【班海精品】人教版（新）八下-19.2 一次函数 第八课时【优质课件】

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19.2 一次函数
第8课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
如图所示，是某次100米训练赛中飞人博尔特与队友所跑的路程s (米)和所用时间t (秒)的函数图象．观察图象，你能获取哪些信息
100
S/秒
t/秒
0
9.96
10.31
博尔特
队友
新课精讲
探索新知
1
知识点
一次函数与二元一次方程(组)的关系
二元一次方程与一次函数的联系
(1)任意一个二元一次方程都可化成 y＝kx＋b 的形式，
即令每个二元一次方程都对应一个一次函数，也
对应一条直线.
(2)直线 y＝kx＋b上每一点的坐标均为这个二元一次
方程的解.
探索新知
例1
如图所示的四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程x－2y＝2的解的是(　　)
导引：
对于二元一次方程x－2y＝2，当x＝0时，y＝－1；
当y＝0时，x＝2，故直线x－2y＝2与两坐标轴的交点是
(0，－1)，(2，0)，对照四个选项中的直线，可知选C.
C
探索新知
直线 y＝kx＋b与x 轴的交点的横坐标即是二元一次方程 y＝kx＋b 中，当y＝0时x 的值；
直线 y＝kx＋b与y 轴的交点的纵坐标即是二元一次方程 y＝kx＋b 中，当x＝0时y 的值．
解这类题，常运用数形结合思想．
总 结
探索新知
问题
1号探测气球从海拔5m处出发，以1m/min的速度上升.与此同时，
2号探测气球从海拔15 m处出发，以0.5 m/min的速度上升.两个
气球都上升了1 h.
(1)用式子分别表示两个气球所在位置的海拔 y (单位：m)关于上升
时间x (单位：min)的函数关系；
(2)在某时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了
多长时间？位于什么高度？
探索新知
(1)气球上升时间x 满足0≤x≤60.
对于1号气球，y 关于x 的函数解析式为y＝x＋5.
对于2号气球，y 关于x 的函数解析式为y＝0.5x＋15.
(2)在某时刻两个气球位于同一高度，就是说对于x 的某个值
(0≤x≤60)，函数y＝x＋5和y＝0.5x＋15有相同的值y.如能
求出这个x 和y，则问题得到解决.由此容易想到解二元一次方程组
这就是说，当上升20 min时，两个气球都位于海拔25 m的高度.
分析：
探索新知
我们也可以用一次函数的图
象解释上述问题 的解答.如图，在
同一直角坐标系中，画出一次函
数 y＝x＋5和 y＝0.5x＋15的图象.
这两条直线的交点坐标为(20, 25)，
这也说明当上升20 min时，两个
气球都位于海拔25 m的高度.
一般地，因为每个含有未知数x 和y 的二元一次方程，都可以改写为y＝kx＋b (k、b是常数，k≠0)的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线.这条直线上每个点的坐标(x，y )都是这个二元一次方程的解.
探索新知
由上可知，由含有未知数x 和y 的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看， 解这样的方程组，相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看，解这样的方程组，相当于确定两条相应直线交点的坐标.因此，我们可以用画一次函数图象的方法得到方程组的解.
探索新知
方程（组）与函数之间互相联系，从函数的角度可以把它们统一起来.解决问题时，应根据具体情况灵活地把它们结合起来考虑.
归 纳
二元一次方程组与一次函数的关系：
(1)二元一次方程组中的每个方程均可看作函数解析式.
(2)求二元一次方程组的解可看作求两个一次函数的交点坐标.
列表得：
过点(0，－2)和(1，1)画出直线l1，
再过点(0，2)和(1，1)画出直线l2，如图，
由图象知：两条直线交点的坐标为(1，1)，
∴方程组的解为：
探索新知
例2
利用图象法解二元一次方程组：
解：
x 0 1
y＝3x－2 －2 1
y＝2－x 2 1
探索新知
用图象法解二元一次方程组的基本方法：
(1)将方程组中的两个方程转化成一次函数y＝kx＋b 的形式；
(2)在同一直角坐标系中画出两函数的图象；
(3)利用图象的直观性确定交点坐标.
总 结
典题精讲
1
王杰同学在解决问题“已知A，B 两点的坐标为A (3，－2)，B (6，－5)，求直线AB 关于x 轴的对称直线A′B ′的解析式”时，解法如下：先是建立平面直角坐标系(如图)，
标出A，B 两点，并利用轴对称
性质求出A′，B ′的坐标分别为
A′(3，2)，B ′(6，5)；
典题精讲
然后设直线A′B ′的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，并将A′(3，2)，B ′(6，5)的坐标分别代入y＝kx＋b 中，得方程组 解得 最后求得直线A′B ′的解析式为y＝x－1.则在解题过程中他运用到的数学思想是(　　)
A．分类讨论与转化思想
B．分类讨论与方程思想
C．数形结合与整体思想
D．数形结合与方程思想
D
典题精讲
2
在同一平面直角坐标系内画出二元一次方程2x－y－2＝0和x－y＋3＝0所对应的一次函数的图象．利用图象求：
(1)方程2x－2＝x＋3的解；
(2)方程组 的解．
典题精讲
分析：
首先画出y＝2x－2，y＝x＋3的图象．
(1)求方程的解看两直线的交点的横坐标的值．
(2)求方程组的解看两直线的交点，x＝横坐标的值，y＝纵坐标的值．
解：
画出y＝2x－2和y＝x＋3的图象，如图所示．
(1)根据图象可知方程2x－2＝x＋3的解为x＝5.
(2)根据图象可知方程组
的解为
探索新知
2
知识点
两个一次函数(图象)的应用
例3 游泳池常需进行换水清洗，图中的折线表示的是游泳池换水
清洗过程“排水——清洗——灌水”中水量y (m3)与时间
t (min)之间的函数图象．
(1)根据图中提供的信息，求排水阶段和
清洗阶段游泳池中的水量y (m3)与时间
t (min)之间的函数关系式(不必写出t 的
取值范围)；
(2)问：排水、清洗各花多少时间？
探索新知
导引：(1)根据图象上点的坐标利用待定系数法求得排水阶段的函
数关系式，显然清洗阶段的函数关系式为y＝0；
(2)根据(1)中所求函数关系式，可得出函数图象与x 轴的交
点坐标，即可得出答案．
探索新知
解：(1)排水阶段：设 y 与t 之间的函数关系式为 y＝kt＋b，因为图象
经过点(0，1 500)，(25，1 000)，所以b＝1 500，25k＋b＝1 000，
解得k＝－20.故排水阶段 y与 t 之间的函数关系式为y＝－20t＋1 500；
清洗阶段 y 与 t 之间的函数关系式为y＝0.
(2)因为排水阶段 y 与 t 之间的函数关系式为y＝－20t＋1 500，所以
y＝0时，0＝－20t＋1 500，解得t＝75.故排水时间为75 min，清洗时
间为95－75＝20(min)．
探索新知
总 结
此题主要考查了用待定系数法求一次函数的关系式及函数图象与x 轴交点坐标的求法，根据图象得出正确的信息是解题关键．
典题精讲
1
甲、乙两车从A 城出发前往B 城，在整个行驶过程中，汽车离开A 城的距离y (km)与行驶时间t (h)的函数图象如图所示，下列说法正确的有(　　)
①甲车的速度为50 km/h；
②乙车用了3 h到达B 城；
③甲车出发4 h时，乙车追上甲车；
④乙车出发后经过1 h或3 h两车相
距50 km.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
D
典题精讲
2
某商场分两次购进A、B 两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况如下表所示：
购进数量(件) 购进所需
费用(元)
A B 第一次 30 40 3 800
第二次 40 30 3 200
典题精讲
解：
(1)设A 种商品每件的进价为x 元，B 种商品每件的进价
为y 元，
根据题意得：
解得：
答：A 种商品每件的进价为20元，B 种商品每件的进
价为80元．
(1)求A、B 两种商品每件的进价分别是多少元．
典题精讲
(2)商场决定A 种商品以每件30元出售，B 种商品以每件100元出
售．为满足市场需求，需购进A、B 两种商品共1 000件，且A
种商品的数量不少于B 种商品数量的4倍，请你求出获利最大的
进货方案，并确定最大利润．
解：
设购进B 种商品m 件，获得的利润为w 元，则购进A 种商品(1 000－m)件，
根据题意得：w＝(30－20)(1 000－m)＋(100－80)m＝10m＋10 000.
典题精讲
∵A 种商品的数量不少于B 种商品数量的4倍，
∴1 000－m≥4m，
解得：m≤200.
∵在w＝10m＋10 000中，k＝10＞0，
∴w 的值随m 的增大而增大，
∴当m＝200时，w 取最大值，
最大值为10×200＋10 000＝12 000.
答：当购进A 种商品800件，B 种商品200件时，销售利润最大，最大利润为12 000元．
学以致用
小试牛刀
1
已知二元一次方程组 的解为 则在同一平面直角坐标系中，直线 l1：y＝x＋5与直线 l2：y＝－ x－1的交点坐标为___________．
(－4，1)
2
若直线 y＝－x＋a 与直线 y＝x＋b 的交点坐标为(2，8)，则a－b 的值为(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
B
小试牛刀
3
在一次自行车越野赛中，出发m h后，小明骑行了25 km，小刚骑行了18 km，此后两人分别以a km/h，b km/h匀速骑行，他们骑行的时间t (单位：h)与骑行的路程s (单位：km)之间的函数关系如图，观察图象，下列说法：
①出发m h内小明的速度比小刚快；
②a＝26；
③小刚追上小明时离起点43 km；
④此次越野赛的全程为90 km，其中正确的说法有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C
小试牛刀
4 如图，直线 l1∶y＝x＋1与直线 l2∶y＝mx＋n 相交于点P (1，b)．
(1)求b 的值．
(2)不解关于x，y 的方程组 请你直接写出
它的解．
(3)直线 l3∶y＝nx＋m 是否也经
过点P？请说明理由．
小试牛刀
(1)把P (1，b)的坐标代入 y＝x＋1得b＝2.
(2)由(1)得P (1，2)，
所以方程组 的解为
(3)直线l3∶y＝nx＋m 经过点P. 理由如下：
因为直线y＝mx＋n 经过点P (1，2)，
所以m＋n＝2，
所以直线 y＝nx＋m 也经过P 点．
解：
小试牛刀
张老师计划到超市购买甲种文具100个，他到超市后发现还有
乙种文具可供选择，如果调整文具的购买品种，每减少购买1
个甲种文具，需增加购买2个乙种文具．设购买x 个甲种文具时，
需购买y 个乙种文具．
(1)①当减少购买1个甲种文具时，x＝_____，y＝_____；
②求y 与x 之间的函数表达式．
(2)已知甲种文具每个5元，乙种文具每个3元，张老师购买这两
种文具共用去540元，甲、乙两种文具各购买了多少个？
99
2
小试牛刀
②由题意得y＝2(100－x )＝－2x＋200，
∴y 与x 之间的函数表达式为y＝－2x＋200.
(2)由题意得
解得
答：甲、乙两种文具各购买了60个和80个．
解：
小试牛刀
江汉平原享有“中国小龙虾之乡”的美称，甲、乙两家农贸商
店，平时以同样的价格出售品质相同的小龙虾，“龙虾节”期
间，甲、乙两家商店都让利酬宾，付款金额y甲、y乙(单位：元)
与原价x (单位：元)之间的函数关系如图所示：
(1)直接写出y甲，y乙关于x的函数关系式；
(2)“龙虾节”期间，如何选择
甲、乙两家商店购买小龙
虾更省钱？
小试牛刀
(1)y甲＝0.8x；
y乙＝
(2)当0＜x＜2 000时，0.8x＜x，到甲商店购买更省钱；
当x≥2 000时，若到甲商店购买更省钱，
则0.8x＜0.7x＋600，解得x＜6 000；
若到乙商店购买更省钱，
则0.8x＞0.7x＋600，解得x＞6 000；
若到甲、乙两商店购买花钱一样，
解：
小试牛刀
则0.8x＝0.7x＋600，解得x＝6 000；
故当购买金额按原价小于6 000元时，
到甲商店购买更省钱；
当购买金额按原价大于6 000元时，
到乙商店购买更省钱；
当购买金额按原价等于6 000元时，
到甲、乙两商店购买花钱一样．
课堂小结
课堂小结
二元一次方程组无解 一次函数的图象平行(无交点)；
二元一次方程组有一组解 一次函数的图象相交(有
一个交点)；
二元一次方程组有无数个解 一次函数的图象重合
(有无数个交点).
同学们，
下节课见！
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