3.3幂函数 教学设计

幂函数
【课型】新授课
【课时】45分钟
【课本】人民教育出版社A版普通高中教科书数学必修第一册
【学生】高一学生
一、教材分析
1.教学内容
幂函数
2.教材的地位与作用
（1）本节内容选自人民教育出版社A版教材必修第一册第三章第三节第1课时，主要介绍了幂函数的概念、性质（2）本节内容蕴含了分类讨论及数形结合思想（3）这节课是在学习完前面两节函数的概念与基本性质后，是高中阶段研究的第一类具体函数
二、学情分析
学生在前面已经接触了函数的概念与性质,对函数有了初步的认识，但是对于具体某一类函数还没有更深刻的认识，本节内容的学习可以看成一般函数概念与性质的下位学习
三、教学目标
通过五个具体实例，能给出幂函数的概念，能掌握幂函数的基本性质，会对幂函数进行简单的应用，体会数学结合、分类讨论的数学思想，体会幂函数的变化规律及蕴含其中的性质，进一步提高学生的探索精神。
四、重点难点
1.教学重点
了解幂函数的概念，掌握幂函数的一般性质
2.教学难点
由五个具体幂函数的图像概括其性质，体会图像的变化规律
五、教法学法
1.教法分析
根据本节课的教学目标并结合教学内容的特点，课堂教学以讲授法为主，穿 插恰当的师生互动，发散学生思维，引发学生思考.在引入环节利用直观教具，增加课堂的趣味性。特别动态数学环境GGB下的课堂教学，教师还使用了演示技术操作、联系屏幕黑板、讨论屏幕内容、解释屏幕内容、邀请学生示范等工具编配类型。在探究环节充分利用动画效果与信息技术软件，让学生与动态数学软件GeoGebra互动，帮助学生了解知识产生的过程
2.学法指导
学生在学习过程中要. 学生在学习过程中要认真听讲、积极思考并适当做笔记；在师生互动环节要积极参与；积极利用 GeoGebra进行探究，深入体会“数形结合”、“分类讨论”的思想
六、教学媒体
GeoGebra、PowerPoint等。
七、教学过程
（一）创设情境，引入新知
引导语：前面学习了函数的概念，利用函数概念和对图像的观察，研究了函数的一些性质。本节我们利用这些知识研究一类新的函数。
问题1：观察下面几个问题中的函数有什么特征？
问题一：如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜w kg,那么她需要支付p=w元，这里p是w的函数
问题二：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积s=,这里S是a的函数;
问题三：如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V=;,这里V是b的函数;
问题四：如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的边长c=，这里c是S的函数
问题五：如果某人t s内骑车行进了1km,那么他骑车的平均速度v=km/s,这里v是t的函数
师生活动：教师播放PPT展示具体实例，学生思考回答，根据学生的回答，教师进行必要的补充，指明：（1）以上问题中的函数均是以自变量为底的幂（2）指数为常数（3）自变量前的系数为1.
[设计意图] 由生活中的具体实例入手，联系生活实际，让数学贴近学生自身，学生更有参与感。
（二）合作交流，探究新知
问题2:根据上面五个函数解析式的特征，能否给出幂函数的概念？
师生活动：学生积极思考发现，上述问题中涉及的函数，都是形如y=的函数。教师给出幂函数的概念：一般地，函数y=叫做幂函数，其中x 是自变量，a是常数。
追问1：学习完幂函数的概念后，探究五个具体幂函数的图像与性质是什么？
师生活动：教师利用GeoGebra软件演示五个幂函数在同一坐标轴中的图像，与学生一起探究这五个具体幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质，并指出其共同点为（1，1）。
工具化理论的运用：在工具编配方面，教学配置是面向全班；利用模式则有演示技术操作、解释屏幕内容、讨论屏幕内容；教学行为则是教师分配小组任务，让学生观察GGB上的五个具体幂函数，小组讨论得出结论分享，最后教师给出一张表格，检验学生的结论是否正确。在工具生成方面，教师运用动态教学软件GGB，展示五个具体幂函数的图像，是工具外化的过程；学生通过观察图像分析，得出幂函数的有关性质，则是工具内化的过程。
追问2：学习完五个具体幂函数的图像性质后，能否探究一般幂函数的性质？。
师生活动：教师利用动态教学软件GGB，邀请学生上台拖动滑动条，展示幂函数的指数从-5到5变化时，幂函数的图像在坐标轴中的变化情况，再让学生自主探究幂函数在第一象限的图像特征。最后，通过师生互动、生生互动等环节，得出一般幂函数的图像性质，即幂函数在第一象限内都有定义，当a0时，幂函数都过点（1，1）、（0，0），在第一象限内单调递增；当a0时，幂函数都过点（1，1），在第一象限内单调递减，最后，可直接观察到，幂函数的图像不经过第四象限。
工具化理论的运用：工具编配方面，教学配置是面向全班，利用模式则有演示技术操作、解释屏幕内容、邀请学生示范、讨论屏幕内容。工具生成方面，教师邀请学生上台拖动滑动条，是工具外化的过程；在教师带领下，学生了解了一般幂函数的图像性质，从特殊到一般，拓展了知识层面，培养了学生的探索精神，提高学生运用信息技术的能力，是工具内化的过程。
[设计意图] 利用软件制作微课，提高了课堂效率，通过GGB先展示五个具体幂函数图像，再展示一般幂函数的图像，从特殊到一般，探究了幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质。其次，利用动态教学软件GGB，使教学更加直观形象，令学生能够更直观感受到幂函数的图像变化，更快的掌握到课堂所学知识。最后，丰富了课堂形式，激发了学生学习兴趣，提高了教学效果，有利于教学目标的达成。
（三）精讲范例，应用新知
问题3：已知y＝(m2＋2m－2)xm2－1＋2n－3是幂函数，求m，n的值。
师生活动：学生先思考回答后，教师讲解解题思路并归纳出判断一个函数是否为幂函数的规律方法为该函数是否为y＝xαα为常数的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：1指数为常数；2底数为自变量；3系数为1。
问题4：2.3－0.2和2.2－0.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？
师生活动：学生讨论思考后，教师给出提示：2.3－0.2和2.2－0.2可以看作幂函数f(x)＝x－0.2的两个函数值，因为函数f(x)＝x－0.2在(0，＋∞)上单调递减，所以2.3－0.2＜2.2－0.2.
[设计意图] 通过例题讲解，能够掌握学生对知识点的学习情况，检验课堂效果，使学生进一步了体会幂函数概念，掌握一个函数为幂函数要满足的条件。其次，通过问题4，利用一般幂函数在第一象限的单调性，使学生对幂函数这一性质印象深刻。最后，将幂函数的概念及性质这些知识融入到例题中去，能够使学生真正做到学以致用。
（四）巩固练习，拓展变式
问题5：在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数是多少？。
师生活动：教师通过PPT板书题目，邀请学生回答，通过学生回答情况，讲解题目，公布幂函数的个数为1且只有第一个是幂函数，特别强调常函数y=1不是幂函数，因为y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y＝1不是幂函数
[设计意图]进一步强化幂函数概念的相关知识，巩固学生课堂所学。
（五）归纳总结，形成结构
问题6：请同学们思考回顾本堂课中，我们学习了哪些知识点？
师生活动：学生讨论回答，教师归纳：1．判断一个函数是否为幂函数，其关键是判断其是否符合y＝xα(α为常数)的形式．2．幂函数的图象是幂函数性质的直观反映，会用类比的思想分析函数y＝xα(α为常数)同五个函数(y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝图象与性质的关系．3．幂函数的单调性是比较幂值大小关系的重要依据，要学会用幂函数的图象及性质处理幂值大小的比较问题。
[设计意图]对本节课的内容进行小结，由此进一步加深对幂函数概念的理解，掌握幂函数的一般性质，建构完整的知识体系。
布置作业：课本91面，练习1、2、3题。
八、板书设计
九、教学反思
教学理念：数学学科核心素养是“四基”的继承和发展。“四基”是培养学生数学学科核心素养的沃土，是发展学生数学学科核心素养的有效载体。教学中要引导学生理解基础知识、掌握基本技能、感悟数学基本思想，积累数学基本活动经验，促进学生数学学科核心素养的不断提升。
基于数学学科核心素养的教学活动应该把握数学的本质，创设合适的教学情境、提出合适的数学问题，引发学生思考与交流，形成和发展数学学科核心素养。
教学过程：按照“提出实例—抽象概念—展示图像—探究性质”的思路展开。
教学方法：启发式、发现式教学方法、讲授法、讨论法、演示法。特别动态数学环境GGB下的课堂教学，教师还使用了演示技术操作、联系屏幕黑板、讨论屏幕内容、解释屏幕内容、邀请学生示范等工具编配类型。
教学特色：注重信息技术与数学教学的深度融合，如利用动态教学软件GGB展示五个具体幂函数的图像及一般幂函数的图像，探究其性质；注重数学史与数学教学的深度融合，如使用了数形结合、分类讨论的数学思想；注重引导学生感悟数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值。