沪科版八年级下册19.4 综合与实践 多边形的镶嵌课件(共15张PPT)

(共15张PPT)
三角形中位线构造和运用
知识梳理
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 。
定义
三角形中位线性质定理：
A
B
C
E
D
一、 复习中位线的定义和性质定理：
位置关系
数量关系
二、中位线的五种构造方法：
1. 直接连线法： 直接连接两点构造三角形的中位线。
2. 利用角平分线+垂直：根据等腰三角形底边上三线合一的性质，角平分线和垂线共线时，这条线也同为中线。
3. 倍长法：延长线段至其两倍长度构造出中位线。
4. 已知一边中点，取另一边中点构造三角形的中位线。
5. 已知两边中点，取第三边中点构造三角形的中位线。
直接连线法的构造及运用
例. 四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=3，点M、N分别为线段BC,AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的最大值为
分析
E为DM中点，F为MN中点
连接DN，构造出中位线EF
EF最大值转化为DN最大值
△DAN是直角三角形
勾股定理
当N点在B点时，DN最大
勾股定理求DB，得EF最大值
勾股定理
D
A
B
N
C
F
E
M
直接连线法的构造及运用
构造点睛： 将含中点的两线段放在同一个三角形中
在直角△ADN中，根据勾股定理：DN2=AD2+AN2=9+AN2，
可知当AN最大，即N点和B点重合时，DN最大.
解：连接ND，△DMN中，EF为中位线，∴EF= DN.
例. 四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3,AD=3，点M、N分别为线段BC、AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的最大值为
∴DNmax=DB=
∴EFmax= DNmax=
D
A
B
N
C
F
E
M
利用角平分线+垂直构造中位线及运用
例. 如图，已知点M为△ABC的边BC的中点，AB=12，AC=18，BD⊥AD于点D，连接DM，若AD为∠BAC的角平分线，求DM的长。
分析
AD⊥BD，AD平分∠BAC
延长BD交AC于点E，根据三线合一性质构造出等腰△ABE, 有BD=DE
求得DM长
三线合一
DM为△BCE的中位线
A
B
C
D
M
AB=12，AC=18
DM= EC
E
例. 如图，已知点M为△ABC的边BC的中点，AB=12，AC=18， BD⊥AD于点D，连接DM，若AD为∠BAC的平分线，求DM的长。
又∵ AB=AE，AB=12， AC=18 ∴EC=AC-AE=6，
∴ DM=3
利用角平分线+垂直构造中位线及运用
构造点睛： 先找到和角平分线和垂线段共线段垂直的线段，延长可得
解：延长BD交AC于点E，在△ABE中，∵ AD平分∠BAC，且AD⊥BE，∴△ABE为等腰三角形.
∴AD也是三角形底边BE上的中线，即 BD=DE，又∵BM=MC，
∴ DM为△BCE上的中位线，DM= EC
A
B
C
D
M
E
倍长法构造及运用
例. 在锐角△ABC中，AD为BC中线，F为AD延长线上一点且AD=2DF，E为BD中点，
求证：AC=2EF
G
A
B
D
E
F
C
分析
E为BD中点，D为BC中点
倍长DF到点G,使得GF=FD,连接BG,构造出中位线EF
探究BG和AC关系
得到△GDB和△ADC全等
AC=2EF
AD=2DF
AD为中线
全等三角形
EF= BG
∴ BG=AC, ∴ AC=2EF
倍长法构造及运用
构造点睛： 把和中点所在线段有关的三角形中的另一条线段倍长
∵AD=2DF, DG=2DF,
∴在△BDG和△CDA中,
DG=DA，∠CDA=∠BDG， BD=CD
∴△CDA≌△BDG (SAS)
A
G
B
D
E
F
C
例. 在锐角△ABC中，AD为BC中线，F为AD延长线上一点且AD=2DF，E为BD中点，
求证：AC=2EF
证明：延长DF到G点, 使得FG=DF,连接BG，
可得在△BDG中，EF为中位线，∴EF= BG
已知一边中点，取另一边中点构造中位线及运用
例. 如图，在△ABC中, AB=AC, AD⊥BC于点D，点P是AD的中点，延长BP交AC于点N, 求证：AC=3AN
A
D
N
B
C
P
分析
题干条件AB=AC，AD⊥BC
根据三线合一性质得出BD=DC
取BN中点E,连接DE,构造△BCN的中位线ED
P是中点
三线合一
全等三角形
AN=ED
ED∥NC
E
ED= NC
猜想并证明△EDP和△NAP全等
AC=3AN
已知一边中点，取另一边中点构造中位线及运用
构造点睛： 找到含有中点的线段和要证结论中的线段同时有关的三角形，取另一边中点
由DE∥NC可得∠EDP=∠NAP
DP=AP (P为中点）
∠EPD=∠NPA ∴ △EPD≌△NPA (ASA)
例. 如图，在△ABC中, AB=AC, AD⊥BC于点D，点P是AD的中点，延长BP交AC于点N, 求证：AC=3AN
证明：∵AB=AC, AD⊥BC, ∴BD=CD, 取NB的中点E, 连接ED, 可知ED为△BNC的中位线，∴DE∥NC，ED= NC
∴ED=AN, 又ED= NC，∴ AN= NC, ∴ AC=3AN
A
D
N
B
C
P
E
已知两边中点，取第三边中点构造中位线及运用
N
D
A
B
F
E
C
M
分析
从CA=CB，CE=CF得到AE=BF
根据两三角形共边AB，取中点G，构造中位线NG和MG
△NGM为等腰直角三角形
△ABC为等腰直角三角形
等腰直角三角形
NG∥AC,GM∥BC,可得∠BGN=∠AGM=45°
例. 如图，在△ABC中，∠C=90°，CA=CB, E、F分别为CA、CB上一点，且有CE=CF， M、N分别为AF、BE 的中点，求证：AE= MN
G
根据等腰三角形的边角关系可证命题
NG= AE,MG= BF
已知两边中点，取第三边中点构造及运用
构造点睛： 找到含中点的线段和要证命题中有关的线段组成的三角形，取第三边中点！
∵CE=CF， ∴BC-CF=AC-CE，即BF=AE
证明：∵∠C=90°，CA=CB，∴∠BAC=∠ABC=45°
例. 如图，在△ABC中，∠C=90°，CA=CB, E、F分别为CA、CB上一点，CE=CF, M、N分别为AF、BE 的中点，求证：AE= MN
取AB中点G, 连接NG、MG, ∵NG、MG分别为△ABE和△ABF的中位线，∴ NG= AE , ∠BGN=∠BAC=45°, MG= BF，∠AGM=∠ABC=45°,
又∵BF=AE， ∴NG=MG,
∴∠NGM=180°-∠AGM-∠BGN=90°，
∴△MGN为等腰直角三角形 ∴MN= NG, 又∵NG= AE
∴ AE=2NG= MN
N
D
A
B
F
E
C
M
G
1.中线的定义：
2.直角三角形斜边中线定理：
3.应用：构造直角三角形斜边上的中线与中位线的综合应用， 对于复杂几何图形，分解成简单图形解决问题。
三角形中一个顶点到它对边中点的线段. 如图
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
A
C
B
D
C
B
A
D
4.中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半
D为BC中点，则AD为△ABC的中线
如图：Rt△ACD中，CD为中线，则CD= AB
∟
总结
再 见