【班海精品】人教版（新）八下-16.1 二次根式 第一课时【优质课件】

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16.1 二次根式
第1课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
填空：
一个正数有_______平方根，它们____________；
0的平方根是____；_________没有平方根.
两个
互为相反数
0
负数
新课精讲
探索新知
1
知识点
二次根式的定义
思考
用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：
(1)面积为3的正方形的边长为_________，面积为S 的正
方形的边长为__________.
(2)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 m2，则
它的宽为________m.
探索新知
(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t (单位：s)与开始落下时离地面的高度h (单位：m)满足关系h=5t 2.如果用含有h 的式子表示t，那么t 为______.
上面问题的结果分别是 ，它们表示一些正数的算术平方根.
探索新知
形如 (a≥0)的式子叫做二次根式；
其中“ ”称为二次根号，a 称为被开方数(式)．
定义
探索新知
导引：判断一个式子是不是二次根式，实质是看它是否具备二次根式定义的条件，紧扣定义进行识别．
解：(1)∵ 的根指数是3，∴ 不是二次根式．
(2)∵不论x为何值，都有x 2＋1＞0，∴ 是二次根式．
(3)当－5a≥0，即a≤0时， 是二次根式；
当a＞0时，－5a＜0，则 不是二次根式．
∴ 不一定是二次根式．
(4) ＋1(a≥0)只能称为含有二次根式的式子，不能称为二次根式．
例1 判断下列各式是否为二次根式，并说明理由．
(1) ；(2) ；(3) ；(4) ＋1(a≥0);
(5) ；(6) ；(7) ；(8)
探索新知
(5)当x＝－3时， 无意义，∴ 也无意义；
当x≠－3时， ＞0，∴ 是二次根式．
∴ 不一定是二次根式．
(6)当a＝4时，a－4＝0， 是二次根式；
当a≠4时，－(a－4)2＜0， 不是二次根式．
∴ 不一定是二次根式．
(7)∵x 2＋2x＋2＝x 2＋2x＋1＋1＝(x＋1)2＋1＞0，
∴ 是二次根式．
(8)∵|x |≥0，∴ 是二次根式．
探索新知
总 结
二次根式的识别方法：
判断一个式子是否为二次根式，一定要紧扣二次根式
的定义，看所给的式子是否同时具备二次根式的两个
特征：
(1)含根号且根指数为2(通常省略不写)；
(2)被开方数(式)为非负数．
典题精讲
要画一个面积为18 cm2的长方形，使它的长与宽之比为3 : 2，它的长、宽各应取多少？
1
设长方形的长、宽分别为3x cm，2x cm，由题意得2x×3x＝18，
解得x＝ (负值舍去)．
长方形的长、宽应分别取3 cm和2 cm.
答：
解：
2 下列式子：
中，一定是二次根式的有(　　)
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
C
探索新知
2
知识点
二次根式有意义的条件
式子 只有在条件a≥0时才叫二次根式．
即a≥0是 为二次根式的前提条件.
总 结
1．二次根式有意义的条件是被开方数(式)为非负数；反之也成立，即：
有意义 a≥0.
2．二次根式无意义的条件是被开方数(式)为负数；反之也成立，即：
无意义 a＜0.
探索新知
例2 当x 是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？
解：由x-2≥0，得x ≥2.
当x ≥2时， 在实数范围内有意义.
典题精讲
1 当a 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1) (2)
(3) (4)
(1)由a－1≥0，得a≥1，所以当a≥1时， 在实数范围内有意义．
解：
(2)由2a＋3≥0，得a≥－ ，
所以当a≥－ 时，2a＋3在实数范围内有意义．
(3)由－a≥0，得a≤0，所以当a≤0时， 在实数范围内有意义．
(4)由5－a≥0，得a≤5，
所以当a≤5时， 在实数范围内有意义．
典题精讲
二次根式 中，x 的取值范围是(　　)
A．x≥1 B．x＞1
C．x≤1 D．x＜1
2
A
式子 有意义，则实数a 的取值范围是(　　)
A．a≥－1 B．a≠2
C．a≥－1且a≠2 D．a＞2
3
C
探索新知
同时 (a≥0)也是一个非负数，我们把这个性质叫做二次根式的双重非负性.
3
知识点
二次根式的“双重”非负性（a≥0， ≥0）
探索新知
例3 若 ，则x-y 的值为 ( )
A．1 B．－1 C．7 D．－7
分析：根据非负数的性质列式求出x、y 的值，然后代入
代数式进行计算即可得解．因为 + ( y+
3)2=0都是非负数，它们的和为0，所以(y+3)2=
0， ，所以y+3=0，x+y-1=0，
解得y =-3，x =4，所以x-y =7.故选C．
C
探索新知
总 结
两个非负数的和为0时，这两个非负数都为0．
典题精讲
若 ，则x y＝________.
实数a，b 满足 ＋4a 2＋4ab＋b 2＝0，则b a 的值为(　　)
A．2 B.
C．－2 D．－
1
2
9
B
已知实数x，y满足|x－4|＋ ＝0，则以x，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是(　　)
A．20或16 B．20
C．16 D．以上答案均不对
B
易错提醒
若式子 有意义，则实数x 的取值范围是(　　)
A．x≥－1 B．x≥－1且x≠3
C．x >－1 D．x >－1且x≠3
B
本题易错在漏掉分母不为0这个条件，由题意知x＋1≥0且(x－3)2≠0，解得x ≥－1且x≠3.
易错点：考虑不全造成答案不完整.
学以致用
小试牛刀
1 下列式子一定是二次根式的是( )
A. B. 　
C. 　 D.
2 下列式子不一定是二次根式的是(　　)
A. B.
C. D.
C
A
小试牛刀
3 如果式子 有意义，那么x 的取值范围在数轴上表示正确的是(　　)
C
小试牛刀
使代数式 有意义的整数x 有(　　)
A．5个 B．4个
C．3个 D．2个
4
B
若 在实数范围内有意义，则x 满足的条件是(　　)
A．x≥ B．x≤
C．x＝ D．x≠
5
C
小试牛刀
下列结论正确的是(　　)
A．3a 3b－a 2b＝2
B．单项式－x 2的系数是－1
C．使式子 有意义的x 的取值范围是x＞－1
D．若分式 的值等于0，则a＝±1
6
B
小试牛刀
7 已知y＝2 ＋3 ＋ ，求 ＋ 的值．
由被开方数的非负性，得2x－1≥0，且1－2x ≥0，
所以x ≥ ，且x ≤ .所以x＝ .
将x＝ 代入已知条件，得y＝ .
所以 ＋ ＝2＋3＝5.
解：
小试牛刀
8 已知 ＝0，求x，y 的值．
因为 ≥0， ≥0，且其和为0，
所以x＋1＝0，x＋y－2＝0，解得x＝－1，y＝3.
所以x，y 的值分别为－1，3.
解：
a 2，|a |， 都为非负数，即a 2≥0，|a| ≥0，
≥0(a≥0)．可利用“若几个非负数之和为零，则这几个非负数同时为零”解决问题．
方法总结：
小试牛刀
9 已知m 满足 且
＝－ ，求m 的值．
依题意得：
∴x＋y＝2018，把含有m 的两个方程相加得：
5(x＋y )＋1＋m＝0，
∴m＝－10 091.
解：
小试牛刀
10 已知a，b 为一等腰三角形的两边长，且满足等式
＝b－4，求此等腰三角形的周长.
由题意知
解得a＝2，∴b＝4，当三边长分别为2，2，4时不能构
成三角形，当三边长分别为4，4，2时能构成三角形，∴ 此等腰三角形的周长为10.
解：
小试牛刀
11 已知a 为实数，求式子 的值．
由题意得－a 2≥0，∴a 2≤0，
又a 2≥0，∴a＝0，
∴原式＝ － ＋0＝0.
解：
12 当x 取什么实数时，式子 ＋2的取值最小？并求出这个最小值．
≥0且由二次根式有意义的条件得3x－1≥0，即x≥ ，所以当x＝ 时，式子 ＋2的取值最小，最小值为2.
解：
课堂小结
课堂小结
1．形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，“ ”
称为二次根号．
2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被
开方数是非负数．
同学们，
下节课见！
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