3.3 垂径定理 课件(共31张PPT)

(共31张PPT)
3.3 垂径定理
北师大版 九年级 下册
教学目标
教学目标：1、运用探索、推理，理解垂直于弦的直径的性质和推论，并
能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题；
2、拓展思维，与实践相结合，熟练运用圆的垂径定理，学会
运用垂径定理解决相关的实际问题；
3、通过手脑结合，掌握圆的对称性，并学会证明垂径定理和
其推论.
教学重点:理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的
计算、证明和作图问题.
教学难点：熟练运用圆的垂径定理，学会运用垂径定理解决相关的实际问题.
新知讲解
情境引入
1400多年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥（如图）的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫弓形高）为7.2m，求桥拱的半径（精确到0.1m）.
7.23m
37m
问题：左图中 AB 为圆 O 的直径，CD为圆 O 的弦，相交于点 E，当弦 CD 在圆上运动的过程中有没有特殊情况？
直径 AB 和弦 CD 互相垂直.
观察讨论
合作学习
特殊情况
在 ⊙O 中，AB 为弦，CD 为直径，AB⊥CD.你能发现图中有哪些等量关系？
CE=DE
证明结论
已知：在 ⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，CD⊥AB，垂足为 E.
求证：AE=BE，AC=BC，AD=BD.
⌒
⌒
⌒
⌒
C
.
O
A
E
B
D
新知讲解
证明：连接 OA，OB，则 OA = OB．
在 Rt△OAE 和 Rt△OBE 中，
∵ OA = OB，OE = OE， ∴ Rt△OAE ≌ Rt△OBE．
∴ AE = BE． ∴ 点 A 和点 B 关于 CD 对称．
∵ ⊙O 关于直径 CD 对称，
∴ 当圆沿着直径 CD 对折时，
点 A 与点 B 重合， 重合，
⌒ ⌒
AC与BC
⌒ ⌒
AD与BD重合.
⌒ ⌒
∴AC=BC,
⌒ ⌒
AD=BD.
C
.
O
A
E
B
D
提炼概念
垂径定理
1. 文字语言
垂直于圆的直径平分圆，并且平分 圆所对的两条弧.
2. 符号语言
3. 图形语言
练习
下列图形，符合垂径定理的条件吗？
E
O
A
B
D
C
O
B
A
E
D
E
O
C
D
A
B
E
A
B
C
D
O
E
A
B
D
C
O
E
O
A
B
C
×
×
×
√
√
√
条件
结论
（1）过圆心；
（2）垂直于弦
｝
｛
（3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧
请画图说明垂径定理的条件和结论.
如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？
①过圆心 ；②垂直于弦； ③平分弦；
④平分弦所对的优弧 ； ⑤平分弦所对的劣弧.
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？
思考探索
想一想
如图，AB 是 ⊙O 的弦（不是直径），作一条平分 AB 的直径 CD， 交 AB 于点 M．
（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由.
(1)是轴对称图形,对称轴是CD所在的直线.
(2)AM=BM,
⌒ ⌒
AD=BD.
⌒ ⌒
AC=BC,
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.
垂径定理的推论
·
O
A
B
C
D
特别说明：
圆的两条直径是互相平分的.
归纳总结
垂径定理的本质是:
知二得三
（1）一条直线过圆心
（2）这条直线垂直于弦
（3）这条直线平分不是直径的弦
（4）这条直线平分不是直径的弦所对的优弧
（5）这条直线平分不是直径的弦所对的劣弧
典例精讲
例：如图, —条公路的转弯处是一段圆弧（即图中 ，点O 是 所在圆的圆心），其中CD= 600m， E 为 上一点，且OE丄CD，垂足为F，EF =90m.求这段弯路的半径.
连接OC.设弯路的半径为R m，则OF= (R-90) m.
∵OE ⊥CD，∴ CF = CD = ×600 = 300 (m).
在Rt△OCF 中 ，根据勾股定理，得OC 2=CF 2+OF 2，
即R 2 = 3002 + (R-90)2.
解这个方程，得R=545.
所以，这段弯路的半径为545 m.
解：
归纳概念
在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
涉及垂径定理时辅助线的添加方法
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：
弓形中重要数量关系
A
B
C
D
O
h
r
d
d+h=r
O
A
B
C
·
课堂练习
1.如图，已知⊙O 的直径AB⊥CD 于点E，则下列结论中错误的是(　　)
A．CE＝DE
B．AE＝OE
C.
D．△OCE ≌ △ODE
B
2.如图，在半径为5的⊙O 中，弦AB＝6，OP⊥AB，垂足为点P，则OP 的长为(　　)
A．3
B．2.5
C．4
D．3.5
C
3. 已知☉O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为 .
4.如图，⊙O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点，那么OP长的取值范围 .
14cm或2cm
3cm≤OP≤5cm
5.某市某居民区一处地下圆形管道破裂，修理人员准备更换一段新管道，如图①，污水面宽度为60 cm，水面至管道顶部的距离为10 cm，问修理人员应准备内径为多大的管道？
解：如图②，弦AB 表示污水水面，点O 为圆心，圆形管道的内
径即为⊙O 的直径．设半径为r cm，过点O 作OC⊥AB 于点D，
与 交于点C，根据垂径定理知，点D 是AB 的中点，点
C 是 的中点，CD 就是污水水面至管道顶部的距离．由
题意可知：AB＝60 cm，CD＝10 cm，∴BD＝ AB＝30
cm，OD＝(r－10) cm. 在Rt△DOB 中，BD 2＋OD 2＝OB 2，即
302＋(r－10)2＝r 2，解得r＝50.∴2r＝2×50＝100(cm)．
答：修理人员应准备内径为100 cm的管道．
6.已知在以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C，D (如图)．
(1)求证：AC＝BD；
(2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O 到直线AB 的距离为6，求AC 的长．
如图，过点O 作OE⊥AB 于点E，
则CE＝DE，AE＝BE.
∴AE－CE＝BE－DE，即AC＝BD.
如图，连接OA，OC，由(1)可知，
OE⊥AB 且OE⊥CD，
∵圆心O 到直线AB 的距离为6，∴OE＝6.
∴CE＝
AE＝
∴AC＝AE－CE＝8－2
(1)证明：
(2)解：
7. 1400年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)是圆弧形，它的跨度(即弧所 对的弦长)为37.4 m，拱高(即弧的中点到弦的距离)为7.2 m，求桥拱所在圆的半径(结果精确到0.1).
解：如图，∵OD⊥AB，
∴AD＝ AB＝ ×37.4＝18.7(m)．
在Rt△ODA 中，
OD＝(R－7.2) m，OA＝R m，
∴R 2＝(R－7.2)2＋18.72，
解得R≈27.9.
∴桥拱所在圆的半径约为27.9 m.
课堂总结
垂径定理
内容
推论
辅助线
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）
垂直于弦的直径平分这条弦,
并且平分弦所对的弧.
两条辅助线：
连半径，作弦心距
构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.
基本图形及变式图形
作业布置
教材课后配套作业题。
谢谢
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