第四章 指数函数与对数函数 期末复习题（含解析）

第四章 指数函数与对数函数 期末复习题
一、单选题（12题）
1．设 为非零实数，则下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，则的值为（ ）
A．4 B． C．5 D．
3．如果函数和都是指数函数，则（ ）
A． B．1 C．9 D．8
4．已知有三个数，，，则它们的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数，则对性质描述正确的是（ ）
A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数
7．若实数满足，且，则的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．2
8． 的值为（ ）
A． B．1 C． D．
9．下列函数表达式中，是对数函数的有（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
10．设是定义域为的奇函数，且在上是严格增函数，则下列一定正确的选项是（ ）
A． B．
C． D．
11．函数的零点所在的区间为（ ）
A． B．
C． D．
12．已知定义域为D的函数，若，都，满足，则称函数具有性质．若函数具有性质，则“存在零点”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、填空题（4题）
13．函数的定义域是___________．
14．已知函数的图象恒过点A，则点A的坐标为______.
15．A B C三个物体同时从同一点出发向同向而行，位移关于时间的函数关系式分别为，则下列结论中，所有正确结论的序号是__________.
①当时，A总走在最前面；
②当时，C总走在最前面；
③当时，一定走在前面.
16．用二分法求函数在区间内的零点近似值时，验证了，取区间的中点，得，那么此时零点______（填区间）．
三、解答题（6题）
17．（1）计算：；
（2）化简：．
18．已知的定义域为集合A，函数，的值域为集合B．
(1)求；
(2)若集合，且，求实数a的取值范围．
19．已知函数的表达式为的图像关于原点成中心对称．
(1)求实数的值；
(2)已知函数是上的严格增函数，当时，函数的值域为，求实数，的值．
20．已知函数（，），且．
(1)求实数的值；
(2)解关于的不等式：．
21．已知函数.
(1)判断的奇偶性；
(2)若关于x的方程有两个不同的实数根，求实数a的取值范围.
22．已知，．
(1)求的定义域；
(2)当时，对任意的，在上的最大值与最小值的差不超过，求的取值范围．
(3)若关于的方程的解集中恰有一个元素，求实数的取值范围；
参考答案：
1．B
【分析】举反例可判断A;根据指数幂的运算法则一一判断B,C,D，可得答案.
【详解】对于A,当n取偶数，时不成立，比如 ，故A错误；
对于B，，正确；
对于C, ，B错误；
对于D, ,D错误，
故选：B
2．B
【分析】根据题意，再变换，代入数据得到答案.
【详解】，故，，故
.
故选：B
3．D
【分析】利用指数函数解析式的特点求解即可.
【详解】根据题意可得，，则.
故选：D
4．B
【分析】根据指数幂运算性质可将化为和，根据指数函数单调性可比较出大小关系.
【详解】，，又在上单调递增，
，即.
故选：B.
5．B
【分析】利用指数函数的性质即可得解.
【详解】因为，
因为，所以在上单调递减，从而排除选项AC；
又因为指数函数过定点，所以排除选项D；
而选项B中的图像满足的性质，故B正确.
故选：B.
6．A
【分析】根据奇偶性的判断方法和单调性的性质即可判断﹒
【详解】f(x)定义域为R，f(－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数；
为增函数，也为增函数，∴f(x)为增函数﹒
故选：A﹒
7．B
【分析】根据对数运算化简条件得，再利用基本不等式求的最小值，
【详解】因为，所以，
实数、满足，
所以（当且仅当，时等式成立），
故选：B．
8．C
【分析】利用对数换底公式，化简求值，可得答案.
【详解】,
故选：C
9．B
【分析】根据对数函数定义分析每个函数表达式即可
【详解】由于①中自变量出现在底数上，①不是对数函数；
由于②中底数不能保证，且，②不是对数函数；
由于⑤⑦的真数分别为，，⑤⑦也不是对数函数；
由于⑥中的系数为2，⑥也不是对数函数；
只有③④符合对数函数的定义.
故选：B
【点睛】本题考查对数函数的定义，属于基础题
10．A
【分析】求出函数在定义域上的单调性，比较，和的大小即可得出，，三者的大小关系.
【详解】解：由题意
∵是定义域为的奇函数，且在上是严格增函数，
∴在上也是严格增函数.
∵在中，函数单调递减，故，
在中，函数单调递增，
∴
∴，
故选：.
11．C
【分析】首先判断函数的单调性，再通过求解对应点的值，判断，结合零点判断定理，得出结论即可．
【详解】因为，可知在定义域为单调递增；
又因为，
，
，
．
所以，故函数的零点所在的区间为．
故选：C．
12．B
【分析】根据新定义寻找条件说明充分性与必要性是否成立即可.
【详解】若存在零点，令，
则，
因为，取，
则，且，
所以函数具有性质，但是，
故充分性不成立，
若，
因为函数具有性质，
取，则，使得
，
所以，所以存在零点，
故必要性成立，
综上所述：若函数具有性质，
则“存在零点”是“”的必要不充分条件，
故选：B.
13．且
【分析】根据题意得到求解即可.
【详解】由题知：且.
故答案为：且.
14．
【分析】由，令真数为，即代入求值，可得定点坐标．
【详解】∵，∴当时，，∴函数的图象恒过定点
故答案为：
15．①②
【分析】画出三函数的图象，结合三种类型函数的增长速度，数形结合得到结论.
【详解】在同一坐标系内画出的函数图象，
当时，指数函数的增长速度>幂函数的增长速度>对数函数的增长速度，
当时，，故当时，A总走在最前面，①正确；
当时，由图象可知：C总走在最前面，②正确；
当时，，
当时，，
由于幂函数的增长速度>对数函数的增长速度，
故时，B走在C前面，
当时，走在后面，③错误.
故答案为：①②
16．
【分析】由零点存在性定理判断即可.
【详解】因为，所以与同号，又，所以与异号，即与异号，所以.此时零点.
故答案为：
17．（1）；（2）1
【分析】（1）根据指数幂的运算法则运算求解即可；
（2）根据指数幂的运算法则运算求解即可；
【详解】解：（1）；
（2）
18．(1)
(2)
【分析】（1）要使函数有意义，则，利用对数的单调性可得x的范围，即可得到其定义域为集合A；对于函数，利用指数函数的单调性可得出其值域为集合B．利用交集运算性质可得．
（2）由于，可得．分类讨论：对与，利用集合之间的关系即可得出．
【详解】（1）要使函数意义，则且 ，解得，
∴其定义域为集合；
对于函数，∵，∴，故，其值域为集合．
∴．
（2）∵，∴．
当时，即时，，满足条件；
当时，即时，要使，则，解得．
综上可得：．
19．(1)
(2)，
【分析】（1）根据函数为奇函数，得到，求出，检验后得到结果；
（2）根据函数的单调性得到方程组，求出实数，的值．
【详解】（1）的定义域为R，∵的图像关于原点成中心对称，
∴，，
即，解得:，经检验符合题意，
∴；
（2）∵是R上的严格增函数，
∴，解得：，．
20．(1)
(2)
【分析】（1）由，代入函数解析式解方程；
（2）换元法先解二次不等式，再求解对数不等式.
【详解】（1）由得，
所以，即，
因为，所以.
（2）令，不等式转化为，
即，解之得，
即，而，，
所以
故该不等式的解集为. .
21．(1)为奇函数
(2)
【分析】（1）根据奇偶性的定义即可求解，
（2）将问题等价转化为在区间上有两个不同的实数根，构造函数，数形结合即可求解.
【详解】（1）为奇函数，理由如下：
由题意得，解得，
即函数的定义域为，故定义域关于原点对称.
又，
故为奇函数.
（2）由，
得，
所以，
所以，
故方程有两个不同的实数根可转化为方程
在区间上有两个不同的实数根，
即函数与在区间上的图像有两个交点.
设，，
则，.
作出函数，的图像如图所示.
当时，函数与，的图像有两个交点，
即关于x的方程有两个不同的实数根，
故实数a的取值范围是.
22．(1)答案不唯一，具体见解析
(2)
(3)
【详解】（1）由题知，
因为，
所以，
当时，解得,
当时，解得,
当时，解得 ，
综上可知，当时，的定义域为,当时，的定义域为,当时，的定义域，
（2）因为当时，对任意的，在上单调递增，
所以，
即，整理得，
因为，
所以，
所以，解得，
所以的取值范围为.
（3）由题知，有唯一解，
所以方程组有唯一解，
所以，
当时，，不符合，
当，即时，，也不符合，
当，且时，方程的解为，
若是方程的解，则解得或，
若是方程的解，则解得，
综上可得得取值范围是.