【班海精品】人教版（新）八下-18.1 平行四边形 第三课时【优质课件】
文档属性
| 名称 | 【班海精品】人教版（新）八下-18.1 平行四边形 第三课时【优质课件】 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 6.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-01-13 10:20:43 | ||
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文档简介
(共57张PPT)
18.1 平行四边形
第3课时
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
（任务-发布任务-选择章节）
目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
平行四边形的性质
平行四边形对边平行；
平行四边形对边相等；
平行四边形对角相等；
平行四边形对角线互相平分；
新课精讲
探索新知
1
知识点
由两组对边分别平行或相等判定平行四边形
一装潢店要招聘店员，老板出了这样一道考题：“一顾客要一张平行四边形的玻璃，你利用工具度量哪些数据可说明这张玻璃符合顾客要求.”
探索新知
从边看：
方法一：两组对边分别平行的四边形是
平行四边形；(定义法)
数学表达式：如图，∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD 是平行四边形；
方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
数学表达式：如图，∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD 是平行四边形；
探索新知
要证四边形BFDE 是平行四边形，根据平行四边形的定义可证得DF∥BE，因此可采用判定方法一即定义法证明DE∥FB 即可．
例1 如图所示，已知四边形ABCD 是平行四边形，DE
平分∠ADC，交CB 的延长线于点E，BF 平分
∠ABC，交AD 的延长线于点F.
求证：四边形BFDE 是平行四
边形．
导引：
探索新知
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴∠ADC＝∠ABC，AD∥CB. ∴DF∥BE.
∵DE 平分∠ADC，BF 平分∠ABC，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4.
∵AD∥BC，∴∠1＝∠E. ∴∠E＝∠3.
∴DE∥FB.
∴四边形BFDE 是平行四边形．(两组对边分别平行
的四边形是平行四边形)
证明：
探索新知
总 结
平行四边形的定义是判定平行四边形的根本方法，也是其他判定方法的基础．当题目中出现平行的线段时，往往借助判定方法一来帮助我们对四边形加以判断．
探索新知
例2 如图，分别以△ABC 的三边为一边，在BC 的同侧
作等边三角形ABD，等边三角形BCE，等边三角
形ACF，连接DE，EF.
求证：四边形ADEF 是平行四边形．
由等边三角形的性质可以得到线段相等，角相等，进而可以通过全等三角形证明四边形ADEF 的两组对边分别相等，最后根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行判定．
导引：
探索新知
∵△ABD、△BCE、△ACF 都为等边三角形，
∴DB＝AB＝AD，BE＝BC，AC＝AF，
∠DBA＝60°，∠EBC＝60°.
∴∠DBE＝60°－∠EBA，∠ABC＝60°－∠EBA，
∴∠DBE＝∠ABC，∴△DBE ≌ △ABC，
∴DE＝AC.
又∵AC＝AF，∴AF＝DE.
同理可证：△ABC ≌ △FEC，
∴AB＝FE，∴FE＝AD，
∴四边形ADEF 是平行四边形．
证明：
探索新知
总 结
根据等边三角形的性质可以得到线段相等，角相等，进而通过证明三角形全等得到四边形ADEF 的两组对边分别相等，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形得证．
典题精讲
如图，AB＝DC＝EF，AD＝BC，DE＝CF. 图中有哪些互相平行的线段？
1
AB∥CD，AD∥BC，
CD∥EF，DE∥CF，
AB∥EF.
解：
典题精讲
2 四边形的四条边长分别是a，b，c，d，其中a，b 为
一组对边长，c，d 为另一组对边长且a 2＋b 2＋c 2＋d 2
＝2ab＋2cd，则这个四边形是( )
A．任意四边形
B．平行四边形
C．对角线相等的四边形
D．对角线垂直的四边形
B
探索新知
2
知识点
由两组对角分别相等判定平行四边形
几何语言：
∵∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD，
∴四边形ABCD 是平行四边形．(如图所示)
探索新知
例3 如图，在 ABCD 中，BE 平分∠ABC，交AD 于点E，DF
平分∠ADC，交BC 于点F，那么四边形BFDE 是平行四边
形吗？为什么？
利用平行四边形对角相等
的性质可得∠ABC＝
∠ADC，∠A＝∠C，然后
再依据角平分线的定
义和三角形外角的性质证出四边形BFDE 的两组对角分别相等，于是可得出结论．
导引：
探索新知
四边形BFDE 是平行四边形．
理由：在 ABCD 中，∠ABC＝∠ADC，∠A＝∠C.
∵BE平分∠ABC，DF 平分∠ADC，
∴∠ABE＝∠CBE＝ ∠ABC，
∠CDF＝∠ADF＝ ∠ADC，
∴∠CDF＝∠ADF＝∠ABE＝∠CBE.
∵∠DFB＝∠C＋∠CDF，∠BED＝∠ABE＋∠A，
∴∠DFB＝∠BED，∴四边形BFDE 是平行四边形．
解：
探索新知
总 结
当已知条件出现所要说明的四边形的角时，可选择“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”来判定．
典题精讲
下列条件不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是( )
A．∠A＝∠C，∠B＝∠D
B．∠A＝∠B＝∠C＝90°
C．∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°
D．∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°
1
D
典题精讲
2 下列给出的条件中，能判定四边形ABCD 是平行四边形的是( )
A．AB∥CD，AD＝BC
B．AB＝AD，CB＝CD
C．AB＝CD，AD＝BC
D．∠B＝∠C，∠A＝∠D
C
探索新知
3
知识点
由对角线互相平分判定平行四边形
过前面的学习，我们知道，平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分.反过来，对边相等，或对角相等，或对角线互相平分的四边形是平行四边形吗？也就是说，平行四边形的性质定理的逆命题成立吗？
下面我们以“对角线互相平分的四边形是平行四边形”为例，通过三角形全等进行证明.
思考
探索新知
如图，在四边形ABCD 中，AC，BD 相交于点O，且OA=OC，OB=OD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
∵OA=OC，OD=OB,
∠AOD=∠COB，
∴△ AOD ≌ △COB.
∴∠OAD=∠OCB.
∴AD//BC.
同理 AB//DC.
∴四边形ABCD 是平行四边形.
证明：
探索新知
从对角线看：
对角线互相平分的四边形是平行四边形．
数学表达式：如图，∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD 是平行四边形．
探索新知
∵ 四边形ABCD 是平行四边形，
∴ AO=CO，BO=DO.
∵ AE=CF，
∴AO-AE=CO-CF，即EO=FO.
又 BO=DO，
∴四边形BFDE 是平行四边形.
例4 如图， ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，
E，F 是AC上的两点，并且AE=CF.
求证：四边形BFDE 是平行四边形.
证明：
探索新知
总 结
从对角线方面判断四边形的形状要注意是对角线互相平分，即交点既是第一条对角线的中点，又是第二条对角线的中点.
典题精讲
如图， ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，E，F 分别是OA，OC 的中点. 求证BE＝DF.
1
因为四边形ABCD 是平行四边形，
所以BO＝DO，OA＝OC.
因为E，F 分别是OA，OC 的中点，
所以OE＝ OA＝ OC＝OF.
又因为∠BOE＝∠DOF，
所以△BOE ≌ △DOF，所以BE＝DF.
解：
典题精讲
如图，四边形ABCD 的对角线相交于点O，AO＝CO，请添加一个条件__________(只添一个即可)，使四边形ABCD 是平行四边形．
2
BO＝DO
探索新知
4
知识点
由一组对边平行且相等判定平行四边形
我们知道，如果一个四边形是平行四边形，那么它的任意一组对边平行且相等.反过来，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？我们猜想这个结论正确，下面进行证明.
思考
探索新知
如图，在四边形ABCD 中， AB//CD，且AB=CD.
求证：四边形ABCD 是平行四边形.
连接AC，
∵AB//CD，
∴∠1=∠2.
又AB=CD，AC=CA.
∴△ ABC ≌ △CDA.
∴BC=DA.
∴四边形ABCD 两组对边分别相等，它是平行四边形.
证明：
探索新知
归 纳
于是我们又得到平行四边形的一个判断定理：
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
数学表达式：如图，∵AB CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∥
＝
探索新知
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴ AB=CD，EB//FD.
又EB= AB，FD = CD，
∴ EB=FD.
∴四边形EBFD 是平行四边形.
例5 如图，在 ABCD 中，E，F 分别是AB，CD 的中点.
求证：四边形EBFD 是平行四边形.
证明：
探索新知
总 结
要证四边形是平行四边形，已知有一组对边平行，联想的思路有两种：
一是证明另一组对边平行；
二是证明平行的这组对边相等．
而证明边相等要三角形全等这条思路较常见．
典题精讲
为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相等就可以了. 你能说出其中的道理吗？
1
因为一组对边平行
且相等的四边形是
平行四边形，所以
铁轨和夹在铁轨之间的枕木构成了平行四边形，因此可知两条直铺的铁轨是互相平行的．
解：
典题精讲
如图，在 ABCD 中，BD 是它的一条对角线，过A，C 两点分别作AE丄BD， CF丄BD，E，F 为垂足. 求证：四边形AFGE 是平行四边形.
2
典题精讲
因为四边形ABCD 是平行四边形，
所以AB∥CD，AB＝CD，所以∠CDB＝∠ABD.
又因为AE⊥BD，CF⊥BD，
所以∠AEB＝∠CFD＝90°，所以AE∥CF.
在△ABE 和△CDF 中，
AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，∠AEB＝∠CFD，
所以△ABE ≌ △CDF，所以AE＝CF.
又因为AE∥CF，所以四边形AFCE 是平行四边形．
解：
典题精讲
3 下列说法错误的是( )
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
D
4
下列条件不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是( )
A．AB∥CD，AD∥BC
B．∠A＝∠C，∠B＝∠D
C．AB＝CD，AD＝BC
D．AB∥CD，AD＝BC
D
易错提醒
已知：如图，在 ABCD 中，对角线AC，BD 相交于O，E，F 是对角线上的两点，给出下列四个条
件：①OE＝OF；②DE＝BF；③∠ADE＝
∠CBF；④∠ABE＝∠CDF.
其中不能判定四边形DEBF 是平行四边形的有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
B
易错点：混淆平行四边形的判定方法导致判断错误.
易错提醒
给出条件①OE＝OF，由题易知OD＝OB，∴四边形DEBF 为平行四边形，故①正确；给出条件③∠ADE＝∠CBF，由题易知∠DAE＝∠BCF，AD＝BC，∴△ADE ≌ △CBF，∴DE＝BF，∠DEA＝∠BFC，∴∠DEO＝∠BFO，∴DE∥BF，∴四边形DEBF为平行四边形，故③正确；给出条件④，理由同③，亦可判定四边形DEBF 为平行四边形；只有给出条件②无法判定四边形DEBF 为平行四边形．故选B. 本题易错选A.
学以致用
小试牛刀
小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，她带了两块碎玻璃，其编号应该是( )
A．①②
B．①④
C．③④
D．②③
1
D
小试牛刀
如图，线段AB，CD 相交于点O，且图上各点把线段AB，CD四等分，这些点可以构成________个平行四边形．
2
4
小试牛刀
3
如图，在四边形ABCD 中，AB∥CD，要使四边形ABCD 是平行四边形，可添加的条件不正确的是( )
A．AB＝CD
B．BC＝AD
C．∠A＝∠C
D．BC∥AD
B
小试牛刀
4
如图，在 ABCD 中，点E，F 分别在AD，BC上，若要使四边形AFCE 是平行四边形，可以添加的条件是( )
①AF＝CF；②AE＝CE；③BF＝DE；④AF∥CE.
A．①或②
B．②或③
C．③或④
D．①或③
C
小试牛刀
如图，点B，E 分别在AC，DF 上，AF 分别交BD，CE
于点M，N，∠A＝∠F，∠1＝∠2.
(1)求证：四边形BCED 是平行四边形；
(2)已知DE＝2，连接BN，若BN 平分∠DBC，求CN 的长．
小试牛刀
(1)证明：∵∠A＝∠F，∴DF∥AC.
又∵∠1＝∠2，∠1＝∠DMF，
∴∠2＝∠DMF. ∴DB∥EC.
∴四边形BCED是平行四边形．
(2)解：∵BN 平分∠DBC，
∴∠DBN＝∠NBC.
∵DB∥EC，∴∠BNC＝∠DBN.
∴∠BNC＝∠NBC. ∴BC＝CN.
∵四边形BCED 是平行四边形，
∴BC＝DE＝2. ∴CN＝2.
小试牛刀
如图，在 ABCD 中，点E，F 在对角线AC上，
且AE＝CF. 求证：
(1)DE＝BF；
(2)四边形DEBF 是平行四边形．
小试牛刀
(1)∵四边形ABCD 是平行四边形．
∴AD∥CB，AD＝CB. ∴∠DAE＝∠BCF.
在△ADE 和△CBF 中，
∴△ADE ≌ △CBF. ∴DE＝BF.
(2)如图，连接BD，交AC 于点O，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵AE＝CF，∴OE＝OF.
∴四边形DEBF 是平行四边形．
证明：
小试牛刀
如图，以BC 为底边的等腰△ABC，点D，E，G 分别在BC，
AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE 至点F，使得BF＝BE.
(1)求证：四边形BDEF 为平行四边形；
(2)当∠C＝45°，BD＝2时，求D，F 两点间的距离．
小试牛刀
(1) ∵△ABC 是等腰三角形，
∴∠ABC＝∠C.
∵EG∥BC，DE∥AC，
∴∠AEG＝∠ABC＝∠C，
四边形CDEG 是平行四边形．
∴∠DEG＝∠C.
∵BE＝BF，
∴∠BEF＝∠F＝∠AEG＝∠ABC.
∴∠F＝∠DEG. ∴BF∥DE.
∴四边形BDEF 为平行四边形．
证明：
小试牛刀
(2)∵∠C＝45°，
∴∠BDE＝∠ABC＝∠BEF＝∠BFE＝45°.
∴△BDE、△BEF 是等腰直角三角形．
∵BD＝2，∴BF＝BE＝ .
作FM⊥BD 交DB 的延长线于M，连接DF，
如图所示．
易得△BFM 是等腰直角三角形，
∴FM＝BM＝1.∴DM＝3.
在Rt△DFM 中，
由勾股定理得DF＝ ，
即D，F 两点间的距离为 .
解：
小试牛刀
如图，已知点E，C 在线段BF 上，BE＝EC＝CF，
AB∥DE，∠ACB＝∠F.
(1)求证：△ABC ≌ △DEF；
(2)试判断四边形AECD 的形状，并证明你的结论．
小试牛刀
(1) ∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF.
∵BE＝EC＝CF，∴BC＝EF.
在△ABC 和△DEF 中，
∴△ABC ≌ △DEF.
证明：
小试牛刀
(2) 四边形AECD 是平行四边形．
证明：∵△ABC ≌ △DEF，
∴AC＝DF.
∵∠ACB＝∠F，∴AC∥DF.
∴四边形ACFD 是平行四边形．
∴AD∥CF，AD＝CF.
∵EC＝CF，∴AD＝EC.
又∵AD∥EC，
∴四边形AECD 是平行四边形．
解：
课堂小结
课堂小结
平行四边形的判定方法:
(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形．
(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
(5)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
同学们，
下节课见！
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18.1 平行四边形
第3课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
平行四边形的性质
平行四边形对边平行；
平行四边形对边相等；
平行四边形对角相等；
平行四边形对角线互相平分；
新课精讲
探索新知
1
知识点
由两组对边分别平行或相等判定平行四边形
一装潢店要招聘店员，老板出了这样一道考题：“一顾客要一张平行四边形的玻璃，你利用工具度量哪些数据可说明这张玻璃符合顾客要求.”
探索新知
从边看：
方法一：两组对边分别平行的四边形是
平行四边形；(定义法)
数学表达式：如图，∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD 是平行四边形；
方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
数学表达式：如图，∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD 是平行四边形；
探索新知
要证四边形BFDE 是平行四边形，根据平行四边形的定义可证得DF∥BE，因此可采用判定方法一即定义法证明DE∥FB 即可．
例1 如图所示，已知四边形ABCD 是平行四边形，DE
平分∠ADC，交CB 的延长线于点E，BF 平分
∠ABC，交AD 的延长线于点F.
求证：四边形BFDE 是平行四
边形．
导引：
探索新知
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴∠ADC＝∠ABC，AD∥CB. ∴DF∥BE.
∵DE 平分∠ADC，BF 平分∠ABC，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4.
∵AD∥BC，∴∠1＝∠E. ∴∠E＝∠3.
∴DE∥FB.
∴四边形BFDE 是平行四边形．(两组对边分别平行
的四边形是平行四边形)
证明：
探索新知
总 结
平行四边形的定义是判定平行四边形的根本方法，也是其他判定方法的基础．当题目中出现平行的线段时，往往借助判定方法一来帮助我们对四边形加以判断．
探索新知
例2 如图，分别以△ABC 的三边为一边，在BC 的同侧
作等边三角形ABD，等边三角形BCE，等边三角
形ACF，连接DE，EF.
求证：四边形ADEF 是平行四边形．
由等边三角形的性质可以得到线段相等，角相等，进而可以通过全等三角形证明四边形ADEF 的两组对边分别相等，最后根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行判定．
导引：
探索新知
∵△ABD、△BCE、△ACF 都为等边三角形，
∴DB＝AB＝AD，BE＝BC，AC＝AF，
∠DBA＝60°，∠EBC＝60°.
∴∠DBE＝60°－∠EBA，∠ABC＝60°－∠EBA，
∴∠DBE＝∠ABC，∴△DBE ≌ △ABC，
∴DE＝AC.
又∵AC＝AF，∴AF＝DE.
同理可证：△ABC ≌ △FEC，
∴AB＝FE，∴FE＝AD，
∴四边形ADEF 是平行四边形．
证明：
探索新知
总 结
根据等边三角形的性质可以得到线段相等，角相等，进而通过证明三角形全等得到四边形ADEF 的两组对边分别相等，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形得证．
典题精讲
如图，AB＝DC＝EF，AD＝BC，DE＝CF. 图中有哪些互相平行的线段？
1
AB∥CD，AD∥BC，
CD∥EF，DE∥CF，
AB∥EF.
解：
典题精讲
2 四边形的四条边长分别是a，b，c，d，其中a，b 为
一组对边长，c，d 为另一组对边长且a 2＋b 2＋c 2＋d 2
＝2ab＋2cd，则这个四边形是( )
A．任意四边形
B．平行四边形
C．对角线相等的四边形
D．对角线垂直的四边形
B
探索新知
2
知识点
由两组对角分别相等判定平行四边形
几何语言：
∵∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD，
∴四边形ABCD 是平行四边形．(如图所示)
探索新知
例3 如图，在 ABCD 中，BE 平分∠ABC，交AD 于点E，DF
平分∠ADC，交BC 于点F，那么四边形BFDE 是平行四边
形吗？为什么？
利用平行四边形对角相等
的性质可得∠ABC＝
∠ADC，∠A＝∠C，然后
再依据角平分线的定
义和三角形外角的性质证出四边形BFDE 的两组对角分别相等，于是可得出结论．
导引：
探索新知
四边形BFDE 是平行四边形．
理由：在 ABCD 中，∠ABC＝∠ADC，∠A＝∠C.
∵BE平分∠ABC，DF 平分∠ADC，
∴∠ABE＝∠CBE＝ ∠ABC，
∠CDF＝∠ADF＝ ∠ADC，
∴∠CDF＝∠ADF＝∠ABE＝∠CBE.
∵∠DFB＝∠C＋∠CDF，∠BED＝∠ABE＋∠A，
∴∠DFB＝∠BED，∴四边形BFDE 是平行四边形．
解：
探索新知
总 结
当已知条件出现所要说明的四边形的角时，可选择“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”来判定．
典题精讲
下列条件不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是( )
A．∠A＝∠C，∠B＝∠D
B．∠A＝∠B＝∠C＝90°
C．∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°
D．∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°
1
D
典题精讲
2 下列给出的条件中，能判定四边形ABCD 是平行四边形的是( )
A．AB∥CD，AD＝BC
B．AB＝AD，CB＝CD
C．AB＝CD，AD＝BC
D．∠B＝∠C，∠A＝∠D
C
探索新知
3
知识点
由对角线互相平分判定平行四边形
过前面的学习，我们知道，平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分.反过来，对边相等，或对角相等，或对角线互相平分的四边形是平行四边形吗？也就是说，平行四边形的性质定理的逆命题成立吗？
下面我们以“对角线互相平分的四边形是平行四边形”为例，通过三角形全等进行证明.
思考
探索新知
如图，在四边形ABCD 中，AC，BD 相交于点O，且OA=OC，OB=OD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
∵OA=OC，OD=OB,
∠AOD=∠COB，
∴△ AOD ≌ △COB.
∴∠OAD=∠OCB.
∴AD//BC.
同理 AB//DC.
∴四边形ABCD 是平行四边形.
证明：
探索新知
从对角线看：
对角线互相平分的四边形是平行四边形．
数学表达式：如图，∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD 是平行四边形．
探索新知
∵ 四边形ABCD 是平行四边形，
∴ AO=CO，BO=DO.
∵ AE=CF，
∴AO-AE=CO-CF，即EO=FO.
又 BO=DO，
∴四边形BFDE 是平行四边形.
例4 如图， ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，
E，F 是AC上的两点，并且AE=CF.
求证：四边形BFDE 是平行四边形.
证明：
探索新知
总 结
从对角线方面判断四边形的形状要注意是对角线互相平分，即交点既是第一条对角线的中点，又是第二条对角线的中点.
典题精讲
如图， ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，E，F 分别是OA，OC 的中点. 求证BE＝DF.
1
因为四边形ABCD 是平行四边形，
所以BO＝DO，OA＝OC.
因为E，F 分别是OA，OC 的中点，
所以OE＝ OA＝ OC＝OF.
又因为∠BOE＝∠DOF，
所以△BOE ≌ △DOF，所以BE＝DF.
解：
典题精讲
如图，四边形ABCD 的对角线相交于点O，AO＝CO，请添加一个条件__________(只添一个即可)，使四边形ABCD 是平行四边形．
2
BO＝DO
探索新知
4
知识点
由一组对边平行且相等判定平行四边形
我们知道，如果一个四边形是平行四边形，那么它的任意一组对边平行且相等.反过来，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？我们猜想这个结论正确，下面进行证明.
思考
探索新知
如图，在四边形ABCD 中， AB//CD，且AB=CD.
求证：四边形ABCD 是平行四边形.
连接AC，
∵AB//CD，
∴∠1=∠2.
又AB=CD，AC=CA.
∴△ ABC ≌ △CDA.
∴BC=DA.
∴四边形ABCD 两组对边分别相等，它是平行四边形.
证明：
探索新知
归 纳
于是我们又得到平行四边形的一个判断定理：
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
数学表达式：如图，∵AB CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∥
＝
探索新知
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴ AB=CD，EB//FD.
又EB= AB，FD = CD，
∴ EB=FD.
∴四边形EBFD 是平行四边形.
例5 如图，在 ABCD 中，E，F 分别是AB，CD 的中点.
求证：四边形EBFD 是平行四边形.
证明：
探索新知
总 结
要证四边形是平行四边形，已知有一组对边平行，联想的思路有两种：
一是证明另一组对边平行；
二是证明平行的这组对边相等．
而证明边相等要三角形全等这条思路较常见．
典题精讲
为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相等就可以了. 你能说出其中的道理吗？
1
因为一组对边平行
且相等的四边形是
平行四边形，所以
铁轨和夹在铁轨之间的枕木构成了平行四边形，因此可知两条直铺的铁轨是互相平行的．
解：
典题精讲
如图，在 ABCD 中，BD 是它的一条对角线，过A，C 两点分别作AE丄BD， CF丄BD，E，F 为垂足. 求证：四边形AFGE 是平行四边形.
2
典题精讲
因为四边形ABCD 是平行四边形，
所以AB∥CD，AB＝CD，所以∠CDB＝∠ABD.
又因为AE⊥BD，CF⊥BD，
所以∠AEB＝∠CFD＝90°，所以AE∥CF.
在△ABE 和△CDF 中，
AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，∠AEB＝∠CFD，
所以△ABE ≌ △CDF，所以AE＝CF.
又因为AE∥CF，所以四边形AFCE 是平行四边形．
解：
典题精讲
3 下列说法错误的是( )
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
D
4
下列条件不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是( )
A．AB∥CD，AD∥BC
B．∠A＝∠C，∠B＝∠D
C．AB＝CD，AD＝BC
D．AB∥CD，AD＝BC
D
易错提醒
已知：如图，在 ABCD 中，对角线AC，BD 相交于O，E，F 是对角线上的两点，给出下列四个条
件：①OE＝OF；②DE＝BF；③∠ADE＝
∠CBF；④∠ABE＝∠CDF.
其中不能判定四边形DEBF 是平行四边形的有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
B
易错点：混淆平行四边形的判定方法导致判断错误.
易错提醒
给出条件①OE＝OF，由题易知OD＝OB，∴四边形DEBF 为平行四边形，故①正确；给出条件③∠ADE＝∠CBF，由题易知∠DAE＝∠BCF，AD＝BC，∴△ADE ≌ △CBF，∴DE＝BF，∠DEA＝∠BFC，∴∠DEO＝∠BFO，∴DE∥BF，∴四边形DEBF为平行四边形，故③正确；给出条件④，理由同③，亦可判定四边形DEBF 为平行四边形；只有给出条件②无法判定四边形DEBF 为平行四边形．故选B. 本题易错选A.
学以致用
小试牛刀
小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，她带了两块碎玻璃，其编号应该是( )
A．①②
B．①④
C．③④
D．②③
1
D
小试牛刀
如图，线段AB，CD 相交于点O，且图上各点把线段AB，CD四等分，这些点可以构成________个平行四边形．
2
4
小试牛刀
3
如图，在四边形ABCD 中，AB∥CD，要使四边形ABCD 是平行四边形，可添加的条件不正确的是( )
A．AB＝CD
B．BC＝AD
C．∠A＝∠C
D．BC∥AD
B
小试牛刀
4
如图，在 ABCD 中，点E，F 分别在AD，BC上，若要使四边形AFCE 是平行四边形，可以添加的条件是( )
①AF＝CF；②AE＝CE；③BF＝DE；④AF∥CE.
A．①或②
B．②或③
C．③或④
D．①或③
C
小试牛刀
如图，点B，E 分别在AC，DF 上，AF 分别交BD，CE
于点M，N，∠A＝∠F，∠1＝∠2.
(1)求证：四边形BCED 是平行四边形；
(2)已知DE＝2，连接BN，若BN 平分∠DBC，求CN 的长．
小试牛刀
(1)证明：∵∠A＝∠F，∴DF∥AC.
又∵∠1＝∠2，∠1＝∠DMF，
∴∠2＝∠DMF. ∴DB∥EC.
∴四边形BCED是平行四边形．
(2)解：∵BN 平分∠DBC，
∴∠DBN＝∠NBC.
∵DB∥EC，∴∠BNC＝∠DBN.
∴∠BNC＝∠NBC. ∴BC＝CN.
∵四边形BCED 是平行四边形，
∴BC＝DE＝2. ∴CN＝2.
小试牛刀
如图，在 ABCD 中，点E，F 在对角线AC上，
且AE＝CF. 求证：
(1)DE＝BF；
(2)四边形DEBF 是平行四边形．
小试牛刀
(1)∵四边形ABCD 是平行四边形．
∴AD∥CB，AD＝CB. ∴∠DAE＝∠BCF.
在△ADE 和△CBF 中，
∴△ADE ≌ △CBF. ∴DE＝BF.
(2)如图，连接BD，交AC 于点O，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵AE＝CF，∴OE＝OF.
∴四边形DEBF 是平行四边形．
证明：
小试牛刀
如图，以BC 为底边的等腰△ABC，点D，E，G 分别在BC，
AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE 至点F，使得BF＝BE.
(1)求证：四边形BDEF 为平行四边形；
(2)当∠C＝45°，BD＝2时，求D，F 两点间的距离．
小试牛刀
(1) ∵△ABC 是等腰三角形，
∴∠ABC＝∠C.
∵EG∥BC，DE∥AC，
∴∠AEG＝∠ABC＝∠C，
四边形CDEG 是平行四边形．
∴∠DEG＝∠C.
∵BE＝BF，
∴∠BEF＝∠F＝∠AEG＝∠ABC.
∴∠F＝∠DEG. ∴BF∥DE.
∴四边形BDEF 为平行四边形．
证明：
小试牛刀
(2)∵∠C＝45°，
∴∠BDE＝∠ABC＝∠BEF＝∠BFE＝45°.
∴△BDE、△BEF 是等腰直角三角形．
∵BD＝2，∴BF＝BE＝ .
作FM⊥BD 交DB 的延长线于M，连接DF，
如图所示．
易得△BFM 是等腰直角三角形，
∴FM＝BM＝1.∴DM＝3.
在Rt△DFM 中，
由勾股定理得DF＝ ，
即D，F 两点间的距离为 .
解：
小试牛刀
如图，已知点E，C 在线段BF 上，BE＝EC＝CF，
AB∥DE，∠ACB＝∠F.
(1)求证：△ABC ≌ △DEF；
(2)试判断四边形AECD 的形状，并证明你的结论．
小试牛刀
(1) ∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF.
∵BE＝EC＝CF，∴BC＝EF.
在△ABC 和△DEF 中，
∴△ABC ≌ △DEF.
证明：
小试牛刀
(2) 四边形AECD 是平行四边形．
证明：∵△ABC ≌ △DEF，
∴AC＝DF.
∵∠ACB＝∠F，∴AC∥DF.
∴四边形ACFD 是平行四边形．
∴AD∥CF，AD＝CF.
∵EC＝CF，∴AD＝EC.
又∵AD∥EC，
∴四边形AECD 是平行四边形．
解：
课堂小结
课堂小结
平行四边形的判定方法:
(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形．
(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
(5)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
同学们，
下节课见！
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