2 用频率估计概率
核心回顾
在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定于某个常数P，那么事件A发生的概率P(A)＝__P__．
微点拨
1．事件A发生的概率是根据大量重复试验中事件A发生的频率的值确定的，有限的n次试验得到的频率值不太可能为概率，故可以用大量重复试验的频率去估计概率．
2．频率是在试验基础上得出的，概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，它是可以通过计算得出的理论值，它们之间可能非常接近，但并不意味着完全相同．
3．当试验次数不断增大时，频率逐渐趋于稳定．
基础必会
1．在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是(D)
A．频率就是概率
B．频率与试验次数无关
C．概率是随机的，与频率无关
D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
2．某鱼塘里养了200条鲤鱼、若干条草鱼和150条罗非鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5.若该鱼塘主随机在鱼塘捕捞一条鱼，则捞到鲤鱼的概率为(C)
A． B． C． D．
3．一个不透明的布袋中装有除颜色外均相同的7个黑球，5个白球和若干个红球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.4左右，则袋中红球的个数为__8__．
4．在一个暗箱里放有m个大小相同、质地均匀的白球，为了估计白球的个数，再放入3个同白球大小、质地均相同，只有颜色不同的黄球，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回暗箱，通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在25%，推算m的值大约是__9__．
5．王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋中并搅匀，这些球除颜色不同外其余都相同．他让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球(有放回)，如表是活动进行中的一组统计数据．
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1 000
摸到黑球的次数m 23 31 60 130 203 251
摸到黑球的频率 0.230 0.207 0.300 0.260 0.254
(1)补全上表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是________(精确到0.01)；
(2)估算袋中白球的个数；
(3)在(2)的条件下，若小强同学有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算他两次都摸出白球的概率．
解析:(1)补全表格如表：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1 000
摸到黑球的次数m 23 31 60 130 203 251
摸到黑球的频率 0.230 0.207 0.300 0.260 0.254 0.251
根据上表数据估计从袋中摸出一个黑球的概率是0.25.
答案：0.25
(2)设袋子中白球有x个，根据从袋中摸出一个黑球的概率大约是0.25可得＝0.25，
解得：x＝3，经检验：x＝3是原分式方程的解，
∴估算袋中白球的个数为3.
(3)画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，两次都摸到白球的情况有9种，
∴两次都摸出白球的概率为.
能力提升
1．在抛掷硬币的试验中，下列结论正确的是(A)
A．经过大量重复的抛掷硬币试验，可发现“正面向上”的频率越来越稳定
B．抛掷10 000次硬币与抛掷12 000次硬币“正面向上”的频率相同
C．抛掷50 000次硬币，可得“正面向上”的频率为0.5
D．若抛掷2 000次硬币“正面向上”的频率是0.518，则“正面向下”的频率为0.518
2.如图，在边长为3的正方形内有区域A(阴影部分所示)，小梅同学用随机模拟的方法求区域A的面积，若每次在正方形内随机产生10 000个点，并记录落在区域A内的点的个数，经过多次试验，计算出落在区域A内点的个数的平均值为6 600个，则区域A的面积为__5.94__．
3．下面三个试验中我们都可以通过看图估算或者通过图形计算各自概率：
(1)在一次试验中，老师共做了400次掷图钉游戏并记录了游戏的结果，绘制了钉尖朝上的频率折线统计图，如(1)图，请估计钉尖朝上的概率；
(2)如(2)图是一个可以自由转动的转盘，任意转动转盘，当转盘停止时，计算指针落在蓝色区域的概率；
(3)有一个小球在如(3)图的地板上自由滚动，地板上的每个格子都是边长为1的正方形，求小球最终停留在阴影区域的概率．
解析:(1)如题(1)图，在一次试验中，老师共做了400次掷图钉游戏，并记录了游戏的结果，绘制了钉尖朝上的频率折线统计图，估计出的钉尖朝上的概率为0.4.
(2)如题(2)图，是一个可以自由转动的转盘，任意转动转盘，当转盘停止时，指针落在蓝色区域的概率为.
(3)如题(3)图，有一个小球在地板上自由滚动，地板上的每个格都是边长为1的正方形，则小球在地板上最终停留在阴影区域的概率为＝.
PAGE2 用频率估计概率
核心回顾
在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定于某个常数P，那么事件A发生的概率P( )＝__ __．
微点拨
1．事件A发生的概率是根据大量重复试验中事件A发生的频率的值确定的，有限的n次试验得到的频率值不太可能为概率，故可以用大量重复试验的频率去估计概率．
2．频率是在试验基础上得出的，概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，它是可以通过计算得出的理论值，它们之间可能非常接近，但并不意味着完全相同．
3．当试验次数不断增大时，频率逐渐趋于稳定．
基础必会
1．在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是( )
A．频率就是概率
B．频率与试验次数无关
C．概率是随机的，与频率无关
D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
2．某鱼塘里养了200条鲤鱼、若干条草鱼和150条罗非鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5.若该鱼塘主随机在鱼塘捕捞一条鱼，则捞到鲤鱼的概率为( )
A． B． C． D．
3．一个不透明的布袋中装有除颜色外均相同的7个黑球，5个白球和若干个红球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.4左右，则袋中红球的个数为__ __．
4．在一个暗箱里放有m个大小相同、质地均匀的白球，为了估计白球的个数，再放入3个同白球大小、质地均相同，只有颜色不同的黄球，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回暗箱，通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在25%，推算m的值大约是__ __．
5．王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋中并搅匀，这些球除颜色不同外其余都相同．他让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球(有放回)，如表是活动进行中的一组统计数据．
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1 000
摸到黑球的次数m 23 31 60 130 203 251
摸到黑球的频率 0.230 0.207 0.300 0.260 0.254
(1)补全上表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是________(精确到0.01)；
(2)估算袋中白球的个数；
(3)在(2)的条件下，若小强同学有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算他两次都摸出白球的概率．
能力提升
1．在抛掷硬币的试验中，下列结论正确的是( )
A．经过大量重复的抛掷硬币试验，可发现“正面向上”的频率越来越稳定
B．抛掷10 000次硬币与抛掷12 000次硬币“正面向上”的频率相同
C．抛掷50 000次硬币，可得“正面向上”的频率为0.5
D．若抛掷2 000次硬币“正面向上”的频率是0.518，则“正面向下”的频率为0.518
2.如图，在边长为3的正方形内有区域A(阴影部分所示)，小梅同学用随机模拟的方法求区域A的面积，若每次在正方形内随机产生10 000个点，并记录落在区域A内的点的个数，经过多次试验，计算出落在区域A内点的个数的平均值为6 600个，则区域A的面积为__ __．
3．下面三个试验中我们都可以通过看图估算或者通过图形计算各自概率：
(1)在一次试验中，老师共做了400次掷图钉游戏并记录了游戏的结果，绘制了钉尖朝上的频率折线统计图，如(1)图，请估计钉尖朝上的概率；
(2)如(2)图是一个可以自由转动的转盘，任意转动转盘，当转盘停止时，计算指针落在蓝色区域的概率；
(3)有一个小球在如(3)图的地板上自由滚动，地板上的每个格子都是边长为1的正方形，求小球最终停留在阴影区域的概率．
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