【班海精品】人教版（新）八下-18.2 特殊的平行四边形 第六课时【优质课件】

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18.2 特殊的平行四边形
第6课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
回顾旧知识：
①有一个角是直角的平行四边形
②有三个角是直角的四边形
③对角线相等的平行四边形
①有一组邻边相等的平行四边形
②四条边都相等的四边形
③对角线互相垂直的平行四边形
菱形的判别方法：
矩形的判别方法：
新课精讲
探索新知
1
知识点
正方形的对称性
O
A
B
C
D
(A)
(B)
(C)
(D)
正方形的对称性：
正方形是中心对称图形，对称中心为点O；
又是轴对称图形，有四条对称轴.
探索新知
例1 如图，点E 在正方形ABCD 的对角线AC 上，且EC＝2AE，
直角三角形FEG 的两直角边EF、EG 分别交BC、DC 于点
M、N.若正方形ABCD 的边长为a，则重叠部分四边EMCN
的面积为(　　)
A. a 2　　 B. a 2　
　 C. a 2　 　D. a 2
D
探索新知
作EP⊥BC 于点P，EQ⊥CD 于点Q，易得△EPM ≌ △EQN，利用四边形EMCN 的面积等于正方形PCQE 的面积求解．
作EP⊥BC 于点P，EQ⊥CD 于点Q，
∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BCD＝90°，
又∵∠EPM＝∠EQN＝90°，∴∠PEQ＝90°，
∴∠PEM＋∠MEQ＝90°，
∵三角形FEG 是直角三角形，∴∠NEF＝∠NEQ＋∠MEQ＝90°，
∴∠PEM＝∠NEQ，
∵CA是∠BCD 的角平分线，∠EPC＝∠EQC＝90°，
∴EP＝EQ，四边形PCQE 是正方形，
导引：
探索新知
在△EPM 和△EQN 中，
∴△EPM ≌ △EQN (ASA)，∴S△EQN＝S△EPM，
∴四边形EMCN 的面积等于正方形PCQE 的面积，
∵正方形ABCD 的边长为a，∴AC＝ a，
∵EC＝2AE，∴EC＝ a，∴EP＝PC＝ a，
∴正方形PCQE 的面积＝ a× a＝ a 2，
∴四边形EMCN 的面积＝ a 2.
探索新知
总 结
本例解法在于巧用割补法，将分散的图形拼合在一起，将不规则的阴影面积集中到一个规则的图形中，再利用正方形及三角形的性质求出，解答过程体现了割补法及转化思想．
典题精讲
1
如图，菱形ABCD 的面积为120 cm2，正方形AECF 的面积为50 cm2，则菱形的边长为________．
13cm
2
小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了(　　)
A．1次　 B．2次
C．3次 D．4次
B
典题精讲
3
将五个边长都为2 cm的正方形按如图所示方式摆放，点A，B，C，D 分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影部分面积的和为(　　)
A．2 cm2
B．4 cm2
C．6 cm2
D．8 cm2
B
探索新知
2
知识点
正方形的判定
正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形.
正方形的性质=
菱形性质
矩形性质
探索新知
正方形
矩形
有一组邻边相等
菱形
有一个角是直角
有一组邻边相等
有一个角是直角
平行四边形
有一个角是直角
有一组邻边相等
探索新知
例2 如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 平分∠ACB，
DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F. 求证：四边
形CFDE 是正方形．
要证四边形CFDE 是正方形，
首先要确定这个正方形建立
在哪种四边形的基础上，即
先证它是什么四边形；再证
这种四边形是正方形需要补
充的条件．
导引：
探索新知
证法一：∵DE⊥BC，AC⊥BC，∴DE∥CF.
同理DF∥CE，
∴四边形CFDE 是平行四边形．
∵CD 平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∴ CFDE 是菱形．
∵∠ACB＝90°，∴菱形CFDE 是正方形．
证法二：∵∠ECF＝∠CFD＝∠CED＝90°，
∴四边形CFDE 是矩形．
∵CD 平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∴矩形CFDE 是正方形．
探索新知
总 结
证明条件中不含对角线的四边形是正方形的四种方法：
方法1：证：“四边形＋四边相等＋四个直角”；
方法2：证：“平行四边形＋一组邻边相等＋一个直角”；
方法3：证：“矩形＋一组邻边相等”；
方法4：证：“菱形＋一个直角”．
探索新知
例3 如图，已知在 ABCD 中，对角线AC，BD 交于点O，E
是BD 的延长线上的点，且EA＝EC.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若∠DAC＝∠EAD＋∠AED，
求证：四边形ABCD 是正方形．
要证 ABCD是正方形，有三种途径可走：即在平行四
边形、菱形、矩形的基础上，找各需补充的对角线的
条件进行证明；若要证明 ABCD是菱形，由于题中条
件与对角线相关，则需证AC⊥BD.
导引：
探索新知
(1)首先根据平行四边形的性质可得AO＝CO，再由EA＝EC 可得△EAC 是等腰三角形，然后根据等腰三角形三线合一的性质可得EO⊥AC，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可证出结论；
(2)首先根据角的关系得出AO＝DO，进而得到AC＝BD，再根据对角线相等的菱形是正方形可得到结论．
探索新知
(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO＝CO，
∵EA＝EC，∴EO⊥AC，即BD⊥AC，
∴四边形ABCD 是菱形．
(2)∵∠ADO＝∠EAD＋∠AED，
∠DAC＝∠EAD＋∠AED，
∴∠ADO＝∠DAC，∴AO＝DO，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AC＝2AO，BD＝2DO，
∴AC＝BD，∴四边形ABCD 是正方形.
证明：
探索新知
总 结
证明条件中含对角线的四边形是正方形的方法：
(1)证：“四边形＋对角线互相垂直、平分且相等”；
(2)证：“平行四边形＋对角线互相垂直且相等”；
(3)证：“矩形＋对角线互相垂直”；
(4)证：“菱形＋对角线相等”．
典题精讲
1
满足下列条件的四边形是不是正方形？为什么？
(1) 对角线互相垂直且相等的平行四边形；
(2) 对角线互相垂直的矩形；
(3) 对角线相等的菱形；
(4) 对角线互相垂直平分且相等的四边形.
(1)是；(2)是；(3)是；(4)是．原因略．
解：
典题精讲
2
如图，在菱形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，不添加任何辅助线，请添加一个条件___________________________，使四边形ABCD 是正方形．
∠BAD＝90°(答案不唯一)
典题精讲
3
下列判断错误的是(　　)
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．四个内角都相等的四边形是矩形
C．四条边都相等的四边形是菱形
D．两条对角线垂直且互相平分的四边形是正方形
D
易错提醒
四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O，假设有下列条件：①AB＝AD ； ②∠DAB＝90°；
③AO＝CO，BO＝DO； ④四边形ABCD 为矩形；
⑤四边形ABCD 为菱形； ⑥四边形ABCD 为正方形．
则下列推理不成立的是(　　)
A．①④ ⑥ B．①③ ⑤
C．①② ⑥ D．②③ ④
易错点：将特殊四边形的判定相混淆导致出错.
C
学以致用
小试牛刀
1
关于 ABCD 的叙述，正确的是(　　)
A．若AB⊥BC，则 ABCD是菱形
B．若AC⊥BD，则 ABCD是正方形
C．若AC＝BD，则 ABCD是矩形
D．若AB＝AD，则 ABCD是正方形
C
小试牛刀
2
小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使 ABCD 为正方形(如图)，现有下列四种选法，你认为其中错误的是(　　)
A．①②
B．②③
C．①③
D．②④
B
小试牛刀
3
在△ABC 中，点D，E，F 分别在BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥BA，连接EF，AD，则下列三种说法：
①如果EF＝AD，那么四边形AEDF 是矩形；
②如果EF⊥AD，那么四边形AEDF 是菱形；
③如果AD⊥BC 且AB＝AC，那么四边形AEDF 是正方形，其中正确的有(　　)
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
B
小试牛刀
已知：如图，在菱形ABCD 中，点E，O，F 分别为AB，
AC，AD 的中点，连接CE，CF，OE，OF.
(1)求证：△BCE ≌ △DCF.
(2)当AB 与BC 满足什么关系时，四边形AEOF 是正方形？
请说明理由．
小试牛刀
(1)∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝∠D.
∵点E，F 分别为AB，AD 的中点，
∴BE＝ AB，DF＝ AD.
∴BE＝DF.
在△BCE 和△DCF 中，
∴△BCE ≌ △DCF (SAS)．
证明：
小试牛刀
(2)AB⊥BC，理由如下：
∵点E，O，F 分别为AB，AC，AD 的中点，
∴OE＝ BC＝ AD＝AF.
同理可证：OF＝AE＝ AB；
∴OE＝OF＝AF＝AE.
∴四边形AEOF 是菱形．
∵AB⊥BC，又易知OE∥BC，∴AE⊥OE.
∴四边形AEOF 是正方形．
解：
小试牛刀
如图，已知在△ABC 中，AB＝AC，D 为BC 边的中点，
过点D 作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.
(1)求证：△BED ≌ △CFD；
(2)若∠A＝90°，求证：四边形DFAE 是正方形．
小试牛刀
(1)∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵D 是BC 的中点，∴BD＝CD.
∴△BED ≌ △CFD.
(2)∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED＝∠AFD＝90°.
∵∠A＝90°，∴四边形DFAE 为矩形．
∵△BED ≌ △CFD，∴DE＝DF.
∴四边形DFAE 是正方形．
证明：
小试牛刀
如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AD 是中线，E 是AD
的中点，过点A作AF∥BC 交BE 的延长线于点F，连接CF.
(1)求证：AD＝AF；
(2)如果AB＝AC，试判断四边形ADCF 的形状，并证明你的结论．
小试牛刀
(1)∵AF∥BC，∴∠EAF＝∠EDB.
∵E 是AD 的中点，∴AE＝DE.
又∵∠AEF＝∠DEB，
∴△AEF ≌ △DEB (ASA)．
∴AF＝DB.
∵在△ABC 中，∠BAC＝90°，AD 是中线，
∴AD＝BD＝DC＝ BC.
∴AD＝AF.
证明：
小试牛刀
(2)当AB＝AC 时，四边形ADCF 是正方形．
由(1)可知，AD＝AF＝DC，
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF 是平行四边形．
∵AB＝AC，AD 是中线，∴AD⊥BC.
又∵AD＝AF，∴四边形ADCF 是正方形．
解：
小试牛刀
如图，在等腰三角形ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，
D 是AB 的中点，E，F 分别是AC，BC 上的点(点E 不与端
点A，C 重合)，且AE＝CF，连接EF 并取EF 的中点O，连
接DO 并延长至点G，使GO＝DO，连接DE，DF，GE，GF.
(1)求证：四边形EDFG 是正方形；
(2)当点E 在什么位置时，四边形EDFG 的面积最小？并求四
边形EDFG 面积的最小值．
小试牛刀
(1)如图，连接CD. ∵O是EF 的中点，∴OE＝OF.
又∵OD＝OG，∴四边形EDFG 为平行四边形．
∵AC＝BC，D 为AB 的中点，∠ACB＝90°，
∴AD＝DC，∠A＝∠FCD＝45°，CD⊥AB.
在△AED 和 △CFD 中，AE＝CF，∠A＝∠FCD，
AD＝DC，∴△AED ≌ △CFD.
∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF.
∴四边形EDFG 为菱形．
∵CD⊥AD，∴∠ADE＋∠EDC＝90°.
∴∠EDC＋∠CDF＝90°，即∠EDF＝90°.
∴四边形EDFG 为正方形．
证明：
小试牛刀
(2)∵四边形EDFG 为正方形，
∴当正方形EDFG 的边长DE 最短时，其面积最小．
∵垂线段最短，
∴当DE⊥AC 时，四边形EDFG 的面积最小．
∵AD＝DC，DE⊥AC，
∴AE＝EC，DE＝ AC＝2.
∴当E 为AC 的中点时，四边形EDFG 的面积最小，
四边形EDFG 的面积的最小值＝22＝4.
解：
课堂小结
课堂小结
5种识别方法
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角
或对角线相等
一个角是直角且一组邻边相等
四边形
平行四边形
矩形
菱形
正方形
同学们，
下节课见！
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