【班海精品】人教版（新）七下-6.2 立方根【优质课件】

(共52张PPT)
6.2 立 方 根
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
16的平方根是______，算术平方根是_________.
－16的平方根是 ，
0的平方根是________.
一个正数有正负两个平方根,它们互为相反数；
零的平方根是零，负数没有平方根.
回顾旧知
±4
4
没有平方根
0
新课精讲
探索新知
1
知识点
立方根
问题：要做一个体积为8cm3的正方体模型(如图)，
它的棱长要取多少？你是怎么知道的？
探索新知
思考：
（1）2的立方等于多少？是否有其他的数，
它的立方也是8
（2）-3的立方等于多少？是否有其他的数，
它的立方也是-27
探索新知
什么才是一个数a 的立方根呢？
一般地，一个数的立方等于a，这个数就叫做a
的立方根，也叫做a的三次方根．记做　　
(也叫做三次方根). 如2是8的立方根，0是0的立方根.
探索新知
表示方法：
一个数a的立方根，用符号“ ”表示，
读作“三次根号a”，其中a 是被开方数，3是根
指数．
探索新知
下列说法正确的是( )
A. 负数没有立方根
B. -9的立方根是
C. =3
D. 任何正数都有两个立方根，它们互为相反数
例1
解析：
任何一个数都有唯一的立方根，所以选项A，D不
正确，因为33=27，所以 ，故选项C也不正确，选项B正确.
B
探索新知
总 结
1. 判断一个数x 是不是某数a 的立方根，就看x 3是不是等于a.
2. 求一个数的立方根，应先找到一个立方等于所求数的
数，再求立方根.
典题精讲
1
若 是5的立方根，则b＝________，
若 ＝－2，则a＝________.
2
64的立方根是（　　）
A．4 B．8
C．±4 D．±8
1
－8
A
典题精讲
分析下列四句话：
①因为(－2)3＝－8，所以－2是－8的立方根；
②因为43＝64，所以64是4的立方根；
③把2立方与把8开立方互为逆运算；
④把4立方与把4开平方互为逆运算．
其中正确的是____________．(填序号)
①③
3
探索新知
2
知识点
立方根的性质
问题1：根据立方根的意义填空，看看正数、0、负数
的立方根各有什么特点？
1. 因为 ，所以8的立方根是 ______；
2. 因为 ，所以0.125的立方根是______；
3. 因为 ，所以0的立方根是______；
4. 因为 ，所以8的立方根是______；
5. 因为 ，所以 的立方根是______.
2
0.5
0
-2
探索新知
问题2：
因为 =______， =______，
所以 ______ ；
因为 =______， =______，
所以 ______ .
-2
-2
=
-3
-3
=
探索新知
思考：
(1)正数有几个立方根？
(2)负数有几个立方根？
(3)0有几个立方根？
一个正数有一个正的立方根；
一个负数有一个负的立方根，
零的立方根是零.
探索新知
性质：
(1) 正数的立方根是正数；
(2) 负数的立方根是负数；
(3) 0的立方根是0；
探索新知
求下列各式的值：
(1) ； (2) ； (3) .
例2
解：
(1) ；
(2) ；
(3) .
探索新知
总 结
任何数都有唯一的立方根；而立方根等于本身的
数有0和±1三个；一个数的立方根等于它的相反数的
立方根的相反数．
典题精讲
1
下列说法正确的是（　　）
A．0.8的立方根是0.2
B．负数没有立方根
C．－1的立方根是－1
D．如果一个数的立方根是这个数本身，那么
这个数必是1或0
C
典题精讲
2
如图为张小亮的答卷，他的得分应是（　　）
A．100分
B．80分
C．60分
D．40分
B
典题精讲
3
如果一个数的立方根与其算术平方根相同，那么这个数是（　　）
A．1
B．0或1
C．0或±1
D．任意非负数
B
探索新知
3
知识点
求立方根(开立方)
1.因为33=27，所以 =___.
2.因为(-4)3=-64，所以 =____.
3.因为x 3=a，所以 =____.
3
-4
x
求一个数的立方根的运算叫做开立方，
a 叫做被开方数.
探索新知
求下列各数的立方根：
(1)－125； (2) ；
(3) ； (4)－0.008.
例3
导引：
根据立方根的定义知，要求上面各数的立方根，
只需找到几个数的立方分别等于上面各数，那么
所找的这几个数分别为上面各数的立方根．
探索新知
(1)因为(－5)3＝－125，
所以－125的立方根是－5，即 ＝－5.
(2)因为 ，
所以 的立方根是 ，即 .
(3)因为 ，而 ，
所以 的立方根是 ，即 .
(4)因为(－0.2)3＝－0.008，
所以－0.008的立方根是－0.2，即 ＝－0.2.
解：
探索新知
总 结
利用立方运算求一个的立方根，要注意正数有一
个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0.
典题精讲
1
求下列各式的值：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) .
解：
(1)因为103＝1 000，所以 ＝10；
(2)因为(－0.1)3＝－0.001，所以 ＝－0.1；
(3)因为(－1)3＝－1，所以 ＝－1；
(4)因为 ，所以
典题精讲
2
用计算器求下列各式的值：
(1) ； (2) ； (3) ；
解：
(1) ＝12；
(2) ＝25；
(3) ＝±13.
3
比较3，4， 的大小.
解：
因为 ≈3.68，所以3< <4.
典题精讲
4
立方根概念的起源与几何中的正方体有关. 如果一个正方体的体积为V，这个正方体的棱长为多少？
解：
设这个正方体的棱长为x，根据题意，得x 3＝V，所以x＝ . 所以这个正方体的棱长为　
典题精讲
5
下列各式中，正确的是（　　）
A. ＝±2 B. ＝5
C. D．
B
6
如图，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下：则输出结果应为（　　）
A. B. C. D.
C
探索新知
想一想
表示a 的立方根，那么 等于什么？
呢？
4
知识点
与 的性质
探索新知
1.任何一个数既等于这个数的立方根的立方
又等于这个数的立方的立方根.
即：
2.负号可直接从立方根内移到立方根外.
即：
探索新知
已知x－2的平方根是±2，2x＋y＋7的立方根是3，求x 2＋y 2的算术平方根．
例4
导引：
根据平方根、立方根的定义和已知条件可知x－2＝4，2x＋y＋7＝27，从而解出x，y，最后代入x 2＋y 2求其算术平方根即可．
探索新知
∵x－2的平方根是±2，
∴x－2＝4. ∴x＝6.
∵2x＋y＋7的立方根是3，
∴2x＋y＋7＝27.
把x＝6代入解得：y＝8，
∴x2＋y2＝62＋82＝100.
∴x2＋y2的算术平方根为10.
解：
探索新知
总 结
本题先根据平方根和立方根的定义中，平方根中被开方数等于平方根的平方，立方根中被开方数等于立方根的立方这一关系，运用方程思想列方程求出x，y 的值，再根据算术平方根的定义求出x 2＋y 2的算术平方根．
典题精讲
1
的立方根是（　　）
A．－1 B．0
C．1 D．±1
若x 2＝(－5)2， ＝－5，则x＋y 的值为（　　）
A．0 B．－10
C．0或－10 D．0或－10或10
2
A
C
易错提醒
当a 取　　　　　时， 有意义．
任意数
易错点：受平方根思维定式的影响，误认为负数没有立方根.
学以致用
小试牛刀
下列各数中，立方根一定是负数的是（　　）
－a
－a2
C. －a2－1
D. －a2＋1
C
1
小试牛刀
如果 ，那么a 与b 的关系是(　　)
A．a＝b B．a＝－b
C．a＝±b D．不能确定
B
2
小试牛刀
若x<0，则 等于(　　)
A．x B．2x
C．0 D．－2x
D
3
小试牛刀
求下列各数的立方根：
（1）0.001；（2）－ ；（3）3 ；（4）106.
(1)因为0.13＝0.001，所以0.001的立方根是0.1.
(2)因为 ，所以－ 的立方根是－ .
(3)因为 ， ，所以3 的立方根是 .
(4)因为(102)3＝106，所以106的立方根是102，即100.
解：
4
小试牛刀
由题意知 ＝3，所以4x－37＝33＝27，
解得x＝16.
所以2x＋4＝2×16＋4＝36.因为(±6)2＝36，
所以36的平方根是±6.所以2x＋4的平方根是±6.
已知4x－37的立方根为3，求2x＋4的平方根．
解：
5
小试牛刀
解：
若x＋1是4的平方根，求3x＋1的立方根．
由题意知x＋1＝±2，所以x＝1或x＝－3.
当x＝1时，3x＋1＝4，4的立方根是 .
当x＝－3时，3x＋1＝－8，－8的立方根是－2.
所以3x＋1的立方根为 或－2.
6
小试牛刀
如图，数轴上点A表示的数可能是（　　）


A．4的算术平方根 B．4的立方根
C．8的算术平方根 D．8的立方根
C
7
小试牛刀
（1）填表：

（2）由上表你发现了什么规律？用语言叙述这个规律．
（3）利用（1）的规律计算：若 ＝b， ＝m，
＝n，求m，n 的值（用b表示）.
0.01
解：
a 0.000 001 0.001 1 1 000 1 000 000

(2)一个数的小数点每向右(或向左)移动三位，则这个
数的立方根的小数点就向右(或向左)移动一位．
(3)由 ＝b 得m＝ ＝0.1b，
n＝ ＝10b.
0.1
1
10
100
8
小试牛刀
（1）已知 ＝1－a2，求a 的值；
（2）若 与 互为相反数，求1－ 的值．
解：
(1)立方根等于它本身的数有0，1，－1.
当1－a2＝0时，a2＝1，则a＝±1；
当1－a2＝1时，a2＝0，则a＝0；
当1－a2＝－1时，a2＝2，则a＝± .
所以a 的值为0或±1或± .
(2)由题意得1－2x＋3x－5＝0，所以x＝4.
所以1－ ＝1－2＝－1.
9
小试牛刀
如果 为a－3b 的算术平方根， 为
1－a2的立方根，求2a－3b的立方根．
由题意知b＋4＝2，a＋2＝3，
所以b＝－2，a＝1.
所以2a－3b＝8.
所以 ＝2.
解：
10
课堂小结
课堂小结
立方根 定义 一般地，如果一个数的立方等于a，那么这
个数叫做a 的立方根
性质 ①正数有一个立方根，仍为正数；
②负数有一个立方根，仍为负数；
③0的立方根是0
表示法 (a为任意数)
课堂小结
求一个负数的立方根的方法：
先求出这个负数的绝对值的立方根，然后再取它
的相反教即可；其实质是利用互为相反数的两个数的
立方根互为相反数. 即 来求解；也就是说
三次根号内的负号可以移到三次根号外面.
同学们，
下节课见！
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