【班海精品】人教版（新）八下-17.1 勾股定理 第一课时【优质课件】
文档属性
| 名称 | 【班海精品】人教版（新）八下-17.1 勾股定理 第一课时【优质课件】 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 5.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-01-13 10:20:43 | ||
图片预览
文档简介
(共43张PPT)
17.1 勾股定理
第1课时
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
（任务-发布任务-选择章节）
目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
相传2500年前，一次毕达哥拉斯去朋友家作客，
发现朋友家用砖铺成的地
面反映直角三角形三边的
某种数量关系，同学们，
我们也来观察下面的图案，
看看你能发现什么？
情景导入
A、B、C 的面积有什么关系？
直角三角形三边有什么关系？
A
B
C
让我们一起探索这个古老的定理吧！
新课精讲
探索新知
1
知识点
勾股定理
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦. 图1称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作法时给出的.
弦
股
勾
图1
探索新知
A
B
C
A
B
C
(图中每个小方格代表一个单位面积)
图2-1
图2-2
(1)观察图2-1
正方形A中含有 个
小方格，即A的面积
是 个单位面积.
正方形B的面积是
个单位面积.
正方形C的面积是
个单位面积.
9
9
9
18
探索新知
A
B
C
A
B
C
(图中每个小方格代表一个单位面积)
图2-1
图2-2
分“割”成若干个直角边为整数的三角形
=18(单位面积)
S正方形c
探索新知
A
B
C
A
B
C
(图中每个小方格代表一个单位面积)
图2-1
图2-2
(2)在图2-2中，正方形A，B，
C 中各含有多少个小方格？
它们的面积各是多少？
(3)你能发现图2-1中三个正方
形A，B，C 的面积之间有
什么关系吗？
SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积.
探索新知
A
B
C
a
c
b
Sa+Sb=Sc
观察所得到的各组数据，你有什么发现？
猜想：两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
a2+b2=c2
探索新知
┏
a2+b2=c2
a
c
b
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
勾
股
弦
勾股定理
(毕达哥拉斯定理)
探索新知
定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a，b 和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a 2＋b 2＝c 2.
数学表达式：
在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，
BC＝a，则a 2＋b 2＝c 2.
探索新知
分清斜边和直角边．因为在Rt△ABC 中，a，b，
c 是三边，所以可以用勾股定理解决问题．
例1 在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 的
对边分别是a，b，c.
(1)已知a＝b＝6，求c；
(2)已知c＝3，b＝2，求a；
(3)已知a∶b＝2∶1，c＝5，求b.
导引：
探索新知
(1)∵∠C＝90°，a＝b＝6，
∴由勾股定理，得
(2)∵∠C＝90°，c＝3，b＝2，
∴由勾股定理，得
(3)∵∠C＝90°，a∶b＝2∶1，∴a＝2b.
又c＝5，由勾股定理，得(2b)2＋b2＝52，
解得b＝
解：
探索新知
总 结
利用勾股定理求直角三角形的边长的方法：一般都要经过“一分二代三化简”这“三步曲”，即一分：分清哪条边是斜边，哪些是直角边；二代：将已知边长及两边之间的关系式代入a 2＋b 2＝c 2（假设c是斜边）；三化简．
典题精讲
1 设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c.
(1)已知a=6，c=10，求b；
(2)已知a=5，b=12，求c；
(3)已知c=25，b=15，求a.
(1)
(2)
(3)
解：
典题精讲
下列说法中正确的是( )
A．已知a，b，c 是三角形的三边长，则a 2＋b 2＝c 2
B．在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方
C．在Rt△ABC 中，∠C＝90°，所以a 2＋b 2＝c 2
D．在Rt△ABC 中，∠B＝90°，所以a 2＋b 2＝c 2
C
2
3 若一个直角三角形的两直角边的长分别为a，b，斜边长为c，则下列关于a，b，c 的关系式中不正确的是( )
A．b 2＝c 2－a 2 B．a 2＝c 2－b 2
C．b 2＝a 2－c 2 D．c 2＝a 2＋b 2
C
典题精讲
如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD 是∠BAC 的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC 的长为( )
A．5
B．6
C．8
D．10
C
4
典题精讲
如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC 和△A′B′C ′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C ′落在边AB上，连接B′C. 若∠ACB＝∠AC′B ′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C 的长为( )
A．3
B．6
C．3
D.
A
5
探索新知
2
知识点
勾股定理与面积的关系
在一张纸上画4个与图所示的全等的直角三边形，并把它们剪下来．如图所示，用这四个直角三角形进行拼摆，将得到一个以a+b为边长的大正方形和以直角形斜边c为边长的小正方形．
探索新知
归 纳
观察图形，容易得到大正方形的边长为 a+b，所以大正方形的面积是(a+b)2．又因为大正方形是由4个全等的直角三角形和中间的正方形拼成的，所以大正方形的面积又可表示成 ab×4+c 2． 因此有(a+b)2= ab×4+c 2．整理得a 2+b 2=c 2，即a、b、c 为边的直角三角形满足两直角边的平方和等于斜边的平方．
探索新知
例2 观察如图所示的图形，回答问题：
(1)如图①，△DEF为直角三角形，正方形 P 的面积为9，正方形Q 的面积为15，则正方形M 的面积
为________；
(2)如图②，分别以直角
三角形ABC 的三边长为直径向三角形外作三个半圆，
则这三个半圆形的面积之间的关系式是________；(用图中字母表示)
(3)如图③，如果直角三角形两直角边的长分别为3和4，分别以直角三角形的三边长为直径作半圆，请你利用(2)中得出的结论求阴影部分的面积．
探索新知
(1)根据正方形的面积公式，结合勾股定理可得
DF 2＝DE 2＋EF 2，即正方形M 的面积＝9＋15＝24；
(2)
另外由勾股定理可知AC 2＋BC 2＝AB 2，所以S1＋S2＝S3；
(3)阴影部分的面积＝两个小半圆形的面积和＋直角三角
形的面积－大半圆形的面积，由(2)可知两个小半圆形
的面积和＝大半圆形的面积，所以阴影部分的面积＝
直角三角形的面积．
导引：
探索新知
(1)24
(2)S1＋S2＝S3
(3)设两个小半圆形的面积分别为S1，S2，大半圆
形的面积为S3，三角形的面积为S△，
则S阴影＝S1＋S2＋S△－S3
＝S△＝ ×3×4＝6.
解：
探索新知
总 结
与直角三角形三边相连的正方形、半圆及正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上图形面积的和等于斜边上的图形面积．本例考查了勾股定理及正方形的面积公式，半圆形面积的求法，解答此类题目的关键是仔细观察所给图形，面积与边长、直径有平方关系，就很容易联想到勾股定理．
典题精讲
1 如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形.已知正方形A，B，C，D的边长分别是12，16，9，12，求最大正方形E的面积.
SE＝(122＋162)＋(92＋122)
＝400＋225
＝625.
解：
典题精讲
2 如图，以直角三角形的三边a，b，c 为边或直径，分别向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1＋S2＝S3的图形个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
D
典题精讲
3 如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c 的面积分别为3和4，则b 的面积为( )
A．3
B．4
C．5
D．7
D
典题精讲
如图，已知△ABC 为直角三角形，分别以直角边AC，BC 为直径作半圆AmC 和BnC，以AB 为直径作半圆ACB，记两个月牙形阴影部分的面积之和为S1，△ABC 的面积为S2，则S1与S2的大小关系为( )
A．S1＞S2
B．S1＜S2
C．S1＝S2
D．不能确定
4
C
易错提醒
在△ABC 中，边AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长是( )
A．42 B．32
C．42或32 D．不能确定
C
本题应分△ABC 为锐角三角形和△ABC 为钝角三角形两种情况讨论．解本题时常常容易忽略其中一种情况而出错．
易错点：考虑问题不全面而漏解.
学以致用
小试牛刀
如图，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝8，D 是线段BC上的动点(不含端点B，C )，若线段AD 长为正整数，则点D 的个数共有( )
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
C
1
小试牛刀
在△ABC中，AB＝10，AC＝2 ，BC 边上的高AD＝6，则另一边BC 等于( )
A．10 B．8
C．6或10 D．8或10
C
2
如图，在Rt△ABC 中，∠A＝90°，BD 平分∠ABC，交AC 于点D，且AB＝4，BD＝5，则点D 到BC 的距离是( )
A．3
B．4
C．5
D．6
A
3
典题精讲
四个全等的直角三角形按如图所示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S 的小正方形EFGH，已知AM 为Rt△ABM 较长直角边，AM＝2 EF，则正方形ABCD 的面积为( )
A．12S
B．10S
C．9S
D．8S
4
C
小试牛刀
5 如图，在△ABC 中，CD⊥AB 于D，AC＝4，BC＝3，BD＝ ，求：
(1)CD 的长；
(2)AB 的长．
(1)在Rt△BCD 中，CD 2＝BC 2－BD 2＝32－ ，
所以CD＝ .
(2)在Rt△ACD 中，AD 2＝AC 2－CD 2＝42－ ，
所以AD＝ .所以AB＝AD＋BD＝ ＋ ＝5.
解：
小试牛刀
6 如图，每个小正方形的边长为1.求：
(1)线段AD 的长度；
(2)四边形ABCD 的面积．
(1)因为AD 2＝32＋42＝25，
所以AD＝5.
(2)S四边形ABCD＝7×5－ ×1×7－ ×2×4－ ×1×2－ ×(1＋5)×3＝17.5.
解：
小试牛刀
7 在长方形纸片ABCD中，AD＝4 cm，AB＝10 cm，按如图所示的方式折叠，使点B 与D 重合，折痕为EF，求DE 的长．
设DE＝x cm，则BE＝DE＝x cm.
AE＝AB－BE＝(10－x ) cm.
在Rt△ADE 中，由勾股定理，
得DE 2＝AE 2＋AD 2，
即x 2＝(10－x )2＋42，
解得x＝ .即DE 的长为 cm.
解：
小试牛刀
8 如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC＝4，CD＝5.
(1)求DB 的长；
(2)求△ABC 中BC 边上的高．
小试牛刀
(1)∵DB⊥BC，BC＝4，CD＝5，
∴BD＝ ＝3.
(2)如图，延长BD 至E，使DE＝BD，连接AE.
∵D是AC 的中点，∴AD＝DC.在△BDC和△EDA中，
∴△BDC ≌△ EDA(SAS)，
∴∠DAE＝∠DCB，∴AE∥BC.
∵BD⊥BC，∴BE⊥AE.
∴BE 与△ABC 中BC 边上的高相等，
又∵BE＝2BD＝6，∴△ABC 中BC 边上的高为6.
解：
课堂小结
课堂小结
1. 勾股定理的适用条件：直角三角形；它反映了直角
三角形三边关系．
2．由勾股定理的基本关系式：a 2＋b 2＝c 2可得到一些
变形关系式：c 2＝a 2＋b 2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2
＋2ab；a 2＝c 2－b 2＝(c＋b)(c－b)等．
同学们，
下节课见！
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17.1 勾股定理
第1课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
相传2500年前，一次毕达哥拉斯去朋友家作客，
发现朋友家用砖铺成的地
面反映直角三角形三边的
某种数量关系，同学们，
我们也来观察下面的图案，
看看你能发现什么？
情景导入
A、B、C 的面积有什么关系？
直角三角形三边有什么关系？
A
B
C
让我们一起探索这个古老的定理吧！
新课精讲
探索新知
1
知识点
勾股定理
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦. 图1称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作法时给出的.
弦
股
勾
图1
探索新知
A
B
C
A
B
C
(图中每个小方格代表一个单位面积)
图2-1
图2-2
(1)观察图2-1
正方形A中含有 个
小方格，即A的面积
是 个单位面积.
正方形B的面积是
个单位面积.
正方形C的面积是
个单位面积.
9
9
9
18
探索新知
A
B
C
A
B
C
(图中每个小方格代表一个单位面积)
图2-1
图2-2
分“割”成若干个直角边为整数的三角形
=18(单位面积)
S正方形c
探索新知
A
B
C
A
B
C
(图中每个小方格代表一个单位面积)
图2-1
图2-2
(2)在图2-2中，正方形A，B，
C 中各含有多少个小方格？
它们的面积各是多少？
(3)你能发现图2-1中三个正方
形A，B，C 的面积之间有
什么关系吗？
SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积.
探索新知
A
B
C
a
c
b
Sa+Sb=Sc
观察所得到的各组数据，你有什么发现？
猜想：两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
a2+b2=c2
探索新知
┏
a2+b2=c2
a
c
b
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
勾
股
弦
勾股定理
(毕达哥拉斯定理)
探索新知
定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a，b 和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a 2＋b 2＝c 2.
数学表达式：
在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，
BC＝a，则a 2＋b 2＝c 2.
探索新知
分清斜边和直角边．因为在Rt△ABC 中，a，b，
c 是三边，所以可以用勾股定理解决问题．
例1 在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 的
对边分别是a，b，c.
(1)已知a＝b＝6，求c；
(2)已知c＝3，b＝2，求a；
(3)已知a∶b＝2∶1，c＝5，求b.
导引：
探索新知
(1)∵∠C＝90°，a＝b＝6，
∴由勾股定理，得
(2)∵∠C＝90°，c＝3，b＝2，
∴由勾股定理，得
(3)∵∠C＝90°，a∶b＝2∶1，∴a＝2b.
又c＝5，由勾股定理，得(2b)2＋b2＝52，
解得b＝
解：
探索新知
总 结
利用勾股定理求直角三角形的边长的方法：一般都要经过“一分二代三化简”这“三步曲”，即一分：分清哪条边是斜边，哪些是直角边；二代：将已知边长及两边之间的关系式代入a 2＋b 2＝c 2（假设c是斜边）；三化简．
典题精讲
1 设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c.
(1)已知a=6，c=10，求b；
(2)已知a=5，b=12，求c；
(3)已知c=25，b=15，求a.
(1)
(2)
(3)
解：
典题精讲
下列说法中正确的是( )
A．已知a，b，c 是三角形的三边长，则a 2＋b 2＝c 2
B．在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方
C．在Rt△ABC 中，∠C＝90°，所以a 2＋b 2＝c 2
D．在Rt△ABC 中，∠B＝90°，所以a 2＋b 2＝c 2
C
2
3 若一个直角三角形的两直角边的长分别为a，b，斜边长为c，则下列关于a，b，c 的关系式中不正确的是( )
A．b 2＝c 2－a 2 B．a 2＝c 2－b 2
C．b 2＝a 2－c 2 D．c 2＝a 2＋b 2
C
典题精讲
如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD 是∠BAC 的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC 的长为( )
A．5
B．6
C．8
D．10
C
4
典题精讲
如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC 和△A′B′C ′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C ′落在边AB上，连接B′C. 若∠ACB＝∠AC′B ′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C 的长为( )
A．3
B．6
C．3
D.
A
5
探索新知
2
知识点
勾股定理与面积的关系
在一张纸上画4个与图所示的全等的直角三边形，并把它们剪下来．如图所示，用这四个直角三角形进行拼摆，将得到一个以a+b为边长的大正方形和以直角形斜边c为边长的小正方形．
探索新知
归 纳
观察图形，容易得到大正方形的边长为 a+b，所以大正方形的面积是(a+b)2．又因为大正方形是由4个全等的直角三角形和中间的正方形拼成的，所以大正方形的面积又可表示成 ab×4+c 2． 因此有(a+b)2= ab×4+c 2．整理得a 2+b 2=c 2，即a、b、c 为边的直角三角形满足两直角边的平方和等于斜边的平方．
探索新知
例2 观察如图所示的图形，回答问题：
(1)如图①，△DEF为直角三角形，正方形 P 的面积为9，正方形Q 的面积为15，则正方形M 的面积
为________；
(2)如图②，分别以直角
三角形ABC 的三边长为直径向三角形外作三个半圆，
则这三个半圆形的面积之间的关系式是________；(用图中字母表示)
(3)如图③，如果直角三角形两直角边的长分别为3和4，分别以直角三角形的三边长为直径作半圆，请你利用(2)中得出的结论求阴影部分的面积．
探索新知
(1)根据正方形的面积公式，结合勾股定理可得
DF 2＝DE 2＋EF 2，即正方形M 的面积＝9＋15＝24；
(2)
另外由勾股定理可知AC 2＋BC 2＝AB 2，所以S1＋S2＝S3；
(3)阴影部分的面积＝两个小半圆形的面积和＋直角三角
形的面积－大半圆形的面积，由(2)可知两个小半圆形
的面积和＝大半圆形的面积，所以阴影部分的面积＝
直角三角形的面积．
导引：
探索新知
(1)24
(2)S1＋S2＝S3
(3)设两个小半圆形的面积分别为S1，S2，大半圆
形的面积为S3，三角形的面积为S△，
则S阴影＝S1＋S2＋S△－S3
＝S△＝ ×3×4＝6.
解：
探索新知
总 结
与直角三角形三边相连的正方形、半圆及正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上图形面积的和等于斜边上的图形面积．本例考查了勾股定理及正方形的面积公式，半圆形面积的求法，解答此类题目的关键是仔细观察所给图形，面积与边长、直径有平方关系，就很容易联想到勾股定理．
典题精讲
1 如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形.已知正方形A，B，C，D的边长分别是12，16，9，12，求最大正方形E的面积.
SE＝(122＋162)＋(92＋122)
＝400＋225
＝625.
解：
典题精讲
2 如图，以直角三角形的三边a，b，c 为边或直径，分别向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1＋S2＝S3的图形个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
D
典题精讲
3 如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c 的面积分别为3和4，则b 的面积为( )
A．3
B．4
C．5
D．7
D
典题精讲
如图，已知△ABC 为直角三角形，分别以直角边AC，BC 为直径作半圆AmC 和BnC，以AB 为直径作半圆ACB，记两个月牙形阴影部分的面积之和为S1，△ABC 的面积为S2，则S1与S2的大小关系为( )
A．S1＞S2
B．S1＜S2
C．S1＝S2
D．不能确定
4
C
易错提醒
在△ABC 中，边AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长是( )
A．42 B．32
C．42或32 D．不能确定
C
本题应分△ABC 为锐角三角形和△ABC 为钝角三角形两种情况讨论．解本题时常常容易忽略其中一种情况而出错．
易错点：考虑问题不全面而漏解.
学以致用
小试牛刀
如图，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝8，D 是线段BC上的动点(不含端点B，C )，若线段AD 长为正整数，则点D 的个数共有( )
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
C
1
小试牛刀
在△ABC中，AB＝10，AC＝2 ，BC 边上的高AD＝6，则另一边BC 等于( )
A．10 B．8
C．6或10 D．8或10
C
2
如图，在Rt△ABC 中，∠A＝90°，BD 平分∠ABC，交AC 于点D，且AB＝4，BD＝5，则点D 到BC 的距离是( )
A．3
B．4
C．5
D．6
A
3
典题精讲
四个全等的直角三角形按如图所示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S 的小正方形EFGH，已知AM 为Rt△ABM 较长直角边，AM＝2 EF，则正方形ABCD 的面积为( )
A．12S
B．10S
C．9S
D．8S
4
C
小试牛刀
5 如图，在△ABC 中，CD⊥AB 于D，AC＝4，BC＝3，BD＝ ，求：
(1)CD 的长；
(2)AB 的长．
(1)在Rt△BCD 中，CD 2＝BC 2－BD 2＝32－ ，
所以CD＝ .
(2)在Rt△ACD 中，AD 2＝AC 2－CD 2＝42－ ，
所以AD＝ .所以AB＝AD＋BD＝ ＋ ＝5.
解：
小试牛刀
6 如图，每个小正方形的边长为1.求：
(1)线段AD 的长度；
(2)四边形ABCD 的面积．
(1)因为AD 2＝32＋42＝25，
所以AD＝5.
(2)S四边形ABCD＝7×5－ ×1×7－ ×2×4－ ×1×2－ ×(1＋5)×3＝17.5.
解：
小试牛刀
7 在长方形纸片ABCD中，AD＝4 cm，AB＝10 cm，按如图所示的方式折叠，使点B 与D 重合，折痕为EF，求DE 的长．
设DE＝x cm，则BE＝DE＝x cm.
AE＝AB－BE＝(10－x ) cm.
在Rt△ADE 中，由勾股定理，
得DE 2＝AE 2＋AD 2，
即x 2＝(10－x )2＋42，
解得x＝ .即DE 的长为 cm.
解：
小试牛刀
8 如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC＝4，CD＝5.
(1)求DB 的长；
(2)求△ABC 中BC 边上的高．
小试牛刀
(1)∵DB⊥BC，BC＝4，CD＝5，
∴BD＝ ＝3.
(2)如图，延长BD 至E，使DE＝BD，连接AE.
∵D是AC 的中点，∴AD＝DC.在△BDC和△EDA中，
∴△BDC ≌△ EDA(SAS)，
∴∠DAE＝∠DCB，∴AE∥BC.
∵BD⊥BC，∴BE⊥AE.
∴BE 与△ABC 中BC 边上的高相等，
又∵BE＝2BD＝6，∴△ABC 中BC 边上的高为6.
解：
课堂小结
课堂小结
1. 勾股定理的适用条件：直角三角形；它反映了直角
三角形三边关系．
2．由勾股定理的基本关系式：a 2＋b 2＝c 2可得到一些
变形关系式：c 2＝a 2＋b 2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2
＋2ab；a 2＝c 2－b 2＝(c＋b)(c－b)等．
同学们，
下节课见！
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