【班海精品】人教版（新）八下-18.2 特殊的平行四边形 第四课时【优质课件】

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18.2 特殊的平行四边形
第4课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
菱形的性质：
A
B
C
D
O
(1)菱形具有平行四边形的一切性质；
(2)菱形的四条边都相等；
(3)菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
新课精讲
探索新知
1
知识点
由对角线的位置关系判定菱形
同学们想一想，我们在学习平行四边形的判定和矩形的判定时，我们首先想到的第一种方法是什么？那么类比着它们，菱形的第一种判定方法是什么？
根据定义得：一组邻边相等的平行四边形是菱形.
探索新知
平行四边形
菱形
一组邻边相等
还有其它的方法吗？
探索新知
用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可以转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形. 转动木条，这个四边形什么时候变成菱形
猜想一：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
探索新知
证明：
判定一：对角线互相垂直的平行四形是菱形.
D
C
B
A
已知：在 ABCD 中有对角线AC⊥BD，
且相交于点O
求证： ABCD 是菱形
∵四边形ABCD 是平行四边形. ∴BO=DO
又∵AO=AO，∠AOD=∠AOB
∴△AOD ≌ △AOB. ∴AD=AB
∴ ABCD 是菱形
O
探索新知
归 纳
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
提示：此方法包括两个条件 ——
(1)是一个平行四边形；
(2)两条对角线互相垂直.对角线互相垂直且平分的四边形是菱形.
探索新知
例1 如图，□ ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，且
AB=5，AO=4，BO=3.求证： □ ABCD 是菱形.
∵AB =5，AO =4，BO =3，
∴AB 2=AO 2+BO 2.
∴△OAB 是直角三角形，
AC⊥BD.
∴□ABCD 是菱形.
证明：
探索新知
总 结
证明一个四边形是菱形的方法：
若已知要证的四边形的对角线互相垂直，则要考虑证明这个四边形是平行四边形．
典题精讲
1
如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的四边形ABCD 是一个菱形吗？为什么？
四边形ABCD 是一个菱形．
理由：由题意易得
AB＝BC＝CD＝AD，
所以四边形ABCD 是菱形．
解：
典题精讲
2
如图，四边形 ABCD 是轴对称图形，且直线 AC 是对称轴，BD与AC 交于点O，AB∥CD，则下列结论：
①AC⊥BD；②AD∥ BC；
③四边形 ABCD 是菱形；
④△ABD ≌ △CDB.
其中正确的是____________(只填写序号).
①②③④
探索新知
2
知识点
由边的数量关系判定菱形
我们知道，菱形的四条边相等. 反过来，四条边
相等的四边形是菱形吗
思考
探索新知
例2 如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，AB＝CD，
点E，F，G，H 分别是AD，BD，BC，AC 的中
点．试说明：四边形EFGH 是菱形．
由于点E，F，G，H 分别是AD，BD，
BC，AC 的中点，可知EH，HG，GF，FE
分别是△ACD，△ABC，△BCD，△ABD 的中
位线，又∵AB＝CD，∴EH＝HG＝GF＝FE，
根据“四条边相等的四边形是菱形”可得四边形
EFGH 是菱形．
导引：
探索新知
∵点E，H 分别为AD，AC 的中点，
∴EH 为△ACD 的中位线，∴EH＝ CD.
同理可证：EF＝ AB，FG＝ CD，HG＝ AB.
∵AB＝CD，
∴EH＝EF＝FG＝HG，
∴四边形EFGH 是菱形．
解：
探索新知
总 结
有较多线段相等的条件时，我们可考虑通过证明四条边相等来证明这个四边形是菱形．注意：本例也可以通过先证四边形EFGH 是平行四边形，再证一组邻边相等，只不过步骤复杂一点，读者不妨试一试．
探索新知
要证明一个四边形是菱形，
一般先证明它是平行四边
形，再证明它的一组邻边
相等或对角线互相垂直．
例3 如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AD 平分∠BAC 交BC
于点D，CH⊥AB 于点H，交AD 于点F，DE⊥AB 于点E，
那么四边形CDEF 是菱形吗？说说你的理由．
导引：
探索新知
四边形CDEF 是菱形．理由如下：
∵CH⊥AB，DE⊥AB，∴CF∥DE，∠4＋∠5＝90°.
∵∠ACB＝90°，∴∠2＋∠3＝90°，DC⊥AC.
又∵AD 平分∠BAC，DE⊥AB，
∴∠3＝∠4，DC＝DE，∴∠2＝∠5.
又∵∠1＝∠5，∴∠1＝∠2.
∴CF＝CD，∴CF＝DE，即CF DE.
∴四边形CDEF 是平行四边形．
又∵DC＝DE，∴四边形CDEF 是菱形．
∥
＝
解：
探索新知
总 结
判定菱形的方法：
①若用对角线进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明对角线互相垂直，或直接证明四边形的对角线互相垂直平分；
②若用边进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明一组邻边相等，或直接证明四边形的四条边都相等．
典题精讲
一个平行四边形的一条边长是9，两条对角线的长分别是12和 ，这是一个特殊的平行四边形吗？为什么？求出它的面积.
1
这是一个特殊的平行四边形，是菱形．
如图，在平行四边形ABCD中，
AB＝9，BD＝12，AC＝
所以OB＝OD＝6，
OA＝OC＝
解：
典题精讲
因为62＋( )2＝92，即OB 2＋OA 2＝AB 2，
所以△AOB 是直角三角形，
所以AO⊥BO，即AC⊥BD，
所以平行四边形ABCD 是菱形．
S菱形ABCD＝ AC·BD＝ ×6 ×12＝36 .
典题精讲
2
如图，四边形ABCD 的对角线AC，BD 互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD 为菱形的是(　　)
A．BA＝BC
B．AC，BD互相平分
C．AC＝BD
D．AB∥CD
B
典题精讲
3
如图，在 ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，添加下列条件不能判定 ABCD 是菱形的只有(　　)
A．AC⊥BD
B．AB＝BC
C．AC＝BD
D．∠1＝∠2
C
典题精讲
4
如图，将 ABCD 沿AE 翻折，使点B 恰好落在AD上的点F 处，则下列结论不一定成立的是(　　)
A．AF＝EF
B．AB＝EF
C．AE＝AF
D．AF＝BE
C
典题精讲
5
如图，在△ABC 中，点D 是边BC 上的点(与B，C 两点不重合)，过点D 作DE∥AC，DF∥AB，
分别交AB，AC 于E，F 两点，下列说
法正确的是(　　)
A．若AD⊥BC，则四边形AEDF 是矩形
B．若AD 垂直平分BC，则四边形AEDF 是矩形
C．若BD＝CD，则四边形AEDF 是菱形
D．若AD 平分∠BAC，则四边形AEDF 是菱形
D
典题精讲
6
如图，四边形ABCD 的四边相等，且面积为120 cm2，对角线AC ＝24 cm，则四边形ABCD 的周长为 (　　)
A．52 cm　
B．40 cm
C．39 cm
D．26 cm
A
易错提醒
下列命题：
①四边都相等的四边形是菱形；
②两组邻边分别相等的四边形是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
④对角线相等的四边形是菱形；
⑤一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．
其中正确的是__________(填序号)．
①③⑤
易错提醒
易错点：臆造菱形的判定方法导致出错.
①②③⑤
错解：
②是最容易出错的，两组邻边分别相等的四边形不一定是菱形，如图，AB＝AD，BC＝CD，但四边形ABCD 不是菱形．判定菱形时，要区分是在四边形还是平行四边形的基础上进行判定的，要注意两者的区别与联系．
诊断：
学以致用
小试牛刀
1
如图，在△ABC 中，AD 是角平分线，DE ∥AC 交AB 于点E，DF ∥AB交AC 于点F. 如果AE＝4 cm，那么四边形AEDF 的周长为(　　)
A．12 cm
B．16 cm
C．20 cm
D．22 cm
B
小试牛刀
2
如图，分别以Rt△ABC 的斜边AB 和直角边AC 为边向△ABC 外作等边三角形ABD 和等边三角形ACE，F 为AB 的中点，DE 与AB 交于点G，EF 与AC 交于点H，∠BAC＝30°.给出以下结论：
①EF⊥AC；　　　
②四边形ADFE 为菱形；
③AD＝4AG； ④FH＝ BD.
其中正确的结论是(　　)
A．①②③　 B．①②④　 C．①③④　 D．②③④
C
小试牛刀
3
如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E 是边CD 上一点，且BC＝EC，CF⊥BE 交AB 于点F，P 是EB 延长线上一点，下列结论：①BE 平分∠CBF；②CF 平分∠DCB；③BC＝FB；④PF＝PC，其中正确结论的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
D
小试牛刀
如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，点D，E 分别是边
BC，AB 上的中点，连接DE 并延长至点F，使EF＝2DE，
连接CE，AF.
(1)求证：AF＝CE；
(2)当∠B＝30°时，试判断四边形ACEF 的形状并说明理由．
小试牛刀
(1)证明：∵点D，E 分别是边BC，AB上的中点，
∴DE∥AC，且DE＝ AC.
∴AC＝2DE. ∵EF＝2DE，
∴EF＝AC，又∵EF∥AC，
∴四边形ACEF 是平行四边形． ∴AF＝CE.
(2)解：四边形ACEF 是菱形．理由如下：
∵在Rt△ABC 中，E 为AB 的中点，∴EC＝ AB.
∵∠B＝30°，∴AC＝ AB. ∴AC＝EC.
∵四边形ACEF 是平行四边形，
∴四边形ACEF 是菱形．
小试牛刀
如图，在矩形ABCD 中，∠ABD、∠CDB 的平分线
BE、DF 分别交边AD、BC 于点E、F.
(1)求证：四边形BEDF 是平行四边形；
(2)当∠ABE 为多少度时，四边形BEDF 是菱形？请说明理由．
小试牛刀
(1)∵四边形ABCD 是矩形，
∴AB∥DC、AD∥BC，
∴∠ABD＝∠CDB.
∵BE 平分∠ABD、DF 平分∠BDC，
∴∠EBD＝ ∠ABD，∠FDB＝ ∠BDC.
∴∠EBD＝∠FDB.
∴BE∥DF. 又∵AD∥BC，
∴四边形BEDF 是平行四边形．
证明：
小试牛刀
(2)当∠ABE＝30°时，四边形BEDF 是菱形．
理由：∵BE 平分∠ABD，
∴∠ABD＝2∠ABE＝60°，∠EBD＝∠ABE＝30°.
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠A＝90°.
∴∠EDB＝90°－∠ABD＝30°.
∴∠EDB＝∠EBD＝30°. ∴EB＝ED.
又∵四边形BEDF 是平行四边形，
∴四边形BEDF 是菱形．
解：
小试牛刀
如图，在平行四边形ABCD 中，边AB 的垂直平分线
交AD 于点E，交CB 的延长线于点F，连接AF，BE.
(1)求证：△AGE ≌ △BGF；
(2)试判断四边形AFBE 的形状，并说明理由．
小试牛刀
(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC. ∴∠AEG＝∠BFG.
∵EF 垂直平分AB， ∴AG＝BG.
在△AGE 和△BGF 中，
∴△AGE ≌ △BGF (AAS)．
(2)解：四边形AFBE 是菱形，理由如下：
∵△AGE ≌ △BGF，∴AE＝BF.
∵AD∥BC，∴四边形AFBE 是平行四边形．
又∵EF⊥AB，∴四边形AFBE 是菱形．
小试牛刀
如图①，将一张矩形纸片ABCD 沿着对角线BD 向上折
叠，顶点C 落到点E 处，BE 交AD 于点F.
(1)求证：△BDF 是等腰三角形；
(2)如图②，过点D 作DG∥BE，交BC 于点G，连接FG
交BD 于点O.
①判断四边形BFDG 的形状，并说明理由；
②若AB＝6，AD＝8，求FG 的长．
小试牛刀
(1)由折叠得，△BDC ≌ △BDE，
∴∠DBC＝∠DBE.
又∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD∥BC，∴∠DBC＝∠FDB，
∴∠DBE＝∠FDB，∴DF＝BF，
∴△BDF 是等腰三角形．
证明：
小试牛刀
(2)①四边形BFDG 是菱形．理由如下：
∵四边形ABCD 是矩形，
∴FD∥BG. ∵DG∥BE，
∴四边形BFDG 是平行四边形．
∵DF＝BF，
∴四边形BFDG 是菱形．
解：
小试牛刀
②∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A＝90°.
∴BD＝ ＝10.
∵四边形BFDG 是菱形，
∴GF⊥BD，FG＝2OF，OB＝ BD＝5.
设DF＝BF＝x，则AF＝AD－DF＝8－x，
在Rt△ABF 中，AB 2＋AF 2＝BF 2，即62＋(8－x )2＝x 2，
解得：x＝ . ∴FB＝ .
在Rt△FOB 中，FO＝ ，
∴FG＝2FO＝ .
课堂小结
课堂小结
一组邻边相等
对角线互相垂直
四条边相等
五种判定方法
四边形
平行四边形
菱形
菱形的判定方法：
同学们，
下节课见！
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