6.4.1平面几何中的向量方法 高一数学课件（共18张ppt）

(共18张PPT)
6.4.1 平面几何中的向量方法
第 6章平面向量及其应用
人教A版2019必修第二册
学习目标
1. 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题，达到直观想象核心素养水平一的要求.
2. 掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤，达到逻辑推理核心素养水平一的要求.
3.理解掌握向量的模，夹角等公式，并能够用其解决一些几何问题，达到逻辑推理和数学运算核心素养学业质量水平一的层次.
前面我们学面向量的概念和运算，并通过平面向量基本定理，把向量的运算化归为实数的运算.本节我们将学习运用向量方法解决平面几何、物理中的问题，感受向量在解决数学和实际问题中的作用.同时我们还将借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，把解直角三角形问题拓展到解任意三角形问题.
由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此平面几何中的许多问题都可用向量运算的方法加以解决.
学习了向量的线性运算和数量积运算，我们发现很多几何图形的性质可以由向量的线性运算和数量积运算表示出来，例如
因此，平面几何中许多问题就可以用向量的方法来解决.
平行：
垂直：
夹角：
长度：
有了运算， 向量的力量无限；没有运算，向量就只是一个路标.
例1 如图示，DE是 ABC的中位线，用向量方法证明：
下面通过两个具体实例，说明向量方法在平面几何中的应用.
平面几何经常涉及距离(线段长度)和角度问题，而平面向量的运算，特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角，因此我们可以用向量方法解决某些几何问题. 用向量方法解决几何问题时，通常先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素，然后通过向量的运算来研究点、线段等元素之间的关系，最后再把运算结果“翻译”成几何关系，便得到几何问题的结论.
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”:
(1) 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2) 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
(3) 把运算结果“翻译”成几何关系.
第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题:
例2 如图示，已知平行四边形ABCD，你能发现对角线AC和BD的长度与两条邻边AB和AD的长度之间的关系吗？
解：
第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系:
第三步，把运算结果“翻译”成几何关系:
课堂练习
如图示，已知△ABC 中，AB=AC，求证：∠B=∠C.
1. 证明: 等腰三角形的两个底角相等.
2. 如图示，正方形ABCD的边长为a，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M，求∠EMF的余弦值.
x
y
3. 如图示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N. 设AB=mAM，AC=nAN，求m+n的值.
随堂检测
【解析】∵(2a－3b)⊥c，∴2×(2k－3)－6＝0.∴k＝3，故选C.
【答案】C
3.在四边形ABCD中， 若 则四边形为（ ）
A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形
解析：有 得 所以四边形ABCD为平行四边形 ,又 知，对角线互相垂直，故四边形为菱形答案D
4.如图所示，在正方形中，点为的中点，分别是的中点.求证：.
证明：(法一)设，，则，.
又
所以
故，即.
4.如图所示，在正方形中，点为的中点，分别是的中点.求证：.
证明：(法二)如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则，，
因为
所以，即.
5.已知中，设，.
若为斜边的中点，求证：；
证明(1)：以为坐标原点，以边，所在的直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，如图所示，，.
∵为的中点，∴，
∴，，
∴，即.
(O)
课堂小结:
平面几何中的向量方法:
1. 证明线段相等,转化为证明向量的长度相等;求线段的长,转化为求向量的模.
2. 证明线段、直线平行,转化为证明向量平行.
3. 证明线段、直线垂直,转化为证明向量垂直.
4. 几何中与角相关的问题,转化为向量的夹角问题.
5. 对于有关长方形、正方形、直角三角形等平面几何问题,通常以相互垂直的两边所在直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系,通过向量的坐标运算解决平面几何问题.