第二章一元二次函数、方程和不等式 期末复习题（含解析）

第二章一元二次函数、方程和不等式 期末复习题
一、单选题（12题）
1．下列命题是真命题的是（ ）
A．若 ，则 ； B．若 ，则 ；
C．若 ，则 ； D．若 ，则 ．
2．若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如果，且，那么以下不等式正确的个数是（ ）
①；②；③；④.
A． B． C． D．
4．已知且，求4a-2b的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
5．已知，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．下列不等式恒成立的是（ ）
A．； B．；
C．； D．．
7．若正数a，b满足，则的最小值为（ ）
A．16 B．13 C．20 D．15
8．下列不等式中等号可以取到的是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知函数，，函数的值域为（ ）
A． B．
C． D．
10．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不必要也不充分条件
11．关于的不等式的解集是,则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
12．对于实数，规定表示不大于的最大整数，那么不等式成立的的取值范围是（ ）
A． B． C．. D．
二、填空题（4题）
13．若、满足，则的取值范围是______．
14．有以下命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中真命题的个数是______．
15．若实数，，且，则的最小值为______．
16．已知，若的解集为或，则的值为______．
三、解答题（6题）
17．解决下列问题：
(1).已知，且，比较与的大小；
(2).已知，，试比较与的大小.
18．求解下列问题：已知，，，，．
(1)比较与的大小；
(2)比较与的大小.
19．已知，，.
(1)求的最小值并说明取得最小值时，满足的条件；
(2)，恒成立，求的取值范围.
20．已知函数.
(1)若的解集为，求实数、的值；
(2)当时，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
21．已知关于x的不等式的解集是，求关于x的不等式的解集．
22．已知函数在定义域内是单调函数．
(1)求实数的取值范围;
(2)是否存在实数,使函数的最小值为7？若存在,求出的值;若不存在,说明理由．
参考答案：
1．D
【分析】举反例排除A，B，C，利用不等式的基本性质判断D.
【详解】对于选项A，当时，满足，但，故A错误；
对于选项B， 当时，满足，但，故B错误；
对于选项C， 当时，满足，但，故C错误；
对于选项D，因为，所以，所以，则，故D正确.
故选：D.
2．D
【分析】采用作差法可确定AD正误；通过反例可知BC错误.
【详解】对于A，，，A错误；
对于B，当，时，，B错误；
对于C，当时，，C错误；
对于D，，，D正确.
故选：D.
3．C
【分析】根据不等式的性质分别进行判断即可．
【详解】由知，．又，∴，
∴，即．
又，∴，
，∴，
故①正确，③正确，④也正确，
又，，故②错误．
故选：C．
4．B
【分析】利用待定系数法，结合不等式的性质进行求解即可.
【详解】设，
因为，
所以，所以，
故选：B
5．C
【分析】将式子变形为，然后利用基本不等式即可求解.
【详解】因为，所以，
则
（当且仅当，也即时取等号）
所以的最小值为，
故选：.
6．D
【分析】对于A、B、C：取特殊值否定结论；对于D：利用基本不等式直接证明.
【详解】对于A：取，，则，，此时.
故A错误；
对于B：取，，则，，此时.
故B错误；
对于C：取，，则，，此时.
故C错误；
对于D：因为，所以.
故D正确.
故选：D
7．A
【分析】根据，再结合基本不等式求解即可．
【详解】因为正数a，b满足，
则，
当且仅当且，即，时取等号，此时取得最小值16．
故选：A．
8．C
【分析】根据基本不等式使用条件逐一检验取等条件即可得答案.
【详解】解：对于A，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故A不符合；
对于B，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故B不符合；
对于C，因为，所以，当且仅当，即时取等号，故C符合；
对于D，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故D不符合.
故选：C.
9．D
【分析】利用二次函数的基本性质可求得函数的值域.
【详解】当时，，则.
故选：D.
10．A
【分析】解出不等式，结合充分条件不必要条件的概念可得到结果．
【详解】若，则，
若，则，
∵，则“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
11．A
【分析】根先将不等式,写为,对整体换元,再进行全分离求最值,分新元是否为零,再用基本不等式即可得出结果.
【详解】解:由题知,关于的不等式的解集是,
因为,
不妨取,,
即对于,
即,
当时,,
当时,
,
当且仅当,即时取等,
故,
故,
综上: .
故选:A
12．D
【分析】先解关于的二次不等式，再根据的定义求的取值范围.
【详解】由解得，
因为表示不大于的最大整数，所以或2，
所以.
故选：D.
13．
【分析】利用不等式的基本性质可求得的取值范围.
【详解】因为，则，，且，所以，，
所以，.
故的取值范围是.
故答案为：.
14．1
【分析】根据不等式的性质逐一判断即可.
【详解】①若，当均大于0时，有，当均小于0时，有，错误；
②若，当时，不等式两边同乘得，当时，不等式两边同乘得，错误；
③若，则，当时，不等式两边同乘得，当时，不等式两边同乘得，错误；
④若，则均大于0，所以，正确；
综上四个命题中真命题为④，
故答案为：1
15．
【分析】由已知变形可得出，将与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】因为实数，，且，则，
所以，
，
当且仅当时，即当时，等号成立.
因此，的最小值为.
故答案为：.
16．##
【分析】将不等式变形为，从而转化为是方程的两根，利用韦达定理求出.
【详解】因为恒成立，
故变形为，
由于的解集为或，
所以是方程的两根，
故，解得：.
故答案为：
17．(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】利用做差法，结合配方，分解因式可得答案.
【详解】（1）
注意到，
所以当时，，即；
当时，，即.
（2）由题意
，
因为，，
所以，，，
所以，当且仅当时等号成立，
所以（当且仅当时取等号）.
18．(1)
(2)
【分析】（1）利用作差法即可比较；
（2）作差后配方再比较大小.
【详解】（1）因为，所以.
（2）因为
，，
，故.
19．(1)最小值，当，满足时取得最小值.
(2)实数的取值范围是.
【分析】（1）将化为，展开后由基本不等式进行求解；
（2）将化为，使用基本不等式求出最小值即可求解
【详解】（1）∵，
∴，
∵，，∴，，
∴由基本不等式，有，
当且仅当，即时，等号成立，
∴，
即的最小值为，当且仅当时，取得最小值.
（2）由已知， ，
当时，由基本不等式，有，
当且仅当，即时等号成立，
∴，
即已知，当且仅当时，取最小值，，
又∵恒成立，
∴，
∴实数的取值范围是.
20．(1)，
(2)
【分析】（1）分析可知、为关于的方程两根，且，利用根与系数的关系可求得实数、的值；
（2）由参变量分离法可知，对任意的恒成立，结合基本不等式可求得实数的取值范围.
【详解】（1）解：由题意可知、为关于的方程两根，且，
所以，，解得.
此时方程为，，合乎题意，
因此，，.
（2）解：当时，由，可得，，
由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，故，
所以实数的取值范围为
21．
【分析】由一次不等式的解集找出的关系，
代入分式不等式中，解分式不等式即可.
【详解】因为的解集是，
所以，且，即．
所以不等式等价于，
即
解得．
故不等式的解集为.
22．(1)
(2)存在;
【分析】(1)由是二次函数,找出对称轴,根据在定义域内是单调函数,求出的取值范围即可;
(2)由(1)的结论,分,两种情况讨论,根据单调性,求出最小值,使其为7即可求出的值.
【详解】（1）解:由题知函数为二次函数,其对称轴为,
因为函数在定义域内是单调函数,
所以或,
即或,
所以实数的取值范围是;
（2）由(1)知或 ,
当,即时,函数在区间上单调递增,
此时函数在区间上的最小值是,解得;
当,即时,函数在区间上单调递减,
此时函数在区间上的最小值是,解得（舍去）;
综上,存在,使函数的最小值为7．