第三章 函数的概念与性质 单元测试（含答案）

第三章 函数的概念与性质
一、单选题
1．函数的定义域是（ ）
A． B． C．且 D．以上都不对
2．下列各组函数中，表示同一函数的一组是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．已知函数，则（ ）
A． B．3 C．1 D．19
4．若，且，则（ ）
A．3 B． C． D．
5．已知在定义域上是减函数，且，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
6．奇函数在上的解析式是，则在上的函数解析式是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知幂函数的图像经过点，则下列命题中正确的是（ ）
A．图像关于y轴对称 B．在定义域上是严格增函数
C．的取值范围是 D．在定义域内有最大值
8．已知函数，则下列说法正确的个数为（ ）
①函数的定义域为；
②；
③函数的图象关于直线对称；
④当时，；
⑤函数的图象与x轴有4个交点．
A．2 B．3 C．4 D．5
二、多选题
9．下列选项正确的是（ ）
A．的定义域是
B．若函数的定义域为，则函数的定义域为
C．函数在的值域为
D．函数的值域为
10．已知函数则下列结论正确的是（ ）
A．的图像过 B．
C．的值域为 D．的定义域为
11．已知幂函数图像经过点，则下列命题正确的有（ ）
A．函数为增函数 B．函数为偶函数
C．若，则 D．若，则
12．已知函数的定义域为R，若对任意实数x，y都有，且时，，则( )
A． B．的图象关于原点对称
C．在R上为减函数 D．不等式的解集为
三、填空题
13．若函数为上的单调函数，则实数的取值范围是______.
14．已知是上的偶函数，且在上是增函数，又，则不等式的解集是________．
15．已知幂函数的图象过点，且，则实数的取值范围是__________．
16．函数的定义域为，且，都有，给出给出下列四个结论：
①或；
②一定不是偶函数；
③若，且在上单调递增，则在上单调递增；
④若有最大值，则一定有最小值．
其中，所有正确结论的序号是______________．
四、解答题
17．（1）已知的定义域为，求的定义域．
（2）已知，求函数的解析式．
18．设函数.
(1)求，；
(2)若，求的值.
19．已知函数，且．
(1)求；
(2)判断函数在上的单调性，并证明你的结论；
(3)并求函数在上的值域．
20．已知幂函数（）的定义域为，且在上单调递增．
(1)求m的值，并利用单调性的定义证明：函数在区间上单调递增．
(2)若存在实数，使得成立，求实数的取值范围.
21．定义在R上的函数满足：对任意x、都有．
(1)求证：函数是奇函数；
(2)如果当时，有，求证：在上是单调递减函数；
(3)在满足条件（2）求不等式的a的集合．
22．已知函数，且单调递增区间是．
(1)若对任意实数都成立，求a，b的值．
(2)若在区间上有最小值，求实数b的值．
(3)若，对任意的，，总有，求实数b的取值范围．
答案
1．D
2．C
3．B
4．C
5．B
6．B
7．B
8．B
9．AD
10．BD
11．BD
12．BC
13．
14．
15．
16．①③
17．（1）函数的定义域为，
可得， 则，
则中，，
解得 ，
可得的定义域为；
令，则，
则，
所以函数的解析式为．
18．（1）；
又，所以.
（2）①当时，，满足题意；
②当时，，满足题意；
③当时，，不满足题意.
综上①②③：的值为或.
19．（1）∵，且，∴．
（2）函数在上单调递增．
证明：任取，，且，
则，
∵，∴，，．
∴，即．∴函数在上单调递增．
（3）由（2）得在上单调递增，∴在上单调递增，
又，，∴在上的值域为．
20．（1）因为函数为幂函数，所以，解得：或，
又因为函数在上单调递增，
当，在上单调递减，故舍去，
当，在上单调递增，满足题意，
所以，
任取且，
则
，
∵，则，，故，
因此函数在上为增函数．
（2）若存在实数，使得成立，则，
由（1）可知，在上单调递增，
所以当时，，
所以，则．
21．（1）证明：令x＝y＝0，代入式，
得，即．
令，代入，
得，又，则有．
即对任意成立，所以是奇函数．
（2）任取，则，
由题设时，，可得
故有，所以在上是单调递减函数．
（3）任取，则，
由题设时，，可得
故有，所以在R上是单调递减函数．
由题意可知：奇函数，，所以
又因为在R上是单调递减函数．所以，
解得：．
22．（1）的单调递增区间是，可得为的对称轴，则即，即，
因为即对任意的都成立，
则，即，但，故，
（2）的对称轴为，
①若，则在递减，在递增，
则，即，解得，则；
②若，则在递减，则，即，
综上可得，或；
（3）因为对任意的，，总有，
所以对，，
当时，，且，
所以，，
则，可得，
则，即b的取值范围是．