【班海精品】人教版（新）八下-18.1 平行四边形 第二课时【优质课件】
文档属性
| 名称 | 【班海精品】人教版（新）八下-18.1 平行四边形 第二课时【优质课件】 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 5.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-01-13 10:20:43 | ||
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文档简介
(共43张PPT)
18.1 平行四边形
第2课时
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（任务-发布任务-选择章节）
目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
平行四边形的性质：
对边相等；
对角相等
回顾旧知
新课精讲
探索新知
1
知识点
平行四边形的性质——对角线互相平分
探究
如图 ，在 ABCD 中，连接 AC，
BD，并设它们相交于点O, OA与OC，
OB 与OD 有什么关系？你能证明发现
的结论吗？
我们猜想，在 ABCD 中，OA=OC，OB=OD.
探索新知
归 纳
由此我们又得到平行四边形的一个性质：
平行四边形的对角线互相平分.
探索新知
对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分．
数学表达式：如图，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
对角线AC，BD 相交于点O，
∴OA＝OC，OB＝OD.
探索新知
例1 如图，已知 ABCD 的周长是60，对角线AC，BD 相交于
点O. 若△AOB 的周长比△BOC 的周长长8，求这个平行四
边形各边的长．
由平行四边形对边相等知，
2AB＋2BC＝60，
所以AB＋BC＝30.
又由△AOB 的周长比△BOC 的周长长8，
知AB－BC＝8，联立以上两式，即可求出各边长．
导引：
探索新知
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC.
∵AB＋BC＋CD＋DA＝60，
OA＋AB＋OB－(OB＋BC＋OC )＝8，
∴AB＋BC＝30， AB－BC＝8.
∴AB＝CD＝19，BC＝AD＝11.
即这个平行四边形各边长分别为19，11，19，11.
解：
探索新知
例2 如图，已知 ABCD 与 EBFD 的顶点A，E，F，C
在一条直线上，求证：AE＝CF.
平行四边形的性质提供了边的平行
与相等，角的相等与互补，对角线
的平分，当所要证明的结论中的线
段在对角线上时，往往利用平行四边形的对角
线互相平分这一性质．因此本例要证对角线上
的AE＝CF，可考虑利用对角线互相平分这一
性质，先连接BD 交AC 于点O，再进行证明．
导引：
探索新知
如图，连接BD 交AC 于点O.
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OA＝OC (平行四边形的对角线互相平分)．
∵四边形EBFD 是平行四边形，
∴OE＝OF (平行四边形的对角线互相平分)，
∴OA－OE＝OC－OF，即AE＝CF (等式的性质)．
证明：
探索新知
总 结
本例易受全等三角形思维定式的影响．欲证的两线段相等且又属于不同的三角形，习惯上就联想到证这两个三角形全等，这样虽然能达到证明的目的，却忽视了平行四边形特有的性质，易走弯路．因此在解决平行四边形的有关问题中，应注意运用平行四边形的性质．
典题精讲
如图，在 ABCD 中，BC =10，AC =8，BD =14. △AOD
的周长是多少 △ABC 与△DBC 的周长哪个长？长多少？
在 ABCD 中，AD＝BC＝10，AB＝CD.
因为AC＝8，BD＝14，
所以OA＝OC＝ AC＝ ×8＝4，
OB＝OD＝ BD＝ ×14＝7.
解：
典题精讲
所以△AOD 的周长为OA＋OD＋AD＝4＋7＋10＝21，△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝AB＋8＋10＝18＋AB，△DBC 的周长为BC＋CD＋BD＝10＋CD＋14＝24＋CD＝24＋AB，
所以△DBC 的周长>△ABC 的周长，
△DBC 的周长－△ABC 的周长＝24＋AB－(18＋AB )
＝24＋AB－18－AB＝6，
即△DBC 的周长比△ABC 的周长长，长6.
典题精讲
2 如图， ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，EF
过点O 且与AB，CD 分
别相交于点E，F.
求证OE=OF.
因为四边形ABCD 为平行四边形，
所以OA＝OC，AB∥CD，
所以∠EAO＝∠FCO.
又因为∠AOE＝∠COF，
所以△OAE ≌ △OCF. 所以OE＝OF.
解：
典题精讲
如图， ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，则下列说法一定正确的是( )
A．AO＝OD
B．AO⊥OD
C．AO＝OC
D．AO⊥AB
3
C
典题精讲
如图， ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，且AC＋BD＝16，CD＝6，则△ABO 的周长是( )
A．10
B．14
C．20
D．22
4
B
探索新知
2
知识点
平行四边形的面积
1．面积公式：平行四边形的面积＝底×高(底为平行四
边形的任意一条边，高为这条边与其对边间的距离)．
2．等底等高的平行四边形的面积相等．
探索新知
例3 如图，在 ABCD 中，AB=10，AD =8，AC⊥BC.
求BC，CD，AC，OA 的长，以及 ABCD 的面积.
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴BC=AD=8， CD=AB=10.
∵AC⊥BC，∴△ABC 是直角三角形.
根据勾股定理，
又 OA=OC，∴OA= AC=3，
S ABCD =BC AC =8×6=48.
解：
探索新知
总 结
求平行四边形的面积时，根据平行四边形的面积公式，要知道平行四边形的一边长及这边上的高．平行四边形的高不一定是过顶点的垂线段，因为平行线间的距离处处相等．
典题精讲
如图，若 ABCD 的周长为36 cm，过点D 分别作AB，BC边上的高DE，DF，且DE＝4 cm，DF＝5 cm， ABCD 的面积为( )cm2.
A．40
B．32
C．36
D．50
1
A
典题精讲
如图，过 ABCD 的对角线BD上一点M 分别作平行四边形两边的平行线EF 与GH，那么图中的 AEMG 的面积S1与 HCFM 的面积S2的大小关系是( )
A．S1＞S2
B．S1＜S2
C．S1＝S2
D．2S1＝S2
2
C
∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴AD∥BC，OA＝OC，
∴∠EAO＝∠FCO，
∵OE⊥AD，OF⊥BC，
∴∠AEO＝∠CFO＝90°，
∴△AOE ≌ △COF，∴OE＝OF.
易错提醒
解：
如图，在平行四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ,OE⊥AD 于点E，OF⊥BC 于点F. 试说明：OE＝OF.
易错提醒
易错点：容易把未知条件当作已知条件使用.
∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴OA＝OC，∵OE⊥AD 于点E，OF⊥BC 于点F，∴∠AEO＝∠CFO＝90°，
又∠AOE＝∠COF，∴△AOE ≌ △COF，
∴OE＝OF.
错解：
错解误认为已知E，O，F 三 点共线，从而得到∠AOE＝∠COF，而已知条件中并没有这个．E，O，F 三点共线需要在解题过程中加以推理，否则就犯了逻辑错误．
诊断：
学以致用
小试牛刀
如图， ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB＝3，AC＝2，BD＝4，则AE 的长为( )
A.
B.
C.
D.
1
D
小试牛刀
如图，EF 过 ABCD 对角线的交点O，交AD 于E，交BC 于F，若 ABCD 的周长为18，OE＝1.5，则四边形EFCD 的周长为( )
A．14
B．13
C．12
D．10
2
C
小试牛刀
如图，在 ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，则下列结论：
①CF＝AE；
②OE＝OF；
③DE＝BF；
④图中共有四对全等三角形．
其中正确结论的个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
3
B
小试牛刀
如图，在平行四边形ABCD 中，AC，BD 为对角线，BC＝6，BC 边上的高为4，则图中阴影部分的面积为( )
A．3
B．6
C．12
D．24
4
C
小试牛刀
如图，在 ABCD 中，BE⊥AC，垂足E 在CA 的延长线上，
DF⊥AC，垂足F 在AC 的延长线上，求证：AE＝CF.
小试牛刀
连接BD，交EF 于点O，如图．
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠E＝∠F＝90°.
又∵∠BOE＝∠DOF，
∴△BOE ≌ △DOF (AAS)．
∴OE＝OF.
∴OE－OA＝OF－OC，即AE＝CF.
证明：
小试牛刀
如图， ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，EF 过点
O 且与AB，CD 分别相交于点E，F，连接EC.
(1)求证：OE＝OF；
(2)若EF⊥AC，△BEC 的周长是10，求 ABCD 的周长.
小试牛刀
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OD＝OB，DC∥AB.
∴∠FDO＝∠EBO.
在△DFO 和△BEO 中，
∴△DFO ≌ △BEO (ASA)．
∴OE＝OF.
证明：
小试牛刀
(2)∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC.
∵EF⊥AC，∴AE＝CE.
∵△BEC 的周长是10，
∴BC＋BE＋CE＝BC＋BE＋AE＝BC＋AB＝10.
∴ ABCD 的周长＝2(BC＋AB )＝20.
解：
小试牛刀
如图，四边形ABCD 为平行四边形，∠BAD 的平分线
AE 交CD 于点F，交BC 的延长线于点E.
(1)求证：BE＝CD；
(2)连接BF，若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求
ABCD 的面积．
小试牛刀
(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，BA＝CD.
∴∠DAE＝∠E.
又∵AE 平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE. ∴∠BAE＝∠E.
∴BA＝BE，∴BE＝CD.
证明：
小试牛刀
(2)∵∠BEA＝60°，BA＝BE，∴△ABE 为等边三角形.
∵BF⊥AE，∴F 为AE 的中点，∴AF＝EF.
在△AFD 和△EFC 中，
∴△AFD ≌ △EFC (ASA)．
∴△AFD 的面积等于△EFC 的面积．
∴ ABCD 的面积等于△ABE 的面积．
在Rt△ABF 中，AB＝4，AF＝EF＝2，
∴BF＝2 . ∴△ABE 的面积为 ×4×2 ＝4 .
∴ ABCD 的面积为4 .
解：
小试牛刀
如图①，四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC，BD 相交
于点O，过点O 作直线EF 分别交AD，BC 于点E，F.
(1)求证：OE＝OF.
(2)如图②，若过O 点的直线EF 与BA，DC 的延长线分别交于
点E，F，能得到(1)中的结论吗？由此你能得到什么样的一般
性结论？
小试牛刀
(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，AO＝CO.
∴∠EAO＝∠FCO.
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE ≌ △COF. ∴OE＝OF.
(2)解：能得到OE＝OF，方法同(1)．一般性结论：经过平行
四边形的对角线的交点的直线被平行四边形的对边或
对边的延长线截得的线段被平行四边形的对角线的交
点平分．
课堂小结
课堂小结
1. 平行四边形的对角线互相平分．
2. 平行四边形的面积＝底×高(底为平行四边形的
任意一条边，高为这条边与其对边间的距离)．
同学们，
下节课见！
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18.1 平行四边形
第2课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
平行四边形的性质：
对边相等；
对角相等
回顾旧知
新课精讲
探索新知
1
知识点
平行四边形的性质——对角线互相平分
探究
如图 ，在 ABCD 中，连接 AC，
BD，并设它们相交于点O, OA与OC，
OB 与OD 有什么关系？你能证明发现
的结论吗？
我们猜想，在 ABCD 中，OA=OC，OB=OD.
探索新知
归 纳
由此我们又得到平行四边形的一个性质：
平行四边形的对角线互相平分.
探索新知
对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分．
数学表达式：如图，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
对角线AC，BD 相交于点O，
∴OA＝OC，OB＝OD.
探索新知
例1 如图，已知 ABCD 的周长是60，对角线AC，BD 相交于
点O. 若△AOB 的周长比△BOC 的周长长8，求这个平行四
边形各边的长．
由平行四边形对边相等知，
2AB＋2BC＝60，
所以AB＋BC＝30.
又由△AOB 的周长比△BOC 的周长长8，
知AB－BC＝8，联立以上两式，即可求出各边长．
导引：
探索新知
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC.
∵AB＋BC＋CD＋DA＝60，
OA＋AB＋OB－(OB＋BC＋OC )＝8，
∴AB＋BC＝30， AB－BC＝8.
∴AB＝CD＝19，BC＝AD＝11.
即这个平行四边形各边长分别为19，11，19，11.
解：
探索新知
例2 如图，已知 ABCD 与 EBFD 的顶点A，E，F，C
在一条直线上，求证：AE＝CF.
平行四边形的性质提供了边的平行
与相等，角的相等与互补，对角线
的平分，当所要证明的结论中的线
段在对角线上时，往往利用平行四边形的对角
线互相平分这一性质．因此本例要证对角线上
的AE＝CF，可考虑利用对角线互相平分这一
性质，先连接BD 交AC 于点O，再进行证明．
导引：
探索新知
如图，连接BD 交AC 于点O.
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OA＝OC (平行四边形的对角线互相平分)．
∵四边形EBFD 是平行四边形，
∴OE＝OF (平行四边形的对角线互相平分)，
∴OA－OE＝OC－OF，即AE＝CF (等式的性质)．
证明：
探索新知
总 结
本例易受全等三角形思维定式的影响．欲证的两线段相等且又属于不同的三角形，习惯上就联想到证这两个三角形全等，这样虽然能达到证明的目的，却忽视了平行四边形特有的性质，易走弯路．因此在解决平行四边形的有关问题中，应注意运用平行四边形的性质．
典题精讲
如图，在 ABCD 中，BC =10，AC =8，BD =14. △AOD
的周长是多少 △ABC 与△DBC 的周长哪个长？长多少？
在 ABCD 中，AD＝BC＝10，AB＝CD.
因为AC＝8，BD＝14，
所以OA＝OC＝ AC＝ ×8＝4，
OB＝OD＝ BD＝ ×14＝7.
解：
典题精讲
所以△AOD 的周长为OA＋OD＋AD＝4＋7＋10＝21，△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝AB＋8＋10＝18＋AB，△DBC 的周长为BC＋CD＋BD＝10＋CD＋14＝24＋CD＝24＋AB，
所以△DBC 的周长>△ABC 的周长，
△DBC 的周长－△ABC 的周长＝24＋AB－(18＋AB )
＝24＋AB－18－AB＝6，
即△DBC 的周长比△ABC 的周长长，长6.
典题精讲
2 如图， ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，EF
过点O 且与AB，CD 分
别相交于点E，F.
求证OE=OF.
因为四边形ABCD 为平行四边形，
所以OA＝OC，AB∥CD，
所以∠EAO＝∠FCO.
又因为∠AOE＝∠COF，
所以△OAE ≌ △OCF. 所以OE＝OF.
解：
典题精讲
如图， ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，则下列说法一定正确的是( )
A．AO＝OD
B．AO⊥OD
C．AO＝OC
D．AO⊥AB
3
C
典题精讲
如图， ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，且AC＋BD＝16，CD＝6，则△ABO 的周长是( )
A．10
B．14
C．20
D．22
4
B
探索新知
2
知识点
平行四边形的面积
1．面积公式：平行四边形的面积＝底×高(底为平行四
边形的任意一条边，高为这条边与其对边间的距离)．
2．等底等高的平行四边形的面积相等．
探索新知
例3 如图，在 ABCD 中，AB=10，AD =8，AC⊥BC.
求BC，CD，AC，OA 的长，以及 ABCD 的面积.
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴BC=AD=8， CD=AB=10.
∵AC⊥BC，∴△ABC 是直角三角形.
根据勾股定理，
又 OA=OC，∴OA= AC=3，
S ABCD =BC AC =8×6=48.
解：
探索新知
总 结
求平行四边形的面积时，根据平行四边形的面积公式，要知道平行四边形的一边长及这边上的高．平行四边形的高不一定是过顶点的垂线段，因为平行线间的距离处处相等．
典题精讲
如图，若 ABCD 的周长为36 cm，过点D 分别作AB，BC边上的高DE，DF，且DE＝4 cm，DF＝5 cm， ABCD 的面积为( )cm2.
A．40
B．32
C．36
D．50
1
A
典题精讲
如图，过 ABCD 的对角线BD上一点M 分别作平行四边形两边的平行线EF 与GH，那么图中的 AEMG 的面积S1与 HCFM 的面积S2的大小关系是( )
A．S1＞S2
B．S1＜S2
C．S1＝S2
D．2S1＝S2
2
C
∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴AD∥BC，OA＝OC，
∴∠EAO＝∠FCO，
∵OE⊥AD，OF⊥BC，
∴∠AEO＝∠CFO＝90°，
∴△AOE ≌ △COF，∴OE＝OF.
易错提醒
解：
如图，在平行四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ,OE⊥AD 于点E，OF⊥BC 于点F. 试说明：OE＝OF.
易错提醒
易错点：容易把未知条件当作已知条件使用.
∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴OA＝OC，∵OE⊥AD 于点E，OF⊥BC 于点F，∴∠AEO＝∠CFO＝90°，
又∠AOE＝∠COF，∴△AOE ≌ △COF，
∴OE＝OF.
错解：
错解误认为已知E，O，F 三 点共线，从而得到∠AOE＝∠COF，而已知条件中并没有这个．E，O，F 三点共线需要在解题过程中加以推理，否则就犯了逻辑错误．
诊断：
学以致用
小试牛刀
如图， ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB＝3，AC＝2，BD＝4，则AE 的长为( )
A.
B.
C.
D.
1
D
小试牛刀
如图，EF 过 ABCD 对角线的交点O，交AD 于E，交BC 于F，若 ABCD 的周长为18，OE＝1.5，则四边形EFCD 的周长为( )
A．14
B．13
C．12
D．10
2
C
小试牛刀
如图，在 ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，则下列结论：
①CF＝AE；
②OE＝OF；
③DE＝BF；
④图中共有四对全等三角形．
其中正确结论的个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
3
B
小试牛刀
如图，在平行四边形ABCD 中，AC，BD 为对角线，BC＝6，BC 边上的高为4，则图中阴影部分的面积为( )
A．3
B．6
C．12
D．24
4
C
小试牛刀
如图，在 ABCD 中，BE⊥AC，垂足E 在CA 的延长线上，
DF⊥AC，垂足F 在AC 的延长线上，求证：AE＝CF.
小试牛刀
连接BD，交EF 于点O，如图．
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠E＝∠F＝90°.
又∵∠BOE＝∠DOF，
∴△BOE ≌ △DOF (AAS)．
∴OE＝OF.
∴OE－OA＝OF－OC，即AE＝CF.
证明：
小试牛刀
如图， ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，EF 过点
O 且与AB，CD 分别相交于点E，F，连接EC.
(1)求证：OE＝OF；
(2)若EF⊥AC，△BEC 的周长是10，求 ABCD 的周长.
小试牛刀
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OD＝OB，DC∥AB.
∴∠FDO＝∠EBO.
在△DFO 和△BEO 中，
∴△DFO ≌ △BEO (ASA)．
∴OE＝OF.
证明：
小试牛刀
(2)∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC.
∵EF⊥AC，∴AE＝CE.
∵△BEC 的周长是10，
∴BC＋BE＋CE＝BC＋BE＋AE＝BC＋AB＝10.
∴ ABCD 的周长＝2(BC＋AB )＝20.
解：
小试牛刀
如图，四边形ABCD 为平行四边形，∠BAD 的平分线
AE 交CD 于点F，交BC 的延长线于点E.
(1)求证：BE＝CD；
(2)连接BF，若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求
ABCD 的面积．
小试牛刀
(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，BA＝CD.
∴∠DAE＝∠E.
又∵AE 平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE. ∴∠BAE＝∠E.
∴BA＝BE，∴BE＝CD.
证明：
小试牛刀
(2)∵∠BEA＝60°，BA＝BE，∴△ABE 为等边三角形.
∵BF⊥AE，∴F 为AE 的中点，∴AF＝EF.
在△AFD 和△EFC 中，
∴△AFD ≌ △EFC (ASA)．
∴△AFD 的面积等于△EFC 的面积．
∴ ABCD 的面积等于△ABE 的面积．
在Rt△ABF 中，AB＝4，AF＝EF＝2，
∴BF＝2 . ∴△ABE 的面积为 ×4×2 ＝4 .
∴ ABCD 的面积为4 .
解：
小试牛刀
如图①，四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC，BD 相交
于点O，过点O 作直线EF 分别交AD，BC 于点E，F.
(1)求证：OE＝OF.
(2)如图②，若过O 点的直线EF 与BA，DC 的延长线分别交于
点E，F，能得到(1)中的结论吗？由此你能得到什么样的一般
性结论？
小试牛刀
(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，AO＝CO.
∴∠EAO＝∠FCO.
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE ≌ △COF. ∴OE＝OF.
(2)解：能得到OE＝OF，方法同(1)．一般性结论：经过平行
四边形的对角线的交点的直线被平行四边形的对边或
对边的延长线截得的线段被平行四边形的对角线的交
点平分．
课堂小结
课堂小结
1. 平行四边形的对角线互相平分．
2. 平行四边形的面积＝底×高(底为平行四边形的
任意一条边，高为这条边与其对边间的距离)．
同学们，
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