【班海精品】人教版（新）八下-17.2 勾股定理的逆定理【优质课件】

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17.2 勾股定理的逆定理
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新课精讲
学以致用
课堂小结
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情景导入
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么
a 2＋b 2＝c 2
新课精讲
探索新知
1
知识点
逆命题、逆定理
如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这两个命题称为互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题．
2．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一
个定理，称其为原定理的逆定理，这两个定理称为互逆定理．
探索新知
导引：根据题目要求，先判断原命题的真假，再将原命题
的题设和结论互换，写出原命题的逆命题，最后判
断逆命题的真假．
例1 判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题
的真假：
(1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点；
(2)如果a＞b，那么a 2＞b 2；
(3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零；
(4)如果ab＜0，那么a＞0，b＜0.
探索新知
解：(1)原命题是真命题．逆命题为：如果两条直线只有
一个交点，那么它们相交．逆命题是真命题．
(2)原命题是假命题．逆命题为：如果a 2＞b 2，那么a＞b.
逆命题是假命题．
(3)原命题是真命题．逆命题为：如果两个数的和为
零，那么它们互为相反数．逆命题是真命题．
(4)原命题是假命题．逆命题为：如果a＞0，b＜0，
那么ab＜0.逆命题是真命题．
探索新知
总 结
写出逆命题的关键是分清楚原命题的题设和结论，然后将它的题设和结论交换位置就得到这个命题的逆命题．判断一个命题是真命题需要进行逻辑推理，判断一个命题是假命题只需要举出一个反例就可以了．
典题精讲
1 说出下列命题的逆命题.这些逆命题成立吗？
(1)两条直线平行，内错角相等；
(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
(3)全等三角形的对应角相等；
(4)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
典题精讲
(1)逆命题：内错角相等，两条直线平行．逆命题
成立．
(2)逆命题：如果两个实数的绝对值相等，那么这
两个实数相等．逆命题不成立．
(3)逆命题：三个角对应相等的两个三角形全等．
逆命题不成立．
(4)逆命题：角的平分线上的点到角两边的距离相
等．逆命题成立．
解：
典题精讲
下列说法正确的是(　　)
A．每个定理都有逆定理
B．每个命题都有逆命题
C．原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题
D．真命题的逆命题是真命题
2
B
已知下列命题：①若a>b，则ac>bc；②若a＝1，则 ＝a；③内错角相等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
3
A
探索新知
2
知识点
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么
a 2 + b 2 = c 2
勾股定理
如果三角形的三边长a、b、c 满足
那么这个三角形是直角三角形.
a 2 + b 2 = c 2
互逆定理
探索新知
例2 判断由线段a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形：
(1)a=15，b=8， c =17；
(2)a=13，b=14，c =15.
分析：根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直
角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最
大边长的平方.
解：(1)因为 152+82=225+64=289,172 = 289，所以152 +82 =172 ，
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形.
(2)因为132+142=169+196=365，152=225，所以132+142≠
152，根据勾股定理，这个三角形不是直角三角形.
探索新知
总 结
判断一个三角形是不是直角三角形有两种方法：
(1)利用定义，即如果已知条件与角度有关，可借助三角形的内角和定理判断；
(2)利用直角三角形的判定条件，即若已知条件与边有关，一般通过计算得出三边的数量关系(即a 2＋b 2＝c 2)来判断，看是否符合较短两边的平方和等于最长边的平方．
探索新知
例3 如图，某港口P 位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行 16 n mile，“海天”号每小时航行12 n mile.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R 处，且相距30 n mile.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
探索新知
分析：在图中可以看到，由于“远航”号的航向已知，
如果求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道
“海天”号的航向了.
解：根据题意，PQ =16×1.5 = 24，PR=12×1.5 = 18，
QR=30.
因为 242+182=302，即 PQ 2+PR 2=QR 2，
所以∠QPR= 90°.
由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1=45°.
因此∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行.
探索新知
总 结
用数学几何知识解决生活实际问题的关键是：建模思想，即将实际问题转化为数学问题；这里要特别注意弄清实际语言与数学语言间的关系；如本例中：“点与点之间的最短路线”就是“连接这两点的线段”，“点与直线的最短距离”就是“点到直线的垂线段的长”．
典题精讲
如果三条线段长a，b，c 满足a 2=c 2–b 2，这三条线
段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？
这三条线段组成的三角形是直角三角形，因为三条线段长a，b，c 满足a 2＝c 2－b 2，即a 2＋b 2＝c 2，根据勾股定理的逆定理可知，三角形是直角三角形．
解：
典题精讲
2 下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是(　　)
A．3，4，4 B．3，4，5
C．3，4，6 D．3，4，7
在△ABC中，∠A，∠B，∠C 的对边分别为a，b，c，且
(a＋b)(a－b)＝c 2，则(　　)
A．∠A 为直角 　　　　B．∠B 为直角
C．∠C 为直角 　　　　D．△ABC 不是直角三角形
C
A
典题精讲
五根小木棒，其长度(单位：cm)分别为7，15，20，24，
25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是(　　)
C
探索新知
3
知识点
勾 股 数
勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数．
常见的勾股数有：3，4，5；5，12，13；
8，15，17；7，24，25；9，40，41；….
2．判断勾股数的方法：
(1)确定是否是三个正整数；
(2)确定最大数；
(3)计算：看较小两数的平方和是否等于最大数的平方．
探索新知
导引：根据勾股数的定义：满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数
a，b，c 称为勾股数．A.62＋72≠82，不能构成勾
股数，故错误；B.52＋82≠132，不能构成勾股数，
故错误；C.1.5和2.5不是整数，所以不能构成勾股
数，故错误；D.212＋282＝352，能构成勾股数，故
正确．故选D.
例4 下面四组数中是勾股数的一组是( 　　)
A．6，7，8　 　 B．5，8，13　
　 C．1.5，2，2.5　　 D．21，28，35
D
探索新知
总 结
确定勾股数的方法：首先看这三个数是否是正整数；然后看较小两个数的平方和是否等于最大数的平方，记住常见的勾股数(3，4，5；5，12，13；8，15，17；7，24，25)可以提高解题速度．
典题精讲
1 下面几组数中，为勾股数的一组是(　　)
A．4，5，6 B．12，16，20
C．－10，24，26 D．2.4，4.5，5.1
2 下列几组数：①9，12，15；②8，15，17；③7，
24，25；④n 2－1，2n，n 2＋1(n 是大于1的整数)，
其中是勾股数的有(　　)
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
B
D
探索新知
1
类型
勾股定理的验证
1．一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了一种新的验证勾股定理的方法．如图，火柴盒的一个侧面四边形ABCD 倒下到四边形AB ′C ′D ′的位置，连接AC，AC ′，CC ′，设AB＝a，BC＝b，AC＝c.请利用四边形BCC ′D ′的面积证明勾股定理：a 2＋b 2＝c 2.
探索新知
由题易知Rt△C ′D ′A ≌Rt△ABC ，
∴∠C ′AD ′＝∠ACB.
又∵∠ACB＋∠BAC＝90°，
∴∠BAC＋∠C ′AD ′＝90°.
∴∠CAC ′＝90°.
∵S梯形BCC′D′＝SRt△ABC＋SRt△AC ′D ′＋SRt△CAC ′，
∴ (a＋b)(a＋b)＝ ab＋ ab＋ c 2.　
∴(a＋b)2＝2ab＋c 2. ∴a 2＋b 2＝c 2.
证明：
探索新知
2
勾股定理在折叠中的应用
类型
2． 如图，长方形ABCD 中，AB＝8，BC＝6，P 为AD上一点，
将△ABP 沿BP 翻折至△EBP，PE，BE 分别与CD 相交于点O，
G，且OE＝OD，求AP 的长．
探索新知
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠D＝∠A＝∠C＝90°，AD＝BC＝6，CD＝AB＝8.
根据题意得△ABP ≌△EBP，
∴EP＝AP，∠E＝∠A＝90°，BE＝AB＝8.
在△ODP 和△OEG 中，
∴△ODP ≌△OEG. ∴OP＝OG，PD＝GE. ∴DG＝EP.
设AP＝EP＝x，则GE＝PD＝6－x，DG＝x，
∴CG＝8－x，BG＝8－(6－x )＝2＋x.
根据勾股定理得BC 2＋CG 2＝BG 2.
即62＋(8－x)2＝(x＋2)2，解得x＝4.8，∴AP＝4.8.
解：
探索新知
3
勾股定理在最短路径中的应用
类型
3．如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12 cm，底面周长为10 cm，在容器内壁离容器底部3 cm的点B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3 cm的点A 处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径的长是(　　)
A．13 cm
B．2 cm
C. cm
D．2 cm
A
探索新知
4
勾股定理的逆定理在判断方向中的应用
4．如图，小明的家位于一条南北走向的河流MN 的东侧A处，
某一天小明从家出发沿南偏西30°方向走60 m到达河边
B 处取水，然后沿另一方向走80 m到达菜地C 处浇水，最
后沿第三方向走100 m回到家A 处．问
小明在河边B 处取水后是沿哪个方向行
走的？并说明理由．
类型
探索新知
小明在河边B 处取水后是沿南偏东60°方向行走的．
理由如下：∵AB＝60 m，BC＝80 m，AC＝100 m，
∴AB 2＋BC 2＝AC 2. ∴∠ABC＝90°.
又∵AD∥NM，
∴∠NBA＝∠BAD＝30°.
∴∠MBC＝180°－90°－30°＝60°.
∴小明在河边B 处取水后是沿南偏东60°方向行走的．
解：
探索新知
5
勾股定理与它的逆定理的综合应用
5．如图，已知在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 在
AB上，且AF∶FB＝3∶1.
(1)请你判断EF 与DE 的位置关系，并说明理由；
(2)若此正方形的面积为16，求DF 的长．
类型
探索新知
(1)EF⊥DE.理由如下：
设正方形ABCD 的边长为a，则AD＝DC＝a，
FB＝ a，AF＝ a，BE＝EC＝ a，
在Rt△DAF 中，DF 2＝AD 2＋AF 2＝ a 2，
在Rt△CDE 中，DE 2＝CD 2＋CE 2＝ a 2，
在Rt△EFB 中，EF 2＝FB 2＋BE 2＝ a 2，
∴DE 2＋EF 2＝ a 2＋ a 2＝ a 2＝DF 2，
∴△DFE 为直角三角形，且∠DEF＝90°，
∴EF⊥DE.
解：
探索新知
(2)∵正方形的面积为16，∴a 2＝16，
∴DF 2＝ a 2＝ ×16＝25，
∴DF＝5.
探索新知
6
勾股定理及其逆定理在网格中的应用
6．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点A，B，C，
D 均在格点上．
(1)求四边形ABCD 的面积．
(2)你能判断AD 与CD 的位置关系吗？请说出你的理由．
类型
探索新知
(1)S四边形ABCD＝ ×2×5＋ ×3×5＝12.5.
(2)AD⊥CD.理由如下：
因为AD 2＝12＋22＝5，CD 2＝22＋42＝20，
AC 2＝52＝25，
所以AD 2＋CD 2＝AC 2，
所以△ADC 是直角三角形，
且∠ADC＝90°.
所以AD⊥CD.
解：
探索新知
7
勾股定理的逆定理的实际应用
7．王伟准备用一段长30 m的篱笆围成一个三角形形状的小
圈，用于饲养家兔．已知第一条边长为a m，由于受地
势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2 m.
(1)请用a 表示第三条边长．
(2)问第一条边长可以为7 m吗？请说明理由，并求出a 的
取值范围．
(3)能否使得围成的小圈是直角三角形形状，且各边长均为
整数？若能，说明你的围法；若不能，请说明理由．
类型
探索新知
(1)第一条边长为a m，第二条边长为(2a＋2)m，所以第三条边长为30－a－(2a＋2)＝28－3a (m)；
(2)第一条边长不可以为7 m，理由如下：如果第一条边长为7 m，那么第二条边长为16 m，第三条边长为7 m，7＋7<16，不满足三角形三边之间的关系，不能构成三角形．所以第一条边长不可以为7 m.a 的取值范围是 ＜a＜ .
(3)能．可以围成一个三边长分别为5 m，12 m，13 m的直角三角形．
解：
易错提醒
下列各组数能构成勾股数的是________．(填序号)
① 6，8，10；　② 7，8，10；　③
①
易错点：忽视勾股数是正整数这一条件.
首先要注意到勾股数必须是一组正整数，其次要满足两个较小数的平方和等于最大数的平方．本题易误认为③也是勾股数．
易错总结：
学以致用
小试牛刀
下列定理中，没有逆定理的是(　　)
A．直角三角形的两锐角互余
B．若三角形三边长a，b，c (其中a＜c，b＜c )
满足a 2＋b 2＝c 2，则该三角形是直角三角形
C．全等三角形的对应角相等
D．互为相反数的两数之和为0
1
C
小试牛刀
如图，△ABC 的顶点在正方形网格的格点，若小方格的边长为1，则△ABC 是(　　)
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．以上都不对
2
B
小试牛刀
△ABC 的三边长分别为a，b，c，下列条件：
①∠A＝∠B－∠C；
②∠A：∠B：∠C＝3：4：5；
③a 2＝(b＋c )(b－c )；
④a：b：c＝5：12：13.
其中能判定△ABC 是直角三角形的有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3
C
小试牛刀
给出下列命题：
①如果a，b，c 为一组勾股数，那么4a，4b，4c 仍是一组勾股数；
②如果直角三角形的两边长分别是3和4，那么另一边长的平方必为25；
③如果一个三角形的三边长分别是12，25，21，那么此三角形必是直角三角形；
④一个等腰直角三角形的三边长分别是a，b，c，其中a是斜边长，那么a 2∶b 2∶c 2＝2∶1∶1.
其中正确的是(　　)
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
4
C
小试牛刀
5 如图，每个小方格都是边长为1的正方形，
(1)求四边形ABCD 的面积；
(2)求∠ABC 的度数．
小试牛刀
(1)S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD
＝ ×5×2＋ ×5×3＝ .
(2)因为AB 2＝22＋42＝20，BC 2＝12＋22＝5，
AC 2＝5 2＝25，
所以AB 2＋BC 2＝AC 2.
所以∠ABC＝90°.
解：
小试牛刀
6 如图，已知△ABC 中，AB＝8，BC＝10，AC＝6.
(1)判断△ABC 是什么三角形；
(2)用尺规作出边BC 的垂直平分线，交BC 于点D，交
AB 于点E；(不写作法，保留作图痕迹)
(3)连接CE，求CE 的长．
小试牛刀
(1)因为AB＝8，BC＝10，AC＝6，102＝82＋62，
所以BC 2＝AB 2＋AC 2，所以△ABC 是直角三角形．
(2)如图所示．
(3)如图，设CE＝x，
因为DE 垂直平分BC，
所以BE＝CE＝x，
在Rt△ACE 中，可得：CE 2＝AE 2＋AC 2，
即x 2＝(8－x )2＋62，
解得x＝6.25.所以CE 的长为6.25.
解：
小试牛刀
阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c 称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，
其勾股数组公式为：
其中m＞n＞0，m，n 是互质的奇数．
应用：当n＝1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长．
小试牛刀
当n＝1时，a＝ (m 2－1)①，b＝m ②，c＝ (m 2＋1) ③，
∵直角三角形有一边长为5，
∴Ⅰ.当a＝5时， (m 2－1)＝5，解得：m＝± (舍去)，
Ⅱ.当b＝5时，即m＝5，代入①③得，a＝12，c＝13，
Ⅲ.当c＝5时， (m 2＋1)＝5，解得：m＝±3，∵m＞0，
∴m＝3，代入①②得，a＝4，b＝3，
综上所述，直角三角形的另外两条边长分别为12，13或3，4.
解：
小试牛刀
8 在△ABC 中，CA＝CB，∠ACB＝α，点P 为△ABC 内
一点，将CP 绕点C 顺时针旋转α 得到CD，连接AD.
(1)如图①，当α＝60°，PA＝10，PB＝6，PC＝8时，
求∠BPC 的度数；
(2)如图②，当α＝90°时，PA＝3，PB＝1，PC＝2时，
求∠BPC 的度数．
小试牛刀
(1)如图①，连接DP，易知△DCP 为等边三角形，
易证得△CPB ≌△CDA，
∴∠BPC＝∠ADC，∠CDP＝60°，
AD＝6，DP＝8，
∴AD 2＋DP 2＝AP 2，∴∠ADP＝90°，
∴∠ADC＝150°，∴∠BPC＝150°.
解：
小试牛刀
(2)如图②，连接DP，易得△DCP 为等腰直角三角形，
易证得△CPB ≌△CDA，
∴∠BPC＝∠ADC，∠CDP＝45°，
AD＝1，DP＝2 ，
∴AD 2＋DP 2＝AP 2，∴∠ADP＝90°，
∴∠ADC＝135°，∴∠BPC＝135°.
课堂小结
课堂小结
逆定理
三角形两直角边分
别为a，b，斜边为
c，那么a 2＋b 2＝c 2
定理
直角三角形！
同学们，
下节课见！
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