《名题学典·数学》人教版八年级系列第十六章
第5课时 16.3二次根式的加减（1）
1.求出下列式子的最简二次根式，并指出哪些最简二次根式的被开方数相同.
，，，，，，，.
2.二次根式的加法认识：
两个二次根式的加法：
+
= （化成最简二次根式）
= （分配律）
= .（得出结果）
3.二次根式的减法认识：
两个二次根式的减法：
= （化成最简二次根式）
= （分配律）
= .（得出结果）
4.二次根式的加减法则：
一般地，二次根式的加减时，可以先将二次根式化成 ，再将
的二次根式进行 .
5.【知识拓展】同类二次根式的认识：化成最简的二次根式后的被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式.一个二次根式不能叫同类二次根式，至少两个.
【例1】：二次根式的加减混合运算
；
.
分析：对于（1）题有加减运算的，应先化成最简二次根式，再找同类二次根式进行运算；对于（2）题，在有括号的情况下，也应先化成最简二次根式，然后再进行括号内运算，再去括号，最后找同类二次根式进行运算.
解：（1）
=
=
=；
（2）
=
=
=
=.
练习1
计算：（1）；
.
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【例2】：含有字母的运算
化简：（1）；
（2）.
分析：在计算含有字母的二次根式的加减时，化成最简二次根式后的被开方的字母或式子相同，即可全并.
解：（1）
=
=
=.
=
=
=.
练习2
化简：（1）；
（2）
.
【例3】：二次根式加减的应用
一个三角形的三边长分别为、、，
（1）求它的周长（要求结果化简）；
（2）请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．
分析：（1）题的结果应为最简二次根式；（2）题取的x值满足以下条件：大于零；能使（1）题的结果为整数.
解：（1）++
==；
可取x=20，则周长为25.
练习3
如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为，求图中的阴影部分的面积．
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【例4】若a,b为有理数，且
=，求的值.
分析：根据题中的等式求出a,b，先化简等式的左边，即可求出a和b.
解：
=
==，
∴，，∴=1.
练习4
已知，求代数式的值．
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（泰州市中考题）下列计算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
2.（荆州市中考题）计算
的结果是（ ）
A. B.
C. D.
3.（南京市中考题）计算：的结果是 .
4.（四川省中考题）已知xy=3，那么的值是 .
5.（杭州市中考题）先化简
，再求得它的近似值为
.（精确到0.01，≈1.414，
≈1.732）．
6.（沈阳市中考题）
计算：.
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用时 分数
一、选择题（每题4分，共32分）
1．计算的结果是（ ）
A. B.
C. D.
2．如果最简根式与是同类二次根式，那么使有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≤10 B． x≥10
C．x＜10 D． x＞10
3．已知，则x的值为（ ）
A．±1 B． 1
C． D．
4．估计代数式的运算结果应在（ ）
A．1到2之间 B． 2到3之间
C．3到4之间 D． 4到5之间
5．计算|1﹣|+|﹣|+|﹣2|+|2﹣|+…+|﹣10|结果为（ ）
A． 10 B．9 C．8 D．7
6．已知x为实数，化简的结果为（ ）
A. B.
C. D.
7．若三角形的三边分别是a，b，c，且
=0，则这个三角形的周长是（ ）
A. B.
C. D.
8．已知a+b=﹣8，ab=8，则式子的值为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（共18分）
9．计算（a≥0）的结果是 ．
一个三角形的三边长分别是
cm，cm，cm，则它的周长为
cm．
11．当x= 时，最简二次根式
与作加减法运算时能合并．
12．当x=时，代数式x2﹣2x+2的值为 ．
13．若a，b为有理数，且
，那么a+b的值为 ．
14.已知m，n分别表示的整数部分和小数部分，则m﹣n等于 .
解答题（每题10分，共40分）
15．计算：
（1）；
（2）.
16．先化简，再求值：
，其中．
17．（1）解方程：．
（2）解不等式：.
18．一个三角形的三边长分别为、、．
（1）求它的周长（要求结果化简）；
（2）请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值
参考答案
基础为本、掌握新知
=，，，，，=，=，=；与，与，与，与.
最简二次根式 被开方数相同
练习4 由可得，∴，∴，∴=
.
全真考题、能力拓展
C 【解析】A.；B.不能合并；D.不能合并.
B 【解析】==.
【解析】==.
B 【解析】|1﹣|+|﹣|+|﹣2|+|2﹣|+…+|﹣10|=1+
+…=9.
6.C 【解析】===
.
D 【解析】=0，∴a=，b=，c=4，∴a+b+c=+3.
8.A 【解析】∵a+b=﹣8，ab=8，∴，∴=
==.
三、15.（1）==
==
=.
原式==，当时，原式==3.
（1），，∴，∴.
，，，.
18.（1）++=；（3）取,则其周长为.
《名题学典·数学》人教版八年级系列第十六章
第6课时 16.3二次根式的加减（2）
1.混合运算（一）：分配律的运用
= （乘法分配律）
= （做乘法）
= （化成最简二次根式，若有同类二次根式，则做加减法）
混合运算（二）：除法
= （去括号）
= （做除法）
= （化成最简二次根式，若有同类二次根式，则做加减法）
2.混合运算（三）：运用多项式乘法法则
= （多项式乘法法则）
= （做乘法）
= （化成最简二次根式）
= （做加减）
混合运算（四）：运用公式法计算
①
= （运用公式，去括号）
= （算平方）
= （做减法）
②
= （运用公式，去括号）
= （计算，化简）
3.【知识拓展】分母有理化：又称“有理化分母”，指的是在二次根式中分母原为无理数，而将该分母化为有理数的过程，也就是将分母中的根号化去.
如：将分母有理化：
=
=.
其中每二步分母和分子同乘（），其称为有理化因式.
也称为分母有理化.
【例1】：混合运算
；
；
.
分析：（1）（2）可利用乘法的分配律直接计算；（3）题可运用公式=
，更简便.
解：（1）
=
=
=
（2）
=
=
=
=
练习1
（1）；
（2）
.
【例2】：分母有理化
； （2）；
（3）；（4）.
分析：（1）题可用平方差公式，分母分子同乘，这是常用方法；（2）题考虑到可能为零，应将分子因式分解成，再化简；（3）题可提取分母的公因式，若用平方差公式化简，计算会变的复杂；（4）题可将分子配成完全平方公式，再化简.
解：（1）==3-
2；
（2）
=
=；
（3）==
=；
（4）=
==.
练习2
；
；（3）.
【例3】：化简求值
先化简再求值：，其中x=-2．
分析：对式子进行化简，在去根号时，要注意x=-2.
解：原式=
==，
当x=-2时，原式=.
练习3
先化简，再求值：，其中
,.
【例4】：综合运用
如果一个三角形的三边的长分别为a、b、c，那么可以根据秦九韶-海伦公式S=（其中p=）或其它方法求出这个三角形的面积．试求出三边长分别为，3，的三角形的面积．
分析：直接根据公式把三边长分别为，3，分别代入秦九韶-海伦公式即可求解．
解：∵三边长分别为，3，，
∴p==（+3+2）=，
∴S2=×××=9， ∴S=3．
练习4
已知的整数部分为a，小数部分为b，求a2+b2的值．
1.（临沂市中考题）计算
的结果是（ ）
A．6 B．4
C．2+6 D．12
2.（梧州市中考题）计算：
= ．
3．（凉山州中考题）已知a、b为有理数，m、n分别表示的整数部分和小数部分，且amn+bn2=1，则2a+b= ．
4．（达州市中考题）计算（5+3）（5﹣2）= ．
5.（内江市中考题）若m=，则m5﹣2m4﹣2011m3的值是 ．
6.（南昌市中考题）先化简，再求值：，其中a=．
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用时 分数
一、选择题（每题4分，共32分）
1．下列运算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
2．设a＞0，b＞0，则下列运算错误的是（ ）
A.
B.
C.
D.
3．估计的运算结果应在（ ）
A． 5到6之间 B． 6到7之间 C． 7到8之间 D． 8到9之间
4．若x﹣y=，xy=，则代数式（x﹣1）（y+1）的值等于（ ）
A. B.
C. D.
5．已知，，则的值为（ ）
A．5 B．6
C．3 D．4
6．△ABC的两边的长分别为，，则第三边的长度不可能为（ ）
A. B.
C. D.
7．若等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的周长为（ ）
A. B.或
C. D.
8．下列计算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（每题3分，共18分）
9．化简：
= ．
计算：
= ．
设，
，，…，
．设…
，则S= （用含n的代数式表示，其中n为正整数）．
12．对于任意不相等的两个实数a、b，定义运算※如下：a※b=，如3※2=
．那么（10※6）※7= ．
13．在平面直角坐标系中，点A
，作AB⊥x轴于点B，则△AOB的面积为 ．
14．不等式的解集为
．
三、解答题（每题10分，共40分）
15.计算：
（1）；
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（2）.
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16.已知：x=+1，y=﹣1，求下列各式的值．
（1）x2+2xy+y2；
（2）x2﹣y2．
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17.（1）如图，面积为48cm2的正方形，四个角是面积为3cm2的小正方形，现将四个角剪掉，制作一个无盖的长方体盒子，求这个长方体盒子的体积．
（2）如图，在矩形ABCD中放两张面积分别为4和2的两张正方形纸片，问矩形ABCD至少有多大面积没有被盖住？
18.我们知道，若两个有理数的积是1，则称这两个有理数互为倒数．同样的当两个实数与的积是1时，我们仍然称这两个实数互为倒数．
（1）判断与是否互为倒数，并说明理由；
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（2）若实数是的倒数，求x和y之间的关系．
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参考答案
基础为本、掌握新知
1. ；
练习2 （1）===
= （3）=.
练习3 原式==，
当,时，原式==.
【解析】，∴，∴,,∴,
，∵amn+bn2=1，∴
，∵a、b为有理数，∴，解得，∴2a+b=.
【解析】（5+3）（5﹣2）==.
6.A 【解析】设第三边的长度为，则+，∴.
7.B 【解析】当腰为时，，所以此时能组成三角形，其周长为
=；当腰为时，也能组成三角形，其周长为=
=.
8.D 【解析】A.；B.；
C..
二、9. 【解析】=.
【解析】，，，.
三、15.（1）=；
=
.
（1）x2+2xy+y2==（+1+﹣1）2==12；（2）x2﹣y2=
.
17.（1）∵大正方形面积为48cm2，∴边长为4cm，∵小正方形面积为3cm2，∴边长为cm，∴长方体盒子的体积=（4﹣2）2?=12cm3．
（2）根据题意可得矩形的长为（2+），宽为2，则没被盖住的面积是：2（2+）﹣4﹣2=2﹣2．
18.（1）不是，=16. （2）与互为倒数，则=，即
