24.③
②×2，得6x＋4y＝10.④
③－④，得11y＝14，y＝ .
把y＝ 代入①，得2x＋5× ＝8，x＝ .
因此，这个方程组的解是
解：
典题精讲
①×2，得4x＋6y＝12.③
②×3，得9x－6y＝－6.④
③＋④，得13x＝6，x＝ .
把x＝ 代入①，得2× ＋3y＝6，y＝ .
因此，这个方程组的解是
解：
典题精讲
利用加减消元法解方程组
下列做法正确的是(　　)
A．要消去y，可以将①×5＋②×2
B．要消去x，可以将①×3＋②×(－5)
C．要消去y，可以将①×5＋②×3
D．要消去x，可以将①×(－5)＋②×2
2
D
探索新知
3
知识点
解方程组的应用
2台大收割机和5台小收割机同时工作2 h共收割小麦3. 6 hm2 ，
3台大收割机和2台小收割机同时工作5 h共收割小麦8 hm2. 1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？
例4
探索新知
导引：
如果1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x hm2和y hm2，那么2台大收割机和5台小收割机同时工作1 h共收割小麦_____________ hm2,3台大收割机和2台小收割机同时工作1 h共收割小麦________hm2. 由此考虑两种情况下的工作量.
探索新知
解：
设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x hm2和y hm2. 根据两种工作方式中的相等关系，
得方程组
去括号，得
②-①，得11x=4.4.
解这个方程，得x=0.4.
把x=0.4代入①，得y=0.2.
因此，这个方程组的解是
答：1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦0. 4 hm2和0. 2 hm2.
探索新知
例5 解方程组：
导引：方程①和②中x，y 的系数的绝对值都不相等，也不成
倍数关系，应取系数的绝对值的最小公倍数6，可以
先消去x，也可以先消去 y.
探索新知
解：方法一：①×3，得6x＋9y＝9.③
②×2，得6x＋4y＝22.④
③－④，得5y＝－13，即
把
解得
所以这个方程组的解为
代入①，得
探索新知
方法二：①×2，得4x＋6y＝6.⑤
②×3，得9x＋6y＝33.⑥
⑥－⑤，得5x＝27，解得
把
解得
所以这个方程组的解为
代入①，得
探索新知
总 结
用加减消元法解二元一次方程组时，一般有三种情况：
①方程组中某个未知数的系数的绝对值相等，则直接利用加减法求解；
②方程组中任一个未知数的系数的绝对值都不相等，但某个未知数的系数的绝对值成倍数关系，则其中一个方程乘这个倍数后再利用加减法求解；
③方程组中任一个未知数的系数的绝对值既不相等，也不成倍数关系，可利用最小公倍数的知识，把两个方程都适当地乘一个数，使某个未知数的系数的绝对值相等，然后再利用加减法求解．
探索新知
一条船顺流航行，每小时行20 km；逆流航行，每小时行16 km. 求轮船在静水中的速度与水的流速.
1
设轮船在静水中的速度为每小时x km，水的流速为每小时y km.依题意，得
①＋②，得2x＝36，x＝18.把x＝18代入①，得y＝2.
所以原方程组的解为
答：轮船在静水中的速度为每小时18 km，水的流速为每小时2 km.
解：
探索新知
运输360 t化肥，装载了 6节火车车厢和15辆汽车；运输440 t化肥，装载了8节火车车厢和10辆汽车. 每节火车车厢与每辆汽车平均各装多少吨化肥？
2
设每节火车车厢平均装x t化肥，
每辆汽车平均装y t化肥．
依题意，得
解：
典题精讲
①×2，得12x＋30y＝720.③
②×3，得24x＋30y＝1 320.④
④－③，得12x＝600，x＝50.
把x＝50代入①，得
6×50＋15y＝360，y＝4.
所以原方程组的解为
答：每节火车车厢平均装50 t化肥，每辆汽车平均装4 t化肥．
典题精讲
若方程组 的解也是二元一次方程5x－my＝－11的一个解，则m 的值等于(　　)
A．5
B．－7
C．－5
D．7
3
D
易错提醒
解方程组：
解：
令x＋y＝a，x－y＝b，则原方程组可化为
解得 所以x＋y＝7，x－y＝1，将它们组成新方程组，即 解得
所以原方程组的解是
易错点：误将换元的解当作原方程组的解(换元法)
学以致用
小试牛刀
已知x，y 满足方程组 则x＋y 的值为(　　)
A．9
B．7
C．5
D．3
C
1
小试牛刀
用加减法解方程组 时，要使两个方程中同一未知数的系数相等或相反，有以下四种变形的结果：
其中变形正确的是(　　)
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
B
2
小试牛刀
小明在某商店购买商品A，B 共两次，这两次购买商品A，B的数量和费用如表：
购买商品A的数量/个 购买商品B 的数量/个 购买总
费用/元
第一次购物 4 3 93
第二次购物 6 6 162
若小丽需要购买3个商品A 和2个商品B，则她要花费(　　)
A．64元 B．65元 C．66元 D．67元
C
3
小试牛刀
选择适当的方法解方程组．
(1)
将①代入②，得2y＋9＝11，所以y＝1.
将y＝1代入①，得x－1＝3. 所以x＝4.
所以原方程组的解为
解：
4
小试牛刀
①×10－②，得25y＝10，所以y＝ .
将y＝ 代入②，得5x－5× ＝－4，所以x＝0.
所以原方程组的解是
小试牛刀
阅读下列内容，回答问题：
解方程组时，有时可根据方程的未知数的系数特征，将几个方程直接进行整体加减．如解方程组
①＋②，得10x＋10y＝30，
即x＋y＝3，③
将①变形为3x＋3y＋5y＝14，即3(x＋y)＋5y＝14.④
把③代入④，得3×3＋5y＝14，求得y＝1，
再把y＝1代入③，得x＝3－1，即x＝2.
5
小试牛刀
从而比较简便地求得原方程组的解为
上述这种方法我们称它为“整体加减法”，你若留心观察，
有很多方程组都可采用此法解，请你用这种方法解方程
组
小试牛刀
①＋②，得4 035x＋4 035y＝4 035，x＋y＝1.③
将①变形为2 017x＋2 017y＋y＝2 016，
即2 017(x＋y )＋y＝2 016，④
将③代入④，得2 017×1＋y＝2 016，解得y＝－1.
再将y＝－1代入③，得x＝2.
所以原方程组的解为
解：
小试牛刀
解方程组 时，若设 ＝m， ＝n，则原方程组可
变形为关于m，n 的方程组
解这个方程组得到它的解为
由 ＝5， ＝－4，求得原方程组的解为利用上述方法
解方程组：
6
小试牛刀
设 ＝m， ＝n，
则原方程组可变形为
解这个方程组得到它的解为
由 ＝3， ＝－2，
求得原方程组的解为
解：
小试牛刀
已知关于x，y 的二元一次方程组
的解互为相反数，求k 的值．
解方程组 得
由关于x，y 的二元一次方程组 的解
互为相反数，可得2k＋3－2－k＝0，解得k＝－1.
解：
7
小试牛刀
小明想从“天猫”某网店购买计算器，经查询，某品牌A型号计算器的单价比B型号计算器的单价多10元，5台A型号的计算器与7台B型号的计算器的价钱相同，问A，B两种型号计算器的单价分别是多少？
设A型号计算器的单价为x 元，B型号计算器的单价
为y元，依题意，得 解得
答：A型号计算器的单价为35元，B型号计算器的单价为25元．
解：
8
小试牛刀
如图①，在3×3的方格中，填写了一些整式，使得每行3个数、每列3个数、对角线上3个数的和均相等．
(1)求x，y 的值；
(2)根据求得的x，y，a，b，c 的值完成图②.
9
小试牛刀
(1)由题意，得
解得
(2)由(1)知x＝－1，所以3＋4＋x＝6，
所以 解得
如图．
解：
3 4 －1
－2 2 6
5 0 1
小试牛刀
请根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)一个暖瓶与一个水杯分别是多少元？
(2)甲、乙两家商场同时出售同样的暖瓶和水杯．为了迎接新年，两家商场都在搞促销活动．甲商场规定：这两种商品都打九折；乙商场规定：买一个暖瓶赠送一个水杯．若某单位想要买4个暖瓶和15个水杯，请问选择哪家商场购买更合算？并说明理由．
10
小试牛刀
(1)设一个暖瓶与一个水杯分别为x 元、y 元，
由题意，得 解得
所以一个暖瓶与一个水杯分别为30元、8元．
(2)在乙商场购买更合算．理由：若该单位在甲商场购买，则需钱数为4×30×0.9＋15×8×0.9＝216(元)；若在乙商场购买，则需钱数为4×30＋(15－4)×8＝208(元)．所以在乙商场购买更合算.
解：
课堂小结
课堂小结
用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：
(1)变形：将方程组中某一未知数的系数变为相等或相反．
(2)加减：消去一个未知数．
(3)求解：得到一个未知数的值．
(4)回代：求另一个未知数的值．
(5)写出解．
同学们，
下节课见！
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