人教A版数学选修4-4 1.2 极坐标系 课件（20张PPT）

(共20张PPT)
第一讲 坐标系
二 极坐标系
在《数学的故事》中，1649年，斯德哥尔摩的街头，52岁的笛卡尔邂逅了18岁的瑞典公主克里斯汀，成为了她的数学老师，每天形影不离的相处使他们彼此产生爱慕之心，公主的父亲国王知道后勃然大怒，笛卡尔被流放法国。流放中的笛卡尔给克里斯汀寄出第十三封信后就气绝身亡了，这第十三封信内容只有短短的一个公式:r=a(1-sinθ)。公主看到后，立即明白了恋人的意图，她马上着手把方程的图形画出来，原来方程的图形是一颗心的形状。这也就是著名的“心形线”。当然也有人说过这个故事不是真实的，但无论故事的主人公遭遇的真假，心形线确实是存在的，同时笛卡尔也是人类数学史上一颗璀璨的星。在解析几何中我们建立一切方程的基础——坐标系，也正是笛卡尔的杰作。
数学也可以很浪漫
周末我们要去二中参加交流活动，步行路线如图所示，
问题1.如何描述我们的步行路线？
新课讲授
从一中向正北方向出发，沿江东南路走500m
左转进入一桥走300m
再左转进入南丰路走300m
A
B
问题2.二中相对于一中的位置又该如何描述？
二中在一中北偏南大约60o方向，距离 m处.
问题1中通过元素来描述二中在的位置？
在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。
新课讲授
起点、距离、方向
问题2中通过元素来描述二中在的位置？
起点、角度、距离
一、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O,叫做极点.
引一条射线Ox，叫做极轴.
再选定一个长度单位和角度单位及它的正方向（通常取逆时针方向）。
这样就建立了一个极坐标系。
x
O
新课讲授
二、极坐标系内一点的极坐标的规定
x
O
M


对于平面上任意一点M,用 表示线段OM的长度,用 表示从Ox到OM 的角度, 叫做M的极径, 叫做点M的极角，有序数对（ , ）就叫做M的极坐标.
新课讲授
特别规定：当M在极点时，它的极坐标
= 0， 可以取任意值.
则 ，
例1：说出下图中各点的极坐标
典例解析
点的极坐标的表达式的研究
x
O
M


如图：OM 的长度为4， ，则点M
请说出点M的极坐标的其他表达式.
1.这些极坐标之间有何异同？
2.这些极角有何关系？
这些极角的始边相同，终边也相同，也就是说它们是终边相同的角.
点M的极坐标统一表达式：
极径相同，不同的是极角.
概念辨析
一.在直角坐标系下：
(1)给定( , ),就可以在极坐标平面内确定唯一的一点M.
(2)给定平面上一点M,但却有无数个极坐标与之对应.
极坐标与直角坐标在刻画点的位置时的区别
点A 坐标A（x,y）
一一对应
二.极坐标系下：
注：限定条件ρ＞0,0≤θ＜2π，则平面内的点和极坐标一一对应
能力提升
x
O
能力提升
x
C
O
B
A
解：(1)依题意知O、A、B三点共线，
故|AB|=|OB|－|OA|=2
(2)∵点C与点A关于极轴对称，
又∵点D与点B关于极点对称，
D
(3)
O
A
B
C
D
E
x
能力提升
在直角坐标系中, 以原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相同的长度单位
O
x
y
θ
则怎么求点M的极坐标(ρ,θ)？
新课讲授
点M的直角坐标为
若已知极坐标怎么求直角坐标呢？
极坐标与直角坐标的互化关系式:
新课讲授
例2 将点M的极坐标 化成直角坐标.

典例解析

例3 将点M的直角坐标 化成极坐标.
随堂练习
1.将下列点的直角坐标化为极坐标.
2.将下列点的极坐标化为直角坐标.
例4
典例解析
3.一点的极坐标有否统一的表达式？
1.建立一个极坐标系需要哪些要素？
极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向。
2.极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？
无数，极角有无数个。
有。（ρ，2kπ+θ）
4.极坐标与直角坐标的互化关系式:
设点M的直角坐标是 (x, y)，极坐标是 (ρ,θ)
x=ρcosθ, y=ρsinθ
互化公式的三个前提条件：
1. 极点与直角坐标系的原点重合;
2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;
3. 两种坐标系的单位长度相同.