2.1.2 圆的一般方程 课件（共19张PPT）

(共19张PPT)
2.1.2 圆的一般方程
2.圆的标准方程:
特点：
直接可以看出圆心坐标为
半径为
温故知新
1.圆的定义:
平面内到定点的距离等于定长
的点的轨迹叫做圆．
其中定点叫做圆心，定长叫做圆的半径．
思考:下列方程表示什么图形
以(1, -2)为圆心,2为半径的圆.
不表示任何图形.
以(1, 2)为圆心,2为半径的圆.
圆的标准方程
圆的一般方程：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
把圆的标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2
展开，得
-
2
2
2
2
2
2
0
2
=
-
+
+
-
+
r
b
a
by
ax
y
x
由于a, b, r均为常数
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式
动动手
问题：形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F ＝0的方程是否都表示圆呢？
圆的一般方程：
x2 ＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
(D2+E2-4F>0)
②没有xy这样的二次项．
(2)特点：
①x2与y2系数相同，并且不等于0；
数学应用
例1：判断下列方程是否表示圆？
以(0,-b)为圆心,以 为半径的圆
表示点（2，3）
不表示任何图形
已知圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为(-2,3),半径为4,则D,E,F分别等于
2. x2+y2-2ax-y+a=0 是圆的方程的充要条件是
练习
例2：求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.
几何方法
方法一：
y
x
M1(1,1)
M2(4,2)
0
圆的一般方程的应用：
因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上
（4-a）2+（2-b）2=r2


ì
í

（a）2+（b）2=r2
（1-a）2+（1-b）2=r2
解：设所求圆的标准方程为：
（x-a）2+（y-b）2=r2
待定系数法
方法二：
所求圆的方程为：
即（x-4）2+（y+3）2=25


ì
í

a=4
b=-3
r=5
解得
例2： 求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.
例2： 求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.
解：设所求圆的一般方程为：
因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上，则


ì
í

F=0
D+E+F+2=0
4D+2E+F+20=0
所求圆的方程为:
x2+y2-8x+6y=0
即（x-4）2+（y+3）2=25
待定系数法
方法三：


ì
í

F=0
D=-8
E=6
解得
练习：
把点A，B，C的坐标代入得方程组
所求圆的方程为：
待定系数法
列关于a，b，r（或D，E，F）的方程组
解出a，b，r（或D，E，F），代入标准方程（或一般方程）
总结求圆方程的方法：
数学应用
例3：已知隧道的截面是半径为4米的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7米，高为3米的货车能不能驶入这个隧道？
解：以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直
径AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系（如右图）
将x=2.7代入,得 ＜3
那么半圆的方程为
即在离中心线2.7米处，隧道的高度低于货车的高度.
因此，货车不能驶入这个隧道.
练习：
例4. 已知一曲线是与两定点O(0,0)、A(3,0)距离的比为1/2的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线.
拓展
y
x
.
O
.
.
（-1，0）
A(3,0)
M(x,y)
直译法
总结：求圆的方程常用方法及解题步骤：
几何方法
求圆心坐标 （两条直线的交点）（常用弦的中垂线）
求半径 （圆心到圆上一点的距离）
写出圆的标准方程
待定系数法
列关于a，b，r（或D，E，F）的方程组
解出a，b，r（或D，E，F），写出标准方程（或一般方程）
课堂总结，布置作业
1.作业设计：教材Ｐ61-62 ：习题2.11-15题
2.预习任务：自主学习Ｐ63-Ｐ65直线与圆的位置关系
谢谢光临，再见！