第三章 函数的概念与性质 单元练习题（含解析）

第三章函数的概念与性质 期末练习题
一、单选题（12题）
1．已知，，则等于（ ）
A．3 B．4 C． D．15
2．函数的定义域为（ ）
A． B．
C．且 D．
3．函数的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
4．在定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A． B．
C． D．
5．定义在上的偶函数，对任意的，，都有，，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
6．已知是偶函数，函数对任意，且，都有成立，且，则的解集是（ ）
A． B． C． D．
7．若函数在上是严格减函数，则下列各式成立的是（ ）
A．； B．；
C．； D．．
8．已知函数在定义域上是减函数，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．幂函数的图像过点，则它在上的最小值为（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．
10．下列说法正确的是（ ）
A．当时，的图象是一条直线
B．幂函数的图象都经过点，
C．幂函数的图象有可能出现在第四象限
D．若幂函数在区间上单调递减，则
11．若函数为幂函数，且在区间上单调递增，则m=（ ）
A． B．3 C．或3 D．2或
12．一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比，若在距离车站处建仓库，则为万元，为万元，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．有最大值 D．无最小值
二、填空题（4题）
13．己知函数满足：对任意非零实数x，均有，则__________．
14．若函数的定义域和值域均为，则的值为__________.
15．函数的单调减区间为___________.
16．已知函数经过点，则不等式的解集为___________．
三、解答题（6题）
17．已知实数，函数
(1)当时，求；
(2)当时，若，求实数的范围；
(3)若，求的值.
18．已知函数，
(1)若的定义域为，求的定义域，
(2)若，求的表达式.
19．设函数为定义在上的奇函数．
(1)求实数的值；
(2)判断函数的单调性．
20．已知函数是在上的奇函数
(1)求的解析式；
(2)用定义证明：在区间上是单调递减函数．
21．已知幂函数的图象过点．
(1)求的解析式；
(2)若，，求a的取值范围．
22．已知幂函数（）的定义域为，且在上单调递增．
(1)求m的值，并利用单调性的定义证明：函数在区间上单调递增．
(2)若存在实数，使得成立，求实数的取值范围.
参考答案：
1．C
【分析】根据代入法，结合函数解析式进行求解即可.
【详解】令得，将代入中得，∴，
故选：C
2．C
【分析】根据给定函数有意义直接列出不等式组，解不等式组可得答案.
【详解】依题意，，解得且，
所以的定义域为且.
故选：C.
3．A
【分析】利用换元法，令，然后将原函数转化为自变量为的函数，再结合二次函数的性质可求出其最小值.
【详解】令，则，
所以
所以当时，取得最小值，
所以函数的最小值为，
故选：A.
4．C
【分析】利用函数奇偶性和单调性的概念分别判断各个选项的正误即可.
【详解】解：A．在定义域内没有单调性，∴该选项错误；
B．时，，x＝1时，y＝0；∴该函数在定义域内不是减函数，
∴该选项错误；
C．的定义域为R，且；
∴该函数为奇函数；
，∴该函数在，上都是减函数，
且，∴该函数在定义域R上为减函数，∴该选项正确；
D．，∵；∴该函数在定义域R上不是减函数，
∴该选项错误．
故选：C．
5．D
【分析】根据题目所给条件判断出函数的单调区间和零点，画出函数的大致图像，由此判断出正确选项.
【详解】若对任意的，，都有，
则当时，为减函数，
∵是偶函数，∴当时，是增函数，
∵，∴，由此画出大致图象，
则不等式等价为或，
即或，即不等式的解集为，
故选：D
6．D
【分析】由已知条件得到的图象关于对称，从而可知在上为增函数，
在上为减函数，且，再画出折线图表示出函数的单调性，即可得到答案.
【详解】因为是偶函数，即的图象关于对称.
所以的图象关于对称.
因为函数对任意，且，都有成立，
所以在上为增函数.
又因为的图象关于对称，，
所以在为减函数，且.
用折线图表示函数的单调性，如图所示：
由图知：.
故选：D.
7．C
【分析】取特殊值排除ABD，证明结合单调性得到B正确，得到答案.
【详解】对选项A：取，则，不成立；
对选项B：取，则，不成立；
对选项C： ，故，函数单调递减，故，成立；
对选项D：取，则，不成立；
故选：C
8．A
【分析】由函数的单调性及定义域化简不等式，即可得解.
【详解】因为函数在定义域上是减函数，且，
则有
解得，所以实数的取值范围是.
故选：A．
9．D
【分析】代入点坐标得到幂函数解析式，根据幂函数单调性得到最值.
【详解】设幂函数为，函数过，则，故，
，函数在单调递减，故.
故选：D
10．D
【分析】根据幂函数的性质，结合零指数幂的性质逐一判断即可,
【详解】当时，此时要求，所以的图象是一条直线是错误的，因此选项A不正确；
幂函数的图象不经过点，所以选项B不正确；
当时，幂函数，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，所以选项C不正确；
当幂函数在区间上单调递减，则有，所以选项D正确，
故选：D
11．A
【分析】根据已知条件列出关于的方程和不等式可求出结果.
【详解】因为函数为幂函数，且在区间上单调递增，
所以且，
由，得或，
当时，满足，
当时，不满足，舍去，
综上，
故选：A
12．D
【分析】根据题意求出、关于的表达式，可判断AB选项的正误；利用基本不等式可判断C选项的正误；利用函数的单调性可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，设，可得，所以，，则，A错；
对于B选项，设，可得，所以，，则，B错；
对于C选项，因为，由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，C错；
对于D选项，令，则函数在上为减函数，
故无最小值，D对.
故选：D.
13．
【分析】取，则，得到答案.
【详解】，取，则，即.
故答案为：
14．
【分析】由二次函数的解析式，可知二次函数关于成轴对称，即可得到，从而得到方程组，解得即可.
【详解】解：因为，对称轴为，开口向上，
所以函数在上单调递增，
又因为定义域和值域均为，
所以，即，解得（舍去）或，
所以.
故答案为：
15．和
【分析】分离参数，根据反比例函数的性质可得的单调区间，进而可求解.
【详解】，由于函数的单调减区间为和.
故函数的单调减区间为和.
故答案为：和
16．
【分析】首先代入求出，则，利用函数单调性即可得到不等式，解出即可.
【详解】由题意得，解得，故，
则即为，
根据在上为单调增函数，则有，
解得，故解集为，
故答案为：.
17．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据解析式求出，再求出即可得解；
（2）根据求出和，再解不等式可得结果；
（3）分类讨论求出和，再解方程可得结果.
【详解】（1）当时，函数，
所以.
（2）当时，，所以，
，
因为，所以，即，
解得，又，
所以.
（3）当时，，此时，，
由，得，解得：，不满足，舍去；
当时，，，，
由，得，解得.
综上所述：.
18．(1)
(2)
【分析】（1）利用抽象函数定义域求法解不等式即可求得的定义域；（2）利用换元法，令即可求得的表达式.
【详解】（1）∵的定义域为，
∴的定义域满足
解得，
∴的定义域为.
（2）∵，易得定义域为
令，则，
代入上式得，
∴的表达式为
19．(1)；
(2)在上单调递减，在上单调递减.
【分析】（1）由奇函数的定义，可得，化简整理，可得；
（2）函数在上单调递减，按照单调性定义证明，结合奇函数可判断在上的单调性.
【详解】（1）解：是奇函数，定义域为，
，
，
，．
（2）解：，则函数在上单调递减，理由如下：
任取，
则
因为，所以，则，即
所以函数在上单调递减；
由于为奇函数，所以在上单调递减.
20．(1)
(2)证明过程见解析
【分析】（1）根据奇函数得到，及，求出，得到解析式；
（2）利用定义法证明函数单调性步骤：取值，作差，变形，判号.
【详解】（1）由题意得：，解得：，
，由，
解得：，
故；
（2），
则，
因为，所以，
，
所以，
在区间上是单调递减函数.
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据函数为幂函数，得到，求出或-1，检验后得到；
（2）化为，，根据单调性得到，从而求出a的取值范围.
【详解】（1）为幂函数，故，
解得：或-1，
当时，，显然图象不过点，不合题意，舍去；
当时，，图象过点，满足要求，
综上：；
（2），，
即，，
其中在上单调递减，
故，
所以，a的取值范围是.
22．(1)，证明见解析
(2)
【分析】(1)根据幂函数的定义可知：，再代入指数中判断是否在上单调递增即可求出函数的解析式，然后利用函数单调性的定义即可证明；
(2) 将不等式等价转化为，再结合（1）的结论，函数在上单调递增，求出函数的最大值即可求解.
【详解】（1）因为函数为幂函数，所以，解得：或，
又因为函数在上单调递增，
当，在上单调递减，故舍去，
当，在上单调递增，满足题意，
所以，
任取且，
则
，
∵，则，，故，
因此函数在上为增函数．
（2）若存在实数，使得成立，则，
由（1）可知，在上单调递增，
所以当时，，
所以，则．