【班海精品】人教版（新）七下-8.4 三元一次方程组的解法 【优质课件】

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8.4 三元一次方程组的解法
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
已知甲、乙、丙三数的和是23，甲数比乙数大1，甲
数的2倍与乙数的和 比丙数大20，求这三个数.
在上述问题中，设甲数为x，乙数为y，丙数为z，由
题意可得到方程组：
含有三个未知数
含未知数的项次数都是一次
特点
这个方程组和前面学过的二元一次方程组有什么区别和联系？
新课精讲
探索新知
1
知识点
三元一次方程(组)的有关概念
含有三个未知数，并且含未知数的项的次数是一次的方程组叫做三元一次方程组.
定义
探索新知
三元一次方程组必备条件：
(1)是整式方程；
(2)共含三个未知数；
(3)三个都是一次方程；
(4)联立在一起．
探索新知
例1 下列方程组中，是三元一次方程组的是(　　)
A. B.
C. D.
D
探索新知
A选项中，方程x 2－y＝1与xz＝2中有含未知数的项的次数为2的项， 不符合三元一次方程组的定义，故A选项不是；B选项中 不是整式，故B选项不是; C选项中方程组中共含有四个未知数，故C选项不是； D选项符合三元一次方程组的定义．故答案为D.
导引：
探索新知
三元一次方程组需满足的条件：
(1)方程组中一共含有三个未知数；
(2)每个方程中所含未知数的项的次数都是1；
(3)每个方程均是整式方程．
总 结
典题精讲
1 下列方程是三元一次方程的是______．(填序号)
①x＋y－z＝1; ②4xy＋3z＝7；
③ ④6x＋4y－3＝0.
①
典题精讲
2
下列方程组中是三元一次方程组的是(　　)
A. B.
C. D.
B
探索新知
2
知识点
三元一次方程组的解法
怎样解三元一次方程组呢？我们知道，二元一次方程组可以利用代入法或加减法消去一个未知数，化成一元一次方程求解. 那么，能不能用同样的思 路，用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个未知数，把它化成二元一次方程组呢？让我们看前面列出的三元一次方程组
探索新知
仿照前面学过的代入法，我们可以把③分别代入①②，得到两个只含y，z 的方程：
4y+y+z=12，
4y+2y+5z=22.
它们组成方程组
得到二元一次方程组之后，就不难求出y 和z，进而可求出x.
探索新知
从上面的分析可以看出，解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入” 或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程. 这与解二元一次方程组的思路是一样的.
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程组
探索新知
试一试
上面的三元一次方程组能否应用加减消元法
求解 比较一下，哪种方法更简便？
探索新知
解三元一次方程组的一般步骤：
(1)利用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个未
知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
(2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系
数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；
(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
(5)将求得的三个未知数的值用符号“{”合写在一起．
探索新知
解三元一次方程组：
例2
②×3+③，得11x+10z＝35. ④
①与④组成方程组
解这个方程组，得
解：
方程①只含x，z，因此，可以由②③消去y， 得到一个只含x，z 的方程，与方程①组成一个二元一次方程组.
分析：
探索新知
把x =5, z = -2代人②，得
2×5+3y -2 = 9，
所以
因此，这个三元一次方程组的解为
探索新知
总 结
解三元一次方程组时，消去哪个“元”都是可以的，得到的结果都一样，我们应该通过观察方程组选择最为简便的解法．此题中的方法一最为简便．要根据方程组中各方程的特点，灵活地确定消元步骤和消元方法，不要盲目消元．
典题精讲
解下列三元一次方程组：
1
典题精讲
③－①，得2z＋2y＝56，即y＋z＝28 ④，
②＋④，得2y＝31，所以y＝15.5.
把y＝15.5代入①，得x＝22.
把y＝15.5代入②，得z＝12.5.
所以原方程组的解为
解：
典题精讲
①＋②，得5x＋2y＝16　④，
①－③，得2x－2y＝－2　⑤，
④＋⑤，得7x＝14，所以x＝2.
将x＝2代入④，得y＝3.
将x＝2，y＝3代入③，得z＝1.
所以原方程组的解为
解：
典题精讲
解方程组 若要使运算简便，消元的方法应选(　　)
A．消去x B．消去y
C．消去z D．以上说法都不对
2
B
典题精讲
已知三元一次方程组 经过步
骤①－③和③×4＋②消去未知数z后，得到的二元一次方程组是(　　)
A. B.
C. D.
3
A
探索新知
3
知识点
三元一次方程组的应用
列三元一次方程组解决实际问题的步骤：
(1)弄清题意和题目中的数量关系，用三个未知数表示题目中的数量关系．
(2)找出能够表达应用题全部含义的三个等量关系；
(3)根据等量关系列出方程，建立方程组；
(4)解出方程组求出未知数的值；
(5)写出答案，包括单位名称．
探索新知
在等式y＝ax 2＋bx＋c 中，当x＝－1时，y＝0；当x＝2时，y＝3；当x＝5时，y＝60. 求a，b，c 的值．
例3
导引：
把a，b，c 看成三个未知数，分别把已知的x，y 值
代入原等式，就可以得到一个三元一次方程组.
根据题意，得三元一次方程组
解：
探索新知
②－①，得a＋b＝1； ④ 　
③－①，得4a＋b＝10. ⑤
④与⑤组成二元一次方程组
解这个方程组，得
把 代入①，得c＝－5.
因此 即a，b，c 的值分别为3，－2，－5.
探索新知
某汽车在相距70 km的甲、乙两地往返行驶，行驶中有一坡度均匀的小山. 该汽车从甲地到乙地需要2.5 h，从乙地到甲地需要2.3 h. 假设该汽车在平路、上坡路、下坡路的行驶过程中的时速分别是30 km， 20 km， 40 km，则从甲地到乙地的过程中, 上坡路、平路、下坡路的长度各是多少？
例4
导引：
题中有三个等量关系：
①上坡路长度＋平路长度＋下坡路长度＝70 km；
②从甲地到乙地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.5 h；③从乙地到甲地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.3 h.
探索新知
设从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路
的长度分别是x km，y km和z km.
由题意得
答：从甲地到乙地的过程中，上坡路的长度是12 km，
平路的长度是54 km，下坡路的长度是4 km.
解得
解：
探索新知
总 结
解此题的关键是理解在汽车往返行驶的过程中，
如果从甲地到乙地是上坡路段，那么从乙地到甲地
时就变成了下坡路段．
典题精讲
甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大5，乙数的 等于丙数的 ，求这三个数.
1
设甲数为x，乙数为y，丙数为z，
则有
解这个方程组，得
答：甲数为10，乙数为15，丙数为10.
解：
典题精讲
已知单项式－8a 3x＋y－zb12c x＋y＋z与2a2b2x－yc 6是同类项，则x＝________，y＝________，z＝________．
2
4
－4
6
典题精讲
在等式y＝ax2＋bx＋c 中，当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝0；当x＝0时，y＝－5，可列出关于a，b，c的三元一次方程组是(　　)
A. B.
C. D.
3
C
易错提醒
解方程组
解：
由②＋①×2，得7x＋8z＝4.④
由③＋②×2，得2x＋3z＝3.⑤
由④⑤组成方程组，得 解得
易错提醒
把 代入①，得y＝－2.
所以原方程组的解为
易错点：加减消元时，易漏乘某项系数而出错.
学以致用
小试牛刀
若(a＋1)x＋5y b＋1＋2z 2－|a|＝10是一个三元一次方程，则(　　)
A．a＝1，b＝0
B．a＝－1，b＝0
C．a＝±1，b＝0
D．a＝0，b＝0
C
1
小试牛刀
小明妈妈到文具店购买三种学习用品，其单价分别为2元、4元、6元，购买这些学习用品需要56元，经过协商最后以每种单价均下调0.5元成交，结果只用了50元就买下了这些学习用品，则小明妈妈有几种不同的购买方法(　　)
A．6 B．5
C．4 D．3
D
2
小试牛刀
解方程组
3
小试牛刀
设
则原方程组可化为
①＋②，得2a＋2c＝1，④
②＋③，得2a＋4c＝4.⑤
④与⑤组成方程组，得
解这个方程组，得
解：
小试牛刀
把 代入①，得b＝6.
因此，x＝－1，y＝ ，z＝ .
即原方程组的解为
小试牛刀
解方程组
设x＝k，y＝2k，z＝3k，代入②，得
2k＋2k－9k＝15.
解得k＝－3.
所以原方程组的解为
解：
4
小试牛刀
解方程组：
①＋②＋③，得2x＋2y＋2z＝12，
所以x＋y＋z＝6.④
④－①，得z＝3.
④－②，得x＝1.
④－③，得y＝2.
所以原方程组的解为
解：
5
小试牛刀
方法一：用代入法解方程组．
把②变形为2y＝3x－4z－8，④
将④代入①，得2x＋2(3x－4z－8)－3z＝9，整理，得8x－11z＝25.⑤
将④代入③，得5x－3(3x－4z－8)－5z＝7，整理，得4x－7z＝17.⑥
用两种消元法解方程组：
解：
6
小试牛刀
由⑤⑥组成方程组，得
解得
将 代入④，得y＝ .
所以原方程组的解为
小试牛刀
方法二：用加减法解方程组．
①＋②×2，得8x－11z＝25.④
①×3＋③×2，得16x－19z＝41.⑤
由④⑤，得 解得
将 代入①，得y＝ .
所以原方程组的解为
小试牛刀
如图是一个有三条边的算法图，每个“ ”里有一个数，这个数等于它所在边的两个“ ”里的数之和，请你通过计算确定三个“ ”里的数之和，并且确定三个“ ”里应填入的数．
7
小试牛刀
如图，如果把三个“ ”里的数分别记作x，y，z，
则
①＋②＋③，得2(x＋y＋z)＝142，
即x＋y＋z＝71.④
④－①，得z＝－12.
④－②，得x＝50.
④－③，得y＝33.
解：
小试牛刀
所以三元一次方程组的解为
所以三个“ ”里的数之和为71，三个“ ”里应填入的数按先上后下，先左后右的顺序依次为50，33，－12.
小试牛刀
已知甲、乙二人解关于x，y的方程组
甲正确地解得 而乙把c 抄错了，解得
求a，b，c的值．
8
小试牛刀
甲正确地解得 故可把 代入原方程组．
乙仅抄错了题中的c，解得 故可把
代入第一个方程．
由题意得 解得
解：
课堂小结
课堂小结
解三元一次方程组的基本思路仍是消元，是将复杂问
题简单化的一种方法．其目的是利用代入法或加减法消去
一个未知数，从而变三元为二元，然后解这个二元一次方
程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．其基
本过程为：三元
二元
一元．
同学们，
下节课见！
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