4 探索三角形相似的条件
第1课时
核心回顾
1．相似三角形的定义：三角分别__ __，三边__ __的两个三角形相似．
2．相似三角形的判定方法
条件：∠A＝__ __，∠B＝__ __
结论：△ABC∽△A′B′C′
条件：∠A＝∠A′，__ __
结论：△ABC∽△A′B′C′
定理一：__ __角分别__ __的两个三角形相似．
定理二：两边__ __且__ __相等的两个三角形相似．
微点拨
1．判断三角形相似时，经常利用图形中隐藏的条件公共角、对顶角得到一组角．
2．条件中易得一组角相等时，其他是边的条件，经常利用第二个定理判断三角形相似．
基础必会
1．下列说法中正确的是( )
A．两个直角三角形相似
B．两个等腰三角形相似
C．两个等边三角形相似
D．两个锐角三角形相似
2．如图，下列不能判定△ABD与△ACB相似的是( )
A．＝ B．＝
C．∠ABD＝∠ACB D．∠ADB＝∠ABC
3．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在AC，AB上，且＝，AE＝BE，则有( )
A．△AED∽△ABC B．△ADB∽△BED
C．△BCD∽△ABC D．△AED∽△CBD
4．如图，△ABC的高AD，BE相交于点O，写出一个与△AOE相似的三角形，这个三角形可以是__ __．
5．在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝105°，AC＝4 cm，AB＝6 cm，DE＝3 cm，则DF＝__ __ __ __时，△ABC与△DEF相似．
6．如图，点C是线段AB上一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，连接AE，BD，设AE交CD于点F.
(1)求证：△ACE≌△DCB；
(2)求证：△ADF∽△BAD.
能力提升
1．如图，在△ABC纸片中，∠A＝76°，∠B＝34°.将△ABC纸片沿某处剪开，下列四种方式中剪下的阴影三角形与原三角形相似的是( )
A.①② B．②④
C．①③ D．③④
2．如图，点E是线段BC的中点，∠B＝∠C＝∠AED，下列结论中，说法错误的是( )
A.△ABE与△ECD相似
B．△ABE与△AED相似
C．＝
D．∠BAE＝∠ADE
3．如图，矩形ABCD中，AD＝4，AB＝10，P为CD边上的动点，当DP＝__ __时，△ADP与△BCP相似．
4．如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC.
(1)求证：△ADE∽△ABC；
(2)若AD＝3，AB＝5，求的值．
PAGE第四章 4探索三角形相似的条件 第2课时
核心回顾
1．三角形相似的判定方法
(1)三边__成比例__的两个三角形相似．
(2)应用格式：如图．∵__＝＝__，
∴△ABC__∽__△DEF.
2．黄金分割
一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果__＝__，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．其中≈__0.618__．
微点拨
1．一条线段有2个黄金分割点．
2．利用黄金分割点的定义解释一个点是线段黄金分割点的原因．
基础必会
1．根据下列条件．可以判定△ABC与△A′B′C′相似的条件有(C)
①∠C＝∠C′＝90°，∠A＝25°，∠B′＝65°；
②∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝4 cm，∠C′＝90°，A′C′＝9 cm，B′C′＝6 cm；
③AB＝10 cm，BC＝12 cm，AC＝15 cm，A′B′＝150 cm，B′C′＝180 cm，A′C′＝225 cm；
④△ABC与△A′B′C′是有一个角为80°的等腰三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．在中华经典美文阅读中，李明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为20 cm，则它的宽约为(A)
A．12.36 cm B．13.6 cm
C．32.36 cm D．7.64 cm
3．如图，在下列方格纸中的四个三角形，是相似三角形的是(B)
A.①和② B．①和③
C．②和③ D．②和④
4.如图所示，＝＝＝，∠ADE＝70°，则∠B＝__70°__；若BD＝10 cm，则AD＝__20__cm.
5．已知点C是线段AB的黄金分割点，若AB＝8，则线段AC的长为__4－4或12－4__．
6．如图，在△ABC和△A′B′C′中，D，D′分别是AB，A′B′上一点，＝，当＝＝时，求证：△ADC∽△A′D′C′.
【证明】∵＝，
∴＝，∵＝＝，
∴＝＝，
∴△ADC∽△A′D′C′.
7.在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知Rt△ABC是6×6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与Rt△ABC相似的格点三角形中．求面积最大的格点三角形的斜边长．
解析:∵在Rt△ABC中，AC＝1，BC＝2，
∴AB＝，AC∶BC＝1∶2，
∴与Rt△ABC相似的格点三角形的两直角边的比值为1∶2，
若该三角形最短边长为4，则另一直角边长为8，但在6×6网格图形中，最长线段为6，但此时画出的直角三角形为等腰直角三角形，从而画不出端点都在格点且长为8的线段，故最短直角边长应小于4，在图中尝试，可画出DE＝，EF＝2，DF＝5的三角形，∵＝＝＝，
∴△ABC∽△DFE，∴∠DEF＝∠C＝90°，∴此时△DEF的面积最大，∴面积最大的三角形，其斜边长为5.
能力提升
1．如图，扇子的圆心角为x°，余下扇形的圆心角为y°，x与y的比通常按黄金比来设计，这样的扇子外形比较美观，若黄金比取0.6，则x为(B)
A．144 B．135 C．136 D．108
2．如图，A，B，C，D，E，G，H，M，N都是方格中的格点(即小正方形的顶点)，要使△DEF与△ABC相似，则点F应是G，H，M，N中的(C)
A．H或N B．G或H
C．M或N D．G或M
3.如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D，E在BC上，且AB＝BD＝DE＝EC，求证：△ADE∽△CDA.
【证明】设AB＝BD＝DE＝CE＝a，则AD＝a，AE＝a，AC＝a，从而得＝＝，∴△ADE∽△CDA.
4.如图，在△ABC和△ADE中，＝＝，点B，D，E在同一条直线上，求证：△ABD∽△ACE.
【证明】在△ABC和△ADE中，＝＝，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵＝，∴＝，
∴△ABD∽△ACE.
PAGE第四章 4探索三角形相似的条件 第2课时
核心回顾
1．三角形相似的判定方法
(1)三边__ __的两个三角形相似．
(2)应用格式：如图．∵__ __，
∴△ABC__ __△DEF.
2．黄金分割
一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果__ __，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．其中≈__ __．
微点拨
1．一条线段有2个黄金分割点．
2．利用黄金分割点的定义解释一个点是线段黄金分割点的原因．
基础必会
1．根据下列条件．可以判定△ABC与△A′B′C′相似的条件有( )
①∠C＝∠C′＝90°，∠A＝25°，∠B′＝65°；
②∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝4 cm，∠C′＝90°，A′C′＝9 cm，B′C′＝6 cm；
③AB＝10 cm，BC＝12 cm，AC＝15 cm，A′B′＝150 cm，B′C′＝180 cm，A′C′＝225 cm；
④△ABC与△A′B′C′是有一个角为80°的等腰三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．在中华经典美文阅读中，李明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为20 cm，则它的宽约为( )
A．12.36 cm B．13.6 cm
C．32.36 cm D．7.64 cm
3．如图，在下列方格纸中的四个三角形，是相似三角形的是( )
A.①和② B．①和③
C．②和③ D．②和④
4.如图所示，＝＝＝，∠ADE＝70°，则∠B＝__ __；若BD＝10 cm，则AD＝__ __cm.
5．已知点C是线段AB的黄金分割点，若AB＝8，则线段AC的长为__ __．
6．如图，在△ABC和△A′B′C′中，D，D′分别是AB，A′B′上一点，＝，当＝＝时，求证：△ADC∽△A′D′C′.
7.在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知Rt△ABC是6×6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与Rt△ABC相似的格点三角形中．求面积最大的格点三角形的斜边长．
能力提升
1．如图，扇子的圆心角为x°，余下扇形的圆心角为y°，x与y的比通常按黄金比来设计，这样的扇子外形比较美观，若黄金比取0.6，则x为( )
A．144 B．135 C．136 D．108
2．如图，A，B，C，D，E，G，H，M，N都是方格中的格点(即小正方形的顶点)，要使△DEF与△ABC相似，则点F应是G，H，M，N中的( )
A．H或N B．G或H
C．M或N D．G或M
3.如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D，E在BC上，且AB＝BD＝DE＝EC，求证：△ADE∽△CDA.
4.如图，在△ABC和△ADE中，＝＝，点B，D，E在同一条直线上，求证：△ABD∽△ACE.
PAGE4 探索三角形相似的条件
第1课时
核心回顾
1．相似三角形的定义：三角分别__相等__，三边__成比例__的两个三角形相似．
2．相似三角形的判定方法
条件：∠A＝__∠A′__，∠B＝__∠B′__
结论：△ABC∽△A′B′C′
条件：∠A＝∠A′，__＝__
结论：△ABC∽△A′B′C′
定理一：__两__角分别__相等__的两个三角形相似．
定理二：两边__成比例__且__夹角__相等的两个三角形相似．
微点拨
1．判断三角形相似时，经常利用图形中隐藏的条件公共角、对顶角得到一组角．
2．条件中易得一组角相等时，其他是边的条件，经常利用第二个定理判断三角形相似．
基础必会
1．下列说法中正确的是(C)
A．两个直角三角形相似
B．两个等腰三角形相似
C．两个等边三角形相似
D．两个锐角三角形相似
2．如图，下列不能判定△ABD与△ACB相似的是(A)
A．＝ B．＝
C．∠ABD＝∠ACB D．∠ADB＝∠ABC
3．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在AC，AB上，且＝，AE＝BE，则有(D)
A．△AED∽△ABC B．△ADB∽△BED
C．△BCD∽△ABC D．△AED∽△CBD
4．如图，△ABC的高AD，BE相交于点O，写出一个与△AOE相似的三角形，这个三角形可以是__△BOD(或△BCE或△ACD，不唯一)__．
5．在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝105°，AC＝4 cm，AB＝6 cm，DE＝3 cm，则DF＝__2__cm或4.5__cm__时，△ABC与△DEF相似．
6．如图，点C是线段AB上一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，连接AE，BD，设AE交CD于点F.
(1)求证：△ACE≌△DCB；
(2)求证：△ADF∽△BAD.
【证明】(1)∵△ACD和△BCE都是等边三角形，
∴AC＝CD，CE＝CB，∠ACD＝∠BCE＝60°，
∴∠ACE＝∠DCB＝120°.
∴△ACE≌△DCB(SAS)；
(2)∵△ACE≌△DCB，
∴∠CAE＝∠CDB.
∵∠ADC＝∠CAD＝∠ACD＝∠CBE＝60°，∴DC∥BE，
∴∠CDB＝∠DBE，∴∠CAE＝∠DBE，
∴∠DAF＝∠DBA.∴△ADF∽△BAD.
能力提升
1．如图，在△ABC纸片中，∠A＝76°，∠B＝34°.将△ABC纸片沿某处剪开，下列四种方式中剪下的阴影三角形与原三角形相似的是(C)
A.①② B．②④
C．①③ D．③④
2．如图，点E是线段BC的中点，∠B＝∠C＝∠AED，下列结论中，说法错误的是(D)
A.△ABE与△ECD相似
B．△ABE与△AED相似
C．＝
D．∠BAE＝∠ADE
3．如图，矩形ABCD中，AD＝4，AB＝10，P为CD边上的动点，当DP＝__2或8或5__时，△ADP与△BCP相似．
4．如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC.
(1)求证：△ADE∽△ABC；
(2)若AD＝3，AB＝5，求的值．
解析:(1)∵AG⊥BC，AF⊥DE，∴∠AFE＝∠AGC＝90°，
∵∠EAF＝∠GAC，∴∠AED＝∠ACB，
∵∠EAD＝∠CAB，∴△ADE∽△ABC.
(2)由(1)可知：△ADE∽△ABC，∴＝＝，∵∠AFE＝∠AGC＝90°，∠EAF＝∠GAC，∴△EAF∽△CAG，∴＝，∴＝.
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