【班海精品】人教版（新）八下-17.1 勾股定理 第三课时【优质课件】

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17.1 勾股定理
第3课时
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课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
某拍卖行贴出了如下的一个土地拍卖广告：
如下图，有面积为560英亩的土地拍卖，土地共分三个正方形，面积分别为74英亩、116英亩、370英亩．三个正方形恰好围着一个池塘，如果有人能
计算出池塘的准确面积．则
池塘不计入土地价钱白白奉
送．英国数学家巴尔教授曾
经巧妙地解答了这个问题，
你能解决吗
新课精讲
探索新知
1
知识点
用勾股定理在数轴上表示数
我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理
数，你能在数轴上画出表示 的点吗？
如果能画出长为 的线段，就能在数轴上画出表示
的点.容易知道，长为 的线段是两条直角边的长都
为1的直角三角形的斜边.长为 的线段能是直角边的长
为正整数的直角三角形的斜边吗？
探索新知
利用勾股定理，可以发现，直角边的长为正整数2， 3的直角三角形的斜边长为 .由此，可以依照如下方法在数轴上画出表示 的点.
如图,在数轴上找出表示3的点A， 则OA=3，过点A作直线l垂直于OA，在l上取点B，使AB = 2，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C 即为表示 的点.
探索新知
总 结
类似地，利用勾股定理，可以作出长为
…的线段(图1).按照同样方法，可以在数轴上画出
表示 ……的点 (图 2).
图1
图2
探索新知
利用 a＝ 可以作出．
如图2，先作出与已知线段AB 垂直，
且与已知线段的端点A相交的直线l，
在直线l上以A为端点截取长为2a 的线
段AC，连接BC，则线段BC 即为所求．
如图2，BC就是所求作的线段．
例1 如图1，已知线段AB 的长为a，请作出长为 a 的
段．(保留作图痕迹，不写作法)
图1
图2
导引：
解：
探索新知
总 结
这类问题要作的线段一般是直角三角形的斜边，根据勾股定理由要作的线段确定两直角边的长是解题的关键．
典题精讲
1 在数轴上做出表示 的点.
如图所示．作法：
(1)在数轴上找出表示4的点A，则OA＝4；
(2)过A作直线l 垂直于OA；
(3)在直线l上取点B，使AB＝1；
(4)以原点O 为圆心，以OB 为半径作弧，弧与
数轴的交点C 即为表示 的点．
解：
典题精讲
2 如图，数轴上的点O，A，B 分别表示数0，1，2，过点B 作PQ⊥AB，以点B 为圆心，AB 的长为半径画弧，交PQ 于点C，以原点O 为圆心，OC 的长为半径画弧，交数轴于点M，则点M 表示的数是(　　)
　 A.
B.
C.
D.
B
典题精讲
3 如图，点C 表示的数是(　　)
A．1 B. C．1.5 D.
D
典题精讲
如图，在长方形ABCD 中，AB＝3，AD＝1，AB 在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC 的长为半径作弧交数轴于点M，则点M 表示的数为(　　)
A．2
B. －1
C. －1
D.
4
C
探索新知
2
知识点
用勾股定理解几何问题
例2 如图，在△ABC 中，∠C＝60°，AB＝14，AC
＝10. 求BC 的长．
导引：题中没有直角三角形，可以通
过作高构建直角三角形；过点
A作AD⊥BC 于D，图中会出现
两个直角三角形——Rt△ACD 和Rt△ABD，这两
个直角三角形有一条公共边AD，借助这条公共边，
可建立起直角三角形之间的联系．
探索新知
解：如图，过点A 作AD⊥BC 于D.
∵∠ADC＝90°，∠C＝60°，∴CD＝ AC＝5.
在Rt△ACD中，
AD
在Rt△ABD中，
BD
∴BC＝BD＋CD＝11＋5＝16.
探索新知
总 结
利用勾股定理求非直角三角形中线段的长的方法：
作三角形一边上的高，将其转化为两个直角三角形，然后利用勾股定理并结合已知条件，采用推理或列方程的方法解决问题．
典题精讲
1 如图，等边三角形的边长是6.求：
(1)高AD 的长；
(2)这个三角形的面积.
(1)由题意可知，在Rt△ADB 中，
AB＝6，BD＝ BC＝3，∠ADB＝90°.
由勾股定理，
得AD＝
(2)S△ABC＝ BC·AD＝ ×6×3
＝
解：
典题精讲
如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”，只用没有刻度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出长度为 的线段________条．
2
8
典题精讲
如图，每个小正方形的边长均为1，则△ABC 中，长为无理
数的边有(　　)
A．0条
B．1条
C．2条
D．3条
C
典题精讲
4 如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，现将△ABC 折叠，使点B 与点A重合，折痕为DE，则BE 的长为(　　)
A．4 cm
B．5 cm
C．6 cm
D．10 cm
B
易错提醒
如图，把长方形纸条ABCD 沿EF，GH 同时折叠，B，C 两点恰好落在AD 边的P 点处，若∠FPH＝90°，PF＝8，PH＝6，则长方形ABCD 的面积为________．
115.2
易错提醒
在Rt△PFH 中，FH＝
＝10，∴BC＝BF＋FH＋CH＝PF＋FH＋PH＝8＋10＋6＝24.设△PFH 的边FH 上的高为h，
则h＝ ＝4.8，
∴S长方形ABCD＝24×4.8＝115.2.
易错提醒
易错点：忽视题目中条件而求不出答案.
解此题时要灵活运用折叠前后对应线段相等，从而求出BC 的长，然后再运用面积法求出△PFH 中FH 边上的高，本题容易因忽视条件而求不出答案．
易错总结：
学以致用
小试牛刀
如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为(－2，3)，以点O 为圆心，以OP 的长为半径画弧，交x 轴的负半轴于点A，则点A 的横坐标介于(　　)
A．－4和－3之间
B．3和4之间
C．－5和－4之间
D．4和5之间
1
A
小试牛刀
如图，在矩形ABCD 中，BC＝8，CD＝6，将△ABE 沿BE 折叠，使点A恰好落在对角线BD上F 处，则DE 的长是(　　)
A．3
B.
C．5
D.
2
C
小试牛刀
如图，在等腰三角形ABC 中，AB＝AC，BC 边上的高AD＝6 cm，腰AB上的高CE＝8 cm，则△ABC 的周长等于________cm.
3
小试牛刀
4 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，
每个小格的顶点叫做格点．以格点为顶点画三角形．
(1)使三角形的三边长分别为 3，2 ， .
(2)使三角形的周长为 .
小试牛刀
(1)如图①中的△ABC 为所求的三角形．
(2)如图②中的△ABC的三边长分别为 ，
三角形的周长为 .
解：
小试牛刀
如图，连接BD.因为AB＝AD，∠A＝60°，
所以∠1＝∠ABD＝ ＝60°.
所以△ABD是等边三角形．所以BD＝8.
又∠1＋∠2＝150°，则∠2＝90°.
设BC＝x，则CD＝16－x，
由勾股定理得x 2＝82＋(16－x )2.
解得x＝10.所以BC＝10，CD＝6.
5 如图，在四边形ABCD 中，AB＝AD＝8，
∠A＝60°，∠D＝150°，四边形的周长
为32，求BC 和CD 的长度．
解：
小试牛刀
6 [阅读理解]
如图，在△ABC中，BC＝a，CA＝b，AB＝c.
(1)若∠C 为直角，则a 2＋b 2＝c 2；
(2)若∠C 为锐角，则a 2＋b 2与c 2的关系为a 2＋b 2＞c 2；
(3)若∠C 为钝角，试推导a 2＋b 2与c 2的关系．
[探究问题]在△ABC 中，BC＝a＝3，CA＝b＝4，
AB＝c，若△ABC 是钝角三角形，求第三边c 的取值范围．
小试牛刀
[阅读理解](3)如图所示，作AD⊥BC 交BC 的延长线于D，则BD＝BC＋CD＝a＋CD，
在Rt△ABD 中，AD 2＝AB 2－BD 2.
在Rt△ACD 中，AD 2＝AC 2－CD 2，
∴AB 2－BD 2＝AC 2－CD 2，
∴c 2－(a＋CD )2＝b 2－CD 2，
整理得a 2＋b 2＝c 2－2a ·CD.
∵a＞0，CD＞0，∴a 2＋b 2＜c 2；
解：
小试牛刀
[探究问题]当∠C 为钝角时， ＜c＜a＋b，
∵a＝3，b＝4，
∴ ＜c＜3＋4，即5＜c＜7；
当∠B 为钝角时，b－a＜c＜ ，
∵a＝3，b＝4，
∴4－3＜c＜ ，即1＜c＜ .
综上所述第三边c的取值范围为5＜c＜7或1＜c＜ .
小试牛刀
7 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D 是AB 的中点，点E，F 分别为AC，BC 的中点，DE⊥DF.求证：AE 2＋BF 2＝EF 2.
小试牛刀
如图，延长ED 至点G，使DG＝ED，连接BG，FG.
在△ADE 和△BDG 中，
AD＝DB，∠1＝∠2，ED＝DG，
∴△ADE ≌△BDG (SAS)．
∴AE＝BG，∠3＝∠4.
又∵∠4＋∠5＝90°，∴∠3＋∠5＝90°.
又∵DF⊥EG，DE＝DG，∴FG＝EF.
在Rt△FBG 中，BG 2＋BF 2＝FG 2，
即AE 2＋BF 2＝EF 2.
证明：
课堂小结
课堂小结
1．勾股定理与三角形三边平方关系的综合应用：
单一应用：先由三角形三边平方关系得出直角三角形后，再求这个直角三角形的角度和面积：
综合应用：先用勾股定理求出三角形的边长，再由三角形平方关系确定三角形的形状，进而解决其他问题；
逆向应用：如果一个三角形两条较小边长的平方和不等于最大边长的平方，那么这个三角形就不是直角三角形.
课堂小结
2．应用勾股定理解题的方法：
(1)添线应用，即题中无直角三角形，可以通过作垂线，构
造直角三角形，应用勾股定理求解；
(2)借助方程应用，即题中虽有直角三角形，但已知线段的
长不完全是直角三角形的边长，可通过设未知数，构建
方程，解答计算问题；
(3)建模应用，即将实际问题建立直角三角形模型，通过勾
股定理解决实际问题．
同学们，
下节课见！
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