分类计数原理和分步计数原理[上学期]
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课件15张PPT。第十章 排列、组台、二项式定理§10.1 分类计数原理和分步计数原理高考要求
1.掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题.
2.分类计数原理与分步计数原理是计数问题的基本原理，体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即把问题分类解决和分步解决. [1]. 电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？ 先找找感觉一.课前热身训练:[2]. 从集合{1，2，3，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，这样的子集共有多少个? 一.课前热身训练:先找找感觉[3]. 如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色.现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有_____________种.（以数字作答） 一.课前热身训练:先找找感觉1. 分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有 种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，……，在第n类办法中有 种不同的方法那么完成这件事共有 种不同的方法 .二.知识点归纳 两个基本原理 2. 分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有 种不同的方法，……，做第n步有
种不同的方法，那么完成这件事有
种不同的方法 .
原理浅释
分类计数原理(加法原理)中，“完成一件事，有n类办法”，是说每种办法“互斥”，即每种方法都可以独立地完成这件事，同时他们之间没有重复也没有遗漏．进行分类时，要求各类办法彼此之间是相互排斥的，不论那一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事只有满足这个条件，才能直接用加法原理，否则不可以.
分步计数原理(乘法原理)中，“完成一件事，需要分成n个步骤”，是说每个步骤都不足以完成这件事，这些步骤，彼此间也不能有重复和遗漏．
如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立，即相对于前一步的每一种方法，下一步都有m种不同的方法，那么完成这件事的方法数就可以直接用乘法原理
可以看出“分”是它们共同的特征，但是，分法却大不相同． 例1. 五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少？又他们争夺这四项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少种？ 解：（1）5名学生中任一名均可报其中的任一项，因此每个学生都有4种报名方法，5名学生都报了项目才能算完成这一事件故报名方法种数为4×4×4×4×4= 种 .（2）每个项目只有一个冠军，每一名学生都可能获得其中的一项获军，因此每个项目获冠军的可能性有5种故有n=5×５×５×５= 种 .三.例题品味例2. a,b,c,d排成一行，其中a不排第一，b不排第二，c不排第三，d不排第四的不同排法共有多少种？ 解：依题意，符合要求的排法可分为第一个排b,c,d中的某一个，共3类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出： 所以符合题意的不同排法共有9种 .三.例题品味例3 某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如右图）现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有______种.（以数字作答） 解法一：从题意来看6部分种4种颜色的花，又从图形看知必有2组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求
（1）②与⑤同色，则③⑥也同色或④⑥也同色，所以共有N1=4×3×2×2×1=48种；所以，共有N=N1+N2+N3=48+48+24=120种. （2）③与⑤同色，则②④或⑥④同色，所以共有N2=4×3×2×2×1=48种；
（3）②与④且③与⑥同色，则共有N3=4×3×2×1=24种
三.例题品味解法二：记颜色为A、B、C、D四色，先安排1、2、3有 种不同的栽法，不妨设1、2、3已分别栽种A、B、C，则4、5、6栽种方法共5种，由以下树状图清晰可见
根据分步计数原理，
不同栽种方法有N= ×5=120 弄清两个原理的区别与联系，是正确使用这两个原理的前提和条件,
这两个原理都是指完成一件事而言的,其区别在于：
四.课堂小结（ 1）分类计数原理是“分类”，每类办法中的每一种方法都能独立完成一件事，（2）分步计数原理是“分步”；每种方法都只能做这件事的一步，不能独立完成这件事 !
1. 用六种不同颜色把右图中A、B、C、D四块区域分开，允许同一颜色涂不同区域，但相邻区域不能是同一种颜色，则共有 种不同涂法 .2.（2004年北京东城区模拟题）某银行储蓄卡的密码是一个4位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位、个位上的数字（如2816）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选0，千位、百位上都能取0.这样设计出来的密码共有( )
A.90个 B.99个 C.100个 D.112个 五.课堂练习:我来露一手3. 将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子内，每个盒子内放一个球，恰好有2个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法种数为_____________.（用数字作答） 4.从1，3，5中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有__________个.（用数字作答） 看我的!再见
1.掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题.
2.分类计数原理与分步计数原理是计数问题的基本原理，体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即把问题分类解决和分步解决. [1]. 电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？ 先找找感觉一.课前热身训练:[2]. 从集合{1，2，3，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，这样的子集共有多少个? 一.课前热身训练:先找找感觉[3]. 如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色.现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有_____________种.（以数字作答） 一.课前热身训练:先找找感觉1. 分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有 种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，……，在第n类办法中有 种不同的方法那么完成这件事共有 种不同的方法 .二.知识点归纳 两个基本原理 2. 分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有 种不同的方法，……，做第n步有
种不同的方法，那么完成这件事有
种不同的方法 .
原理浅释
分类计数原理(加法原理)中，“完成一件事，有n类办法”，是说每种办法“互斥”，即每种方法都可以独立地完成这件事，同时他们之间没有重复也没有遗漏．进行分类时，要求各类办法彼此之间是相互排斥的，不论那一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事只有满足这个条件，才能直接用加法原理，否则不可以.
分步计数原理(乘法原理)中，“完成一件事，需要分成n个步骤”，是说每个步骤都不足以完成这件事，这些步骤，彼此间也不能有重复和遗漏．
如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立，即相对于前一步的每一种方法，下一步都有m种不同的方法，那么完成这件事的方法数就可以直接用乘法原理
可以看出“分”是它们共同的特征，但是，分法却大不相同． 例1. 五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少？又他们争夺这四项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少种？ 解：（1）5名学生中任一名均可报其中的任一项，因此每个学生都有4种报名方法，5名学生都报了项目才能算完成这一事件故报名方法种数为4×4×4×4×4= 种 .（2）每个项目只有一个冠军，每一名学生都可能获得其中的一项获军，因此每个项目获冠军的可能性有5种故有n=5×５×５×５= 种 .三.例题品味例2. a,b,c,d排成一行，其中a不排第一，b不排第二，c不排第三，d不排第四的不同排法共有多少种？ 解：依题意，符合要求的排法可分为第一个排b,c,d中的某一个，共3类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出： 所以符合题意的不同排法共有9种 .三.例题品味例3 某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如右图）现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有______种.（以数字作答） 解法一：从题意来看6部分种4种颜色的花，又从图形看知必有2组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求
（1）②与⑤同色，则③⑥也同色或④⑥也同色，所以共有N1=4×3×2×2×1=48种；所以，共有N=N1+N2+N3=48+48+24=120种. （2）③与⑤同色，则②④或⑥④同色，所以共有N2=4×3×2×2×1=48种；
（3）②与④且③与⑥同色，则共有N3=4×3×2×1=24种
三.例题品味解法二：记颜色为A、B、C、D四色，先安排1、2、3有 种不同的栽法，不妨设1、2、3已分别栽种A、B、C，则4、5、6栽种方法共5种，由以下树状图清晰可见
根据分步计数原理，
不同栽种方法有N= ×5=120 弄清两个原理的区别与联系，是正确使用这两个原理的前提和条件,
这两个原理都是指完成一件事而言的,其区别在于：
四.课堂小结（ 1）分类计数原理是“分类”，每类办法中的每一种方法都能独立完成一件事，（2）分步计数原理是“分步”；每种方法都只能做这件事的一步，不能独立完成这件事 !
1. 用六种不同颜色把右图中A、B、C、D四块区域分开，允许同一颜色涂不同区域，但相邻区域不能是同一种颜色，则共有 种不同涂法 .2.（2004年北京东城区模拟题）某银行储蓄卡的密码是一个4位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位、个位上的数字（如2816）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选0，千位、百位上都能取0.这样设计出来的密码共有( )
A.90个 B.99个 C.100个 D.112个 五.课堂练习:我来露一手3. 将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子内，每个盒子内放一个球，恰好有2个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法种数为_____________.（用数字作答） 4.从1，3，5中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有__________个.（用数字作答） 看我的!再见