3.3 垂径定理 学案
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3.3 垂径定理 导学案
课题 3.3 垂径定理 单元 第3单元 学科 数学 年级 九年级（下）
教材分析 该节内容为1课时．圆是一种特殊图形，它是轴对称图形，学生通过类比圆的轴对称性，能利用圆的轴对称性探索、证明得出圆的垂径定理及其逆定理．垂径定理及其逆定理是解决几何计算中的重要工具，为证明线段相等和垂直的关系提供了一种新的方法.
核心素养分析 引导学生观察、分析、发现和提出问题.通过“演示实验——观察——感性——理性”引出垂径定理． 进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；进一步体会和理解研究几何图形的各种方法．
学习目标 1.理解圆的轴对称性，掌握垂径定理及其他结论.2.学会运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算和作图问题.
重点 运用探索、推理，充分把握圆中的垂径定理及其逆定理.
难点 运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明.
教学过程
课前预学 引入思考新知探究1．如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．
（1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）你能图中有哪些等量关系？说一说你的理由．2．垂径定理的内容：______________________________________________几何语言:∵ CD是直径,∴_____________、________________、________________3．辨析：判断下列图形，能否使用垂径定理？注意：定理中的两个条件缺一不可——直径（半径），垂直于弦．4．垂径定理逆定理的探索如图，AB是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交AB于点M.（1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由.垂径定理的逆定理: 平分弦（不是直径）的直径________________________________5．辨析：“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧．”如果该定理少了“不是直径”，是否也能成立？
新知讲解 提炼概念 典例精讲 例; 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中,点0是所在圆的圆心），其中CD=600m，E为上的一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径．
课堂练习 巩固训练1.如图，已知⊙O 的直径AB⊥CD 于点E，则下列结论中错误的是( )A．CE＝DE B．AE＝OEC. D．△OCE ≌ △ODE2.如图，在半径为5的⊙O 中，弦AB＝6，OP⊥AB，垂足为点P，则OP 的长为( )A．3 B．2.5 C．4 D．3.53. 已知☉O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为 .4.如图，⊙O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点，那么OP长的取值范围 .5.某市某居民区一处地下圆形管道破裂，修理人员准备更换一段新管道，如图①，污水面宽度为60 cm，水面至管道顶部的距离为10 cm，问修理人员应准备内径为多大的管道？6．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D(如图)．(1)求证：AC＝BD；(2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．7.我是赵州桥，我历史悠久，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥。我的主桥是圆弧形,我的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，但一千多年了，我还不知道我主桥拱的半径是多少，你能帮我算算吗？ 答案引入思考1.条件：① CD是直径；② CD⊥AB结论（等量关系）：③AM=BM；④=；⑤=。证明：连接OA,OB,则OA=OB在Rt△OAM和Rt△OBM中,∵OA=OB，OM=OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM.∴点A和点B关于CD对称.∵⊙O关于直径CD对称,∴当圆沿着直径CD对折时, 点A与点B重合,和重合, 和重合.∴ =，=.2．证明完毕后，让学生自行用文字语言表述这一结论，最后提炼出垂径定理的内容——垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．3．辨析：判断下列图形，能否使用垂径定理？错，对，错4.垂径定理逆定理的探索条件：① CD是直径；② AM=BM 结论（等量关系）：③CD⊥AB；④=；⑤=.让学生模仿垂径定理的证明过程，自行证明逆定理，并表述逆定理的内容——平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.5．辨析：“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧．”如果该定理少了“不是直径”，是否也能成立？反例：提炼概念典例精讲 例 解：连接OC.设弯路的半径为R m，则OF= (R-90) m.∵OE ⊥CD，∴ CF =1/2 CD = 1/2×600 = 300 (m).在Rt△OCF 中 ，根据勾股定理，得OC 2=CF 2+OF 2， 即R 2 = 3002 + (R-90)2.解这个方程，得R=545.所以，这段弯路的半径为545 m. 巩固训练 B2.C3. 14cm或2cm4. 3cm≤OP≤5cm5. 6. 解：如图，∵OD⊥AB，∴AD＝ 1/2 AB＝1/2×37.4＝18.7(m)．在Rt△ODA 中，OD＝(R－7.2) m，OA＝R m，∴R 2＝(R－7.2)2＋18.72，解得R≈27.9.∴桥拱所在圆的半径约为27.9 m.
课堂小结
O
D
B
A
C
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课题 3.3 垂径定理 单元 第3单元 学科 数学 年级 九年级（下）
教材分析 该节内容为1课时．圆是一种特殊图形，它是轴对称图形，学生通过类比圆的轴对称性，能利用圆的轴对称性探索、证明得出圆的垂径定理及其逆定理．垂径定理及其逆定理是解决几何计算中的重要工具，为证明线段相等和垂直的关系提供了一种新的方法.
核心素养分析 引导学生观察、分析、发现和提出问题.通过“演示实验——观察——感性——理性”引出垂径定理． 进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；进一步体会和理解研究几何图形的各种方法．
学习目标 1.理解圆的轴对称性，掌握垂径定理及其他结论.2.学会运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算和作图问题.
重点 运用探索、推理，充分把握圆中的垂径定理及其逆定理.
难点 运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明.
教学过程
课前预学 引入思考新知探究1．如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．
（1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）你能图中有哪些等量关系？说一说你的理由．2．垂径定理的内容：______________________________________________几何语言:∵ CD是直径,∴_____________、________________、________________3．辨析：判断下列图形，能否使用垂径定理？注意：定理中的两个条件缺一不可——直径（半径），垂直于弦．4．垂径定理逆定理的探索如图，AB是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交AB于点M.（1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由.垂径定理的逆定理: 平分弦（不是直径）的直径________________________________5．辨析：“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧．”如果该定理少了“不是直径”，是否也能成立？
新知讲解 提炼概念 典例精讲 例; 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中,点0是所在圆的圆心），其中CD=600m，E为上的一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径．
课堂练习 巩固训练1.如图，已知⊙O 的直径AB⊥CD 于点E，则下列结论中错误的是( )A．CE＝DE B．AE＝OEC. D．△OCE ≌ △ODE2.如图，在半径为5的⊙O 中，弦AB＝6，OP⊥AB，垂足为点P，则OP 的长为( )A．3 B．2.5 C．4 D．3.53. 已知☉O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为 .4.如图，⊙O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点，那么OP长的取值范围 .5.某市某居民区一处地下圆形管道破裂，修理人员准备更换一段新管道，如图①，污水面宽度为60 cm，水面至管道顶部的距离为10 cm，问修理人员应准备内径为多大的管道？6．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D(如图)．(1)求证：AC＝BD；(2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．7.我是赵州桥，我历史悠久，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥。我的主桥是圆弧形,我的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，但一千多年了，我还不知道我主桥拱的半径是多少，你能帮我算算吗？ 答案引入思考1.条件：① CD是直径；② CD⊥AB结论（等量关系）：③AM=BM；④=；⑤=。证明：连接OA,OB,则OA=OB在Rt△OAM和Rt△OBM中,∵OA=OB，OM=OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM.∴点A和点B关于CD对称.∵⊙O关于直径CD对称,∴当圆沿着直径CD对折时, 点A与点B重合,和重合, 和重合.∴ =，=.2．证明完毕后，让学生自行用文字语言表述这一结论，最后提炼出垂径定理的内容——垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．3．辨析：判断下列图形，能否使用垂径定理？错，对，错4.垂径定理逆定理的探索条件：① CD是直径；② AM=BM 结论（等量关系）：③CD⊥AB；④=；⑤=.让学生模仿垂径定理的证明过程，自行证明逆定理，并表述逆定理的内容——平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.5．辨析：“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧．”如果该定理少了“不是直径”，是否也能成立？反例：提炼概念典例精讲 例 解：连接OC.设弯路的半径为R m，则OF= (R-90) m.∵OE ⊥CD，∴ CF =1/2 CD = 1/2×600 = 300 (m).在Rt△OCF 中 ，根据勾股定理，得OC 2=CF 2+OF 2， 即R 2 = 3002 + (R-90)2.解这个方程，得R=545.所以，这段弯路的半径为545 m. 巩固训练 B2.C3. 14cm或2cm4. 3cm≤OP≤5cm5. 6. 解：如图，∵OD⊥AB，∴AD＝ 1/2 AB＝1/2×37.4＝18.7(m)．在Rt△ODA 中，OD＝(R－7.2) m，OA＝R m，∴R 2＝(R－7.2)2＋18.72，解得R≈27.9.∴桥拱所在圆的半径约为27.9 m.
课堂小结
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