1.3 线段的垂直平分线（二）
一、问题引入：
1. 等腰三角形的顶点一定在 上.
2. 在△ABC中，AB.AC的垂直平分线相交于点P，则PA.PB.PC的大小关系是 .
3. 在△ABC中，AB=AC，∠B=580，AB的垂直平分线交AC于N，则∠NBC= .
4. 已知线段AB，请你用尺规作出它的垂直平分线.
A B
二、基础训练：
1. 三角形的三边的垂直平分线是否相交于一点，这一点到三个顶点的距离是否相等？剪一个三角形纸片，通过折叠观察一下，并与同桌交流.
2. 上面的问题如何证明？
定理：三角形三条边的垂直平分线相交于 ，这一点到三个顶点的距离 .
三、例题展示：
如图，在△ABC中，∠A=400,O是AB.AC的垂直平分线的交点，求∠OCB的度数；
如果将（1）中的的∠A度数改为700，其余的条件不变，再求∠OCB的度数；
如果将（1）中的的∠A度数改为锐角a，其余的条件不变，再求∠OCB的度数.你发现了什么规律？请证明；
如果将（1）中的的∠A度数改为钝角a，其余的条件不变，是否还存在同样的规律？你又发现了什么？
四、课堂检测：
1. 在三角形内部，有一点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P一定是（ ）
A. 三角形三条角平分线的交点； B. 三角形三条垂直平分线的交点；
C. 三角形三条中线的交点； D. 三角形三条高的交点.
2. 已知△ABC的三边的垂直平分线交点在△ABC的边上，则△ABC的形状为（ ）
A. 锐角三角形； B. 直角三角形； C. 钝角三角形； D. 不能确定
3. 等腰 Rt△ABC中，AB=AC，BC=a,其斜边上的中线与一腰的垂直平分线交于点O，则点O到三角形三个顶点的距离是 .
4. 已知线段a.b，求作以a为底，以b为高的等腰三角形.
a b
中考真题：已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=900, ∠BAC=600，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E，点F在DE的延长线上，且AF=CE，试探究图中相等的线段.1.2 直角三角形（一）
一、问题引入：
1. 说出你知道的勾股数
2. 勾股定理的内容是：_____________________________;
它的条件是：______________________________________;
结论是：__________________________________________.
3. 将勾股定理的条件和结论分别变成结论和条件，其内容是：
下面试着将上述命题证明：
已知在△ABC中，AB2+AC2=BC2
求证：△ABC是直角三角形.
得出定理：如果三角形两边的__________等于__________，那么这个三角形是直角三角形.
二、基础训练：
观察勾股定理及上述定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系？然后观察下列每组命题，是否也在类似关系
（1）如果两个角是对顶角，那么它们相等.
如果两个角相等，那么它们 是对顶角.
（2）如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧.
如果小明发烧，那么他一定患了肺炎.
（3）三角形中相等的边所对的角相等.
三角形中相等的角所对的边相等.
像上述每组命题我们称为互逆命题，即一个命的条件和结论分别是另一个命题的__________和__________.
三、例题展示：
1. 判断
A．每个命题都有逆命题，每个定理也都有逆定理.（ ）
B．命题正确时其逆命题也正确.（ ）
C．角三角形两边分别是3，4，则第三边为5.（ ）
2. 下列长度的三条线段能构成直角三角形的是（ ）
①8，15，17 ②4，5，6 ③7，5.4，8.5 ④ 24，25，7 ⑤ 5，8，10
A：①②④ B：②④⑤ C：①③⑤ D：①③④
四、课堂检测:
1. 以下命题的逆命题属于假命题的是（ ）
A.两底角相等的两个三角形是等腰三角形. B.全等三角形的对应角相等.
C.两直线平行，内对角相等. D.直角三角形两锐角互等.
2. 命题：等腰三角形两腰上的高相等的逆命题是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
3. 若一个直角两直角边之比为3：4，斜边长20CM，则两直角边为 .
4. 已知直角三角形两直角边长分别为6和8，则斜边长为_______，斜边上的高为_______.
5. 台风过后，某小学旗杆在B处断裂，旗杆顶A落在离旗杆底部C点8M处，已知旗杆
原长16M，则旗杆在距底部几米处断裂.
6. 小明将长2.5M的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端B到墙根C的距离是0.7M，
如果梯子的顶端垂直下滑0.4M，那么梯子的底端B将向外移动多少米.
中考真题：用四个全等的直角三角形拼成了一个如图所示的图形，其中a表示较短，直角三角形，b表示较长的直角边，c表示斜边，你能用这个图形证明勾股定理吗？1.4 角平分线（二）
一、问题引入：
三角形角平分线性质定理和判定定理的内容是什么？作用呢？
二、基础训练：
1. 如图：设△ABC的角平分线交于P，求证：P点在∠BAC的平分线上
定理：三角形的三条角平分线交于 点，并且这一点到三条边的距离 .
引申：三角形的三条角平分线交于一点，若设这一点到其中一边的距离为m，三边长分别为a.b.c，则三角形的面积S= .
2. 已知：△ABC中，BP.CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且交于P,若P到边AB的距离为3cm，△ABC的周长为18cm，则△ABC的面积为 .
3. 到三角形三边距离相等的点是（ ）
A.三条中线的交点； B.三条高的交点； C.三条角平分线的交点； D.不能确定
三、例题展示：
例：△ABC中，AC=BC, ∠C=900,AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E.
已知：CD=4cm,求AC长
求证：AB=AC+CD
四、课堂检测：
1. 到一个角的两边距离相等的点在 .
2. △ABC中，∠C=900, ∠A的平分线交BC于D，BC=21cm，BD:DC=4:3，则D到AB的
距离为 .
3. Rt△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，DE⊥BC
于E，AB=8cm，则DE+DC= cm.
4. △ABC中，∠ABC和∠BCA的平分线交于O，则
∠BAO和∠CAO的大小关系为 .
5. Rt△ABC中，∠C=900，BD平分∠ABC，CD=n，AB=m，则△ABD的面积是 .
6. 已知：OP是∠MON内的一条射线，AC⊥OM，AD⊥ON，BE⊥OM，BF⊥ON，垂足分别为C.D.E.F，且AC=AD求证：BE=BF
中考真题：三条公路围成了一个三角形区域，今要在这个三角形区域内建一果品批发市场到这三条公路的距离相等，试找出批发市场的位置.1.4角平分线（一）
一、提出问题：
1. 角平分线的定义：______________________________________
2. 问题1：还记得角平分线上的点有什么性质吗？
你是怎样得到的？你能证明它吗？
定理归纳：
问题2：你能写出这个定理的逆命题？它是真命题吗？如果是，你能证明它？
定理归纳：
二、基础训练：
用尺规怎样做已知角的平分线呢？并对自己的做法加以证明.
三、例题解释：
例：如图，已知AD为△ABC的
角平分线，∠ABC=90°，EF⊥AC，
交BC于点D，垂足为F，DE=DC，
求证：BE=CF.
四、课堂检测
1. OM平分∠BOA，P是OM上的任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D.E，下列结论中错误的是（ ）
A：PD=PE B：OD=OE C：∠DPO=∠EPO D：PD=OD
如图所示，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，则下列结论不正确的是（ ）
A:△AEG≌△AFG B:△AED≌△AFD
C:△DEG≌△DFG D:△BDE≌△CDF
3. △ABC中, ∠ABC.∠ACB的平分线交于点O，连结AO，若∠OBC=25°，∠OCB=30°，则∠OAC=_____________°
4. 与相交的两直线距离相等的点在（ ）
A：一条直线上 B：一条射线上
C：两条互相垂直的直线上 D：以上都不对
5. ∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为2CM，则M到OB的距离为_________.
6. 在RT△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，若BC=16，BD=10，则D到AB的距离是________.
7. 如图在两条交叉的公路L1与L2之间有两家工厂A.B，现在要修一个货物中转站，使它到两条公路的距离相等，以及到两个工厂距离相等，你能帮助确定中转站的地址吗？请试试.
中考真题：
如图，梯形ABCD，ABCD，AD=DC=CB，AD.BC的延长线相交于G，
CE⊥AG于E，CF⊥AB于F，
（1）请写出图中4组相等的线段（已知的相等线段除外）
（2）选择（1）中你所写的一组相等的线段，说说它们相等的理由.1.3 线段的垂直平分线（一）
一、问题引入：
1. 什么是线段的垂直平分线？
2. 你会画线段的垂直平分线？
3. “线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”你能证明这一结论吗？
二、基础训练：
议一议：写出“线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”这一命题的逆命题？它是真命题吗？如果是，请证明，并与同伴交流.
做一做：阅读P25做一做，然后用尺规作出右图已知线段AB的垂直平分线CD，并说明为什么CD是线段AB的垂直平分线？
A B
反思：如何用尺规作图确定已知线段的中点？
三、例题展示：
例：如图在△ABC中，AD是∠BAC平分线,AD的垂直平分线分别交AB.BC延长线于F.E
求证：（1）∠EAD=∠EDA ;
（2）DF∥AC
（3）∠EAC=∠B
四、课堂检测:
1. 已知：线段AB及一点P，PA=PB，则点P在 上.
2. 已知：如图，∠BAC=1200,AB=AC,AC的垂直平分线交BC于D则∠ADC= .
3. △ABC中，∠A=500，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于D则∠DBC的度数 .
4. △ABC中，DE.FG分别是边AB.AC垂直平分线，则∠B ∠BAE，∠C ∠GAF ，
若∠BAC=1260，则∠EAG= .
5. 如图，△ABC中，AB=AC=17，BC=16，DE垂直平分AB，则△BCD的周长是 .
6. 有特大城市A及两个小城市B.C，这三个城市共建一个污水处理厂，使得该厂到B.C两城市的距离相等，且使A市到厂的管线最短，试确定污水处理厂的位置.
中考真题：已知：如图，DE是△ABC的AB边的垂直平分线，分别交AB.BC于D.E，AE平分∠BAC，若∠B=300，求∠C
第5题
第4题
第1题第一章 三角形的证明
1.1等腰三角形（一）
一、问题引入：
1. 请你用自己的语言说一说证明的基本步骤
2. 列举我们已知道的公理：.
（1）公理：同位角 ，两直线平行.
（2）公理：两直线 ，同位角 .
（3）公理： 的两个三角形全等.
（4）公理： 的两个三角形全等.
（5）公理： 的两个三角形全等.
（6）公理：全等三角形的对应边 ，对应角 .
注：等式的有关性质和不等式的有关性质都可以看作公理.
二、基础训练：
1. 利用已有的公理和定理证明：
“两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.”
2. 议一议：（1）还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？
（2）你能利用已有的公理及定理证明这些结论吗？
三、例题展示：
在△ABC中，AD是角平分线,DE⊥AB, DF⊥AC，
试猜想EF与AD之间有什么关系 并证明你的猜想.
四、课堂检测：
1. 如图，已知：∥，AB=CD，
若要使△ABE≌△CDF,仍需添加一个
条件，下列条件中，哪一个不能使
△ABE≌△CDF的是（ ）
A.∠A=∠B ; B . BF=CE; C. AE∥DF; D. AE=DF.
2. 如果等腰三角形的一个内角等于500则其余两角的度数为 .
3.（1）如果等腰三角形的一条边长为3，另一边长为5，则它的周长为 .
（2）等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的腰长为 .
4. △ABC中， AB=AC, 且BD=BC=AD，求∠A的度数.
5. 如图，已知D.E在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=AE,求证:BD=CE
中考真题：已知：如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，DC=BE, DG⊥CE,G是垂足，求证：
（1）G是CE中点.
（2）∠B=2∠BCE.第一章 单 元 检 测
一、填空题（每小题3分）：
1．如图，修建抽水站时，沿着倾斜角为300的斜坡铺设管道，若量得水管
AB的长度为80米，那么点B离水平面的高度BC的长为 米.
2. 如果一个三角形的一条角平分线恰好是对边上的高，那么这个三角形
是 三角形.
3. 如图，已知AC=DB，要使△ABC≌△DCB，只需增加的一个条件是
或 .
4. 命题：“全等三角形的对应角相等”的逆命题是
___________________________________ ___.
这条逆命题是______命题（填“真”或“假”）
5. 如图，一个顶角为40 的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四
边形，则_________ ；
6. 在△ABC中，已知AB＝AC，AD是中线，∠B＝70°，BC＝15cm，
则∠BAC＝ ，∠DAC＝ ，BD＝ cm；
7. 已知，如图，O是△ABC的∠ABC.∠ACB的角平分线的交点，OD∥AB
交BC于D，OE∥AC交BC于E，若BC = 10，则△ODE的周长
为 .
8. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=40°，AC的垂直平分线
MN与AB相交于D点，则∠BCD的度数是 .
9. △ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D.若DC=7，则D到AB的距离是 .
10. 如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD
的长为 .
二、选择题（每小题3分）
1.等腰三角形底边上的高与底边的比是1∶2，则它的顶角等于（ ）
A.90° B.60° C.120° D.150°
2.下列两个三角形中，一定全等的是 （ ）
A.有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形
B.两个等边三角形
C.有一个角是100°，底相等的两个等腰三角形
D.有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形
3. 到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的（ ）
A.三边中线的交点 B.三条角平分线的交点
C.三边上高的交点 D.三边垂直平分线的交点
4. △ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，CD⊥AB于点D若BC=a，则AD等于（ ）
A.a B.a C.a D.a
5. 如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，则∠A的度数为（ ）
A.30° B.36° C.45° D.70°
三、解答题（每题12分）
1. 如图，AD⊥CD，AB=10，BC=20，∠A=∠C=30°.求：（1）∠ABC的度数
（2）AD和CD的长.
2.已知：如图，△ABC中，AB=AC，∠A=120°.
(1)用直尺和圆规作AB的垂直平分线，分别交BC. AB于点M.N(保留作图痕迹，不写作法).
(2)猜想CM与BM之间有何数量关系，并证明你的猜想.
四、证明题（每题10分）
1.已知：如图，CE⊥AB，BF⊥AC，CE与BF相交于D，且BD=CD.
求证：D在∠BAC的平分线上.
2. 已知：如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使 CE ＝ CD．
求证：BD ＝ DE．
五、（本题11分）
阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，
且∠BAE=∠CDE．
求证：AB=CD
分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此，要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．
现给出如下三种添加辅助线的方法提示，请任意选择其中一种，对原题进行证明．
第1题
第5题1.2 直角三角形（二）
一、问题引入：
1. 直角三角形的勾股定理及勾股定理的逆定理；
2. 问题1：两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？如果其中一边所对的角是直角呢？请证明你认为正确的结论.
问题2：（做一做）你能用三角尺作已知角的平分线吗？不妨动手做一做，并证明你的作法的正确性.
二、基础训练:
1.（议一议）如图已知∠ACB=∠BDA=90°，要使△ACB≌△BDA，还需要什么条件？把它们分别写出来.
2. D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E.F，且DE=DF，
求证BF=CE [解析]本题解决的关键是利用“HL”证明△BFD≌△CED
三、例题展示：
1. 下列各选项中的两个直角三角形不一定全等的是（ ）
A. 两条直角边对应相等的两个直角三角形.
B. 两条锐角边对应相等的两个直角三角形.
C. 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形.
D. 有一个锐角及这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等.
2. 下列长度的三条线段能构成直角三角形的是（ ）
① 8，15，17 ② 4，5，6 ③ 7.5，4.8，5 ④ 24，25，7 ⑤ 5，8，10
A. ①②④ B. ②④⑤ C. ①③⑤ D. ①③④
3. 下列命题中，假命题是（ ）
A．三个角的度数之比为1：3：4的三角形是直角三角形.
B．三个角的度数之比为1：3：2的三角形是直角三角形.
C．三边长之比为的三角形是直角三角形.
D．三边长之比为的三角形是直角三角形.
四、课堂检测:
1. 下列说法正确的有（ ）
（1）一个锐角及斜边对应相等的两个直角三角形全等.
（2）一个锐角及一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
（3）两个锐角对应等的两个直角三角形全等.
（4）有两条边相等的两个直角三角形全等.
（5）有斜边和条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
2. 下列说法中错误的是（ ）
A. 直角三角形中，任意直角边上的中线小于斜边.
B. 等腰三角形斜边上的高等于斜边的一半.
C. 直角三角形中每条直角边都小于斜边.
D. 等腰直角三角形一边长为1，则它的周长为
3. 以下列各组为边长，能组成直角三角形的是（ ）
A. 8，15，17 B. 4，5，6 C. 5，8，10 D. 8，39，40
4. 命题：若A＞B，则A2＞B2的逆命题是__________________________.
5. AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿AD对折，点C落在C｀的位置，
则BC`与BC之间的数量关系是____________.
6. 四边形ABCD中，若AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，且AB⊥BC，求四边形ABCD
的面积________.1.1 等腰三角形（二）
一、问题引入：
1. 在等腰三角形中作出一些相等的线段（角平分线.中线.高），你能发现其中一些相等的线段吗？你能证明你的结论吗？
等腰三角形的两底的角平分线相等吗？怎样证明.
已知：
求证：
证明：
得出定理： .
问题：等腰三角形两条腰上的中线相等吗？高呢？还有其他的结论吗？请你证明它们，并与同伴交流.
二、基础训练；
1. 请同学们阅读P6的问题（1）.（2），由此得到什么结论？
2. 我们知道等腰三角形的两个底角相等，反过来此命题成立吗？并与同伴交流，由此得到什么结论？
得出定理： ；简称： .
3. 请同学们阅读课本“想一想”，这一结论成立吗？你能证明吗？若不会证明，请看课本小明是怎样证明的，这种证明问题的方法与以前的证明方法相同吗？若不同应称为什么方法？
三、例题展示：
如图，△ABC中，D.E分别是AC.AB上的点，BD与CE
相交于点O，给出下列四个条件①∠EBO=∠DCO；
②∠BEO=∠CDO；③BE=CD;④OB=OC,上述四个条
件中，哪两个条件可判定是等腰三角形，请你写出一种情形，并加以证明.
四、课堂检测：
1. 已知：如图，在△ABC中，则图中等腰直角三角形共有（ ）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
2. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC, ∠BAC=1200, D.E是BC上两点，且AD=BD，AE=CE，猜想△ADE是 三角形.
3. 如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交与点O，若AB=12，AC=18，BC=24，则△ABC的周长为（ ）
A.30 B.36 C.39 D.42
4. 在△ABC中，AB=AC, ∠A=360,BD.CE是三角形的平分线且交于点O，则图中共有 个等腰三角形.
5. 如图：下午14：00时，一条船从处出发，以28海里/小时的速度，向正北航行，16：00时，轮船到达B处,从A处测得灯塔C在北偏西280,从B处测得灯塔C在北偏西560,求B处到灯塔C的距离.
6.中考真题：同一底上的两底边相等的梯形是等腰梯形吗？如果是，请给出证明；如果不是，请给出反例.
第3题
第2题
第4题
第1题1.1 等腰三角形（三）
一、问题引入：
1. 已知△ABC中，AB=AC=5cm，请增加一个条件 使它变为等边三角形.
2. 有一个角是600的等腰三角形是等边三角形吗？试着证明你的结论.
得出定理：有一个角是 的 三角形是等边三角形.
二、基础训练：
做一做：用两个含300角的三角板，你能拼出一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由.根据操作，思考：在直角三角形中，300角所对直角边与斜边有什么关系？并试着证明.
得出定理：在直角三角形中，300角所对直角边等于斜边的 .
三、例题展示：
1. 等腰三角形的底边为150，腰长为2a，求腰上的高.
2. 判断：（1）在直角三角形中，直角边是斜边的一半.（ ）
（2）有一个角是600的三角形是等边三角形.（ ）
3. 证明三个角都相等的三角形是等边三角形.
四、课堂检测
1. 等腰三角形的底边等于150，腰长为20，则这个三角形腰上的高是 .
2. 在Rt△ABC中，∠ACB=900，∠A =300，CD⊥AB，BD=1，则AB= .
3. 在△ABC中，AB=AC,∠BAC=1200,D是BC的中点， DE⊥AC,则AE:EC= .
4. 如图，在Rt△ABC中，∠C=900,沿B点的一条直线BE折叠△ABC，使点C恰好落在
AB的中点D处，则∠A= .
5. 在Rt△ABC中，∠C=300，AD⊥BC，你能看出BD与BC的大小关系吗？
中考真题：已知：如图，△ABC中，BD⊥AC，DE⊥AC，点D是AB的中点，∠A=300，
DE=1.8，求AB的长.
