第二章一元二次函数、方程和不等式 期末复习题
一、单选题(12题)
1.下列命题是真命题的是( )
A.若 ,则 ; B.若 ,则 ;
C.若 ,则 ; D.若 ,则 .
2.若,则下列不等式一定成立的是( )
A. B.
C. D.
3.如果,且,那么以下不等式正确的个数是( )
①;②;③;④.
A. B. C. D.
4.已知且,求4a-2b的取值范围( )
A. B.
C. D.
5.已知,则的最小值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
6.下列不等式恒成立的是( )
A.; B.;
C.; D..
7.若正数a,b满足,则的最小值为( )
A.16 B.13 C.20 D.15
8.下列不等式中等号可以取到的是( )
A. B.
C. D.
9.已知函数,,函数的值域为( )
A. B.
C. D.
10.设,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不必要也不充分条件
11.关于的不等式的解集是,则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
12.对于实数,规定表示不大于的最大整数,那么不等式成立的的取值范围是( )
A. B. C.. D.
二、填空题(4题)
13.若、满足,则的取值范围是______.
14.有以下命题:①若,则;②若,则;③若,则;④若,则.其中真命题的个数是______.
15.若实数,,且,则的最小值为______.
16.已知,若的解集为或,则的值为______.
三、解答题(6题)
17.解决下列问题:
(1).已知,且,比较与的大小;
(2).已知,,试比较与的大小.
18.求解下列问题:已知,,,,.
(1)比较与的大小;
(2)比较与的大小.
19.已知,,.
(1)求的最小值并说明取得最小值时,满足的条件;
(2),恒成立,求的取值范围.
20.已知函数.
(1)若的解集为,求实数、的值;
(2)当时,若关于的不等式恒成立,求实数的取值范围.
21.已知关于x的不等式的解集是,求关于x的不等式的解集.
22.已知函数在定义域内是单调函数.
(1)求实数的取值范围;
(2)是否存在实数,使函数的最小值为7?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
参考答案:
1.D
【分析】举反例排除A,B,C,利用不等式的基本性质判断D.
【详解】对于选项A,当时,满足,但,故A错误;
对于选项B, 当时,满足,但,故B错误;
对于选项C, 当时,满足,但,故C错误;
对于选项D,因为,所以,所以,则,故D正确.
故选:D.
2.D
【分析】采用作差法可确定AD正误;通过反例可知BC错误.
【详解】对于A,,,A错误;
对于B,当,时,,B错误;
对于C,当时,,C错误;
对于D,,,D正确.
故选:D.
3.C
【分析】根据不等式的性质分别进行判断即可.
【详解】由知,.又,∴,
∴,即.
又,∴,
,∴,
故①正确,③正确,④也正确,
又,,故②错误.
故选:C.
4.B
【分析】利用待定系数法,结合不等式的性质进行求解即可.
【详解】设,
因为,
所以,所以,
故选:B
5.C
【分析】将式子变形为,然后利用基本不等式即可求解.
【详解】因为,所以,
则
(当且仅当,也即时取等号)
所以的最小值为,
故选:.
6.D
【分析】对于A、B、C:取特殊值否定结论;对于D:利用基本不等式直接证明.
【详解】对于A:取,,则,,此时.
故A错误;
对于B:取,,则,,此时.
故B错误;
对于C:取,,则,,此时.
故C错误;
对于D:因为,所以.
故D正确.
故选:D
7.A
【分析】根据,再结合基本不等式求解即可.
【详解】因为正数a,b满足,
则,
当且仅当且,即,时取等号,此时取得最小值16.
故选:A.
8.C
【分析】根据基本不等式使用条件逐一检验取等条件即可得答案.
【详解】解:对于A,因为,所以,当且仅当,即,故等号不成立,故A不符合;
对于B,因为,所以,当且仅当,即,故等号不成立,故B不符合;
对于C,因为,所以,当且仅当,即时取等号,故C符合;
对于D,因为,所以,当且仅当,即,故等号不成立,故D不符合.
故选:C.
9.D
【分析】利用二次函数的基本性质可求得函数的值域.
【详解】当时,,则.
故选:D.
10.A
【分析】解出不等式,结合充分条件不必要条件的概念可得到结果.
【详解】若,则,
若,则,
∵,则“”是“”的充分不必要条件.
故选:A.
11.A
【分析】根先将不等式,写为,对整体换元,再进行全分离求最值,分新元是否为零,再用基本不等式即可得出结果.
【详解】解:由题知,关于的不等式的解集是,
因为,
不妨取,,
即对于,
即,
当时,,
当时,
,
当且仅当,即时取等,
故,
故,
综上: .
故选:A
12.D
【分析】先解关于的二次不等式,再根据的定义求的取值范围.
【详解】由解得,
因为表示不大于的最大整数,所以或2,
所以.
故选:D.
13.
【分析】利用不等式的基本性质可求得的取值范围.
【详解】因为,则,,且,所以,,
所以,.
故的取值范围是.
故答案为:.
14.1
【分析】根据不等式的性质逐一判断即可.
【详解】①若,当均大于0时,有,当均小于0时,有,错误;
②若,当时,不等式两边同乘得,当时,不等式两边同乘得,错误;
③若,则,当时,不等式两边同乘得,当时,不等式两边同乘得,错误;
④若,则均大于0,所以,正确;
综上四个命题中真命题为④,
故答案为:1
15.
【分析】由已知变形可得出,将与相乘,展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】因为实数,,且,则,
所以,
,
当且仅当时,即当时,等号成立.
因此,的最小值为.
故答案为:.
16.##
【分析】将不等式变形为,从而转化为是方程的两根,利用韦达定理求出.
【详解】因为恒成立,
故变形为,
由于的解集为或,
所以是方程的两根,
故,解得:.
故答案为:
17.(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】利用做差法,结合配方,分解因式可得答案.
【详解】(1)
注意到,
所以当时,,即;
当时,,即.
(2)由题意
,
因为,,
所以,,,
所以,当且仅当时等号成立,
所以(当且仅当时取等号).
18.(1)
(2)
【分析】(1)利用作差法即可比较;
(2)作差后配方再比较大小.
【详解】(1)因为,所以.
(2)因为
,,
,故.
19.(1)最小值,当,满足时取得最小值.
(2)实数的取值范围是.
【分析】(1)将化为,展开后由基本不等式进行求解;
(2)将化为,使用基本不等式求出最小值即可求解
【详解】(1)∵,
∴,
∵,,∴,,
∴由基本不等式,有,
当且仅当,即时,等号成立,
∴,
即的最小值为,当且仅当时,取得最小值.
(2)由已知, ,
当时,由基本不等式,有,
当且仅当,即时等号成立,
∴,
即已知,当且仅当时,取最小值,,
又∵恒成立,
∴,
∴实数的取值范围是.
20.(1),
(2)
【分析】(1)分析可知、为关于的方程两根,且,利用根与系数的关系可求得实数、的值;
(2)由参变量分离法可知,对任意的恒成立,结合基本不等式可求得实数的取值范围.
【详解】(1)解:由题意可知、为关于的方程两根,且,
所以,,解得.
此时方程为,,合乎题意,
因此,,.
(2)解:当时,由,可得,,
由基本不等式可得,当且仅当时,等号成立,故,
所以实数的取值范围为
21.
【分析】由一次不等式的解集找出的关系,
代入分式不等式中,解分式不等式即可.
【详解】因为的解集是,
所以,且,即.
所以不等式等价于,
即
解得.
故不等式的解集为.
22.(1)
(2)存在;
【分析】(1)由是二次函数,找出对称轴,根据在定义域内是单调函数,求出的取值范围即可;
(2)由(1)的结论,分,两种情况讨论,根据单调性,求出最小值,使其为7即可求出的值.
【详解】(1)解:由题知函数为二次函数,其对称轴为,
因为函数在定义域内是单调函数,
所以或,
即或,
所以实数的取值范围是;
(2)由(1)知或 ,
当,即时,函数在区间上单调递增,
此时函数在区间上的最小值是,解得;
当,即时,函数在区间上单调递减,
此时函数在区间上的最小值是,解得(舍去);
综上,存在,使函数的最小值为7.