第一章 2矩形的性质与判定 第2课时
核心回顾
矩形的判定方法
矩形的判定 文字叙述 几何语言
定义法 有一个角是直角的平行四边形是矩形 ∵四边形ABCD是平行四边形且∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形
对角线法 对角线相等的平行四边形是矩形 ∵四边形ABCD是平行四边形且AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形
三个直角法 有三个角是直角的四边形是矩形 ∵在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝∠BAD＝90°，∴四边形ABCD是矩形
微点拨
1．在判断四边形的形状时，若已知条件中有对角线，可首先考虑能否用对角线的条件证明是矩形．
2．在判断四边形的形状时，若可证出一个直角，可考虑能否用定义和三个角是直角证明是矩形．
3．矩形的判定方法和矩形的性质是相辅相成的，注意它们的区别和联系．
基础必会
1．下列命题中，真命题的是(A)
A．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直且相等的四边形是矩形
C．对角线互相平分且相等的四边形是菱形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形
2．如图，要使 ABCD为矩形，则可以添加的条件是(B)
A．AC⊥BD B．AC＝BD
C．∠AOB＝60° D．AB＝BC
3．如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点．添加下列条件后，不能得到四边形ADEF是矩形的是(D)
A．∠BAC＝90° B．BC＝2AE
C．DE平分∠AEB D．AE⊥BC
4．木匠做一个矩形木框，长为80 cm，宽为60 cm，对角线的长为100 cm，则这个木框__合格__．(填“合格”或“不合格”)
5．如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝90°，点M是CD的中点，点P是AB上任一点．若AD＝1，AB＝2，则PA＋PB＋PM的最小值为__3__．
6．已知：如图，在 ABCD中，点E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF.
(1)求证：△ABE≌△FCE；
(2)若AF＝AD，求证：四边形ABFC是矩形．
【证明】(1)如图．∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，即AB∥DF，
∴∠1＝∠2，
∵点E是BC的中点，∴BE＝CE.
在△ABE和△FCE中，
∴△ABE≌△FCE(AAS).
(2)∵△ABE≌△FCE，∴AB＝FC，
∵AB∥FC，
∴四边形ABFC是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∵AF＝AD，∴AF＝BC，
∴四边形ABFC是矩形．
能力提升
1．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是(B)
A．AB＝BE B．BE⊥DC
C．∠ADB＝90° D．CE⊥DE
2．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12，BC＝5，D为边AC上一动点，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则EF的最小值为(B)
A．4.8 B． C． D．13
3.如图，在矩形ABCD中，AB＝4 cm，AD＝12 cm，点P从点A向点D以每秒1 cm的速度运动，Q以每秒4 cm的速度从点C出发，在B，C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D为止(同时点Q也停止)，这段时间内，当运动时间为__2.4__s或4__s或7.2__s__时，P，Q，C，D四点组成矩形．
4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF.
(1)求证：四边形AEFD是矩形；
(2)连接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的长度．
解析:(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC且AD＝BC，∵BE＝CF，
∴BC＝EF，∴AD＝EF，∵AD∥EF，∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°，∴平行四边形AEFD是矩形．
(2)∵四边形ABCD是菱形，AD＝10，∴AD＝AB＝BC＝10，
∵EC＝4，∴BE＝10－4＝6，在Rt△ABE中，AE＝＝8，
在Rt△AEC中，AC＝＝4，∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，∴OE＝AC＝2.
PAGE第一章 2矩形的性质与判定 第2课时
核心回顾
矩形的判定方法
矩形的判定 文字叙述 几何语言
定义法 有一个角是 的 是矩形 ∵四边形ABCD是平行四边形且∠ABC＝ ，∴平行四边形ABCD是矩形
对角线法 对角线 的平行四边形是矩形 ∵四边形ABCD是平行四边形且AC＝ ，∴平行四边形ABCD是矩形
三个直角法 有三个角是 的四边形是矩形 ∵在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝∠BAD＝ ，∴四边形ABCD是矩形
微点拨
1．在判断四边形的形状时，若已知条件中有对角线，可首先考虑能否用对角线的条件证明是矩形．
2．在判断四边形的形状时，若可证出一个直角，可考虑能否用定义和三个角是直角证明是矩形．
3．矩形的判定方法和矩形的性质是相辅相成的，注意它们的区别和联系．
基础必会
1．下列命题中，真命题的是( )
A．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直且相等的四边形是矩形
C．对角线互相平分且相等的四边形是菱形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形
2．如图，要使 ABCD为矩形，则可以添加的条件是( )
A．AC⊥BD B．AC＝BD
C．∠AOB＝60° D．AB＝BC
3．如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点．添加下列条件后，不能得到四边形ADEF是矩形的是( )
A．∠BAC＝90° B．BC＝2AE
C．DE平分∠AEB D．AE⊥BC
4．木匠做一个矩形木框，长为80 cm，宽为60 cm，对角线的长为100 cm，则这个木框__ __．(填“合格”或“不合格”)
5．如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝90°，点M是CD的中点，点P是AB上任一点．若AD＝1，AB＝2，则PA＋PB＋PM的最小值为__ __．
6．已知：如图，在 ABCD中，点E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF.
(1)求证：△ABE≌△FCE；
(2)若AF＝AD，求证：四边形ABFC是矩形．
能力提升
1．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是( )
A．AB＝BE B．BE⊥DC
C．∠ADB＝90° D．CE⊥DE
2．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12，BC＝5，D为边AC上一动点，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则EF的最小值为( )
A．4.8 B． C． D．13
3.如图，在矩形ABCD中，AB＝4 cm，AD＝12 cm，点P从点A向点D以每秒1 cm的速度运动，Q以每秒4 cm的速度从点C出发，在B，C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D为止(同时点Q也停止)，这段时间内，当运动时间为__ __ __ __ __时，P，Q，C，D四点组成矩形．
4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF.
(1)求证：四边形AEFD是矩形；
(2)连接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的长度．
PAGE2 矩形的性质与判定
第1课时
核心回顾
1．矩形的定义：有一个角是__直角__的平行四边形．
2．矩形的性质：
(1)一般性质：矩形具有__平行四边形__的一切性质．
(2)特殊性质：①矩形的四个角都是__直角__；②矩形的对角线__相等__．
(3)对称性：①矩形是轴对称图形，有__2__条对称轴，分别是过两组对边中点的直线；②矩形是中心对称图形，对称中心为__两条对角线的交点__．
3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的__一半__．
微点拨
1．矩形是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形．
2．矩形的两条对角线互相平分且相等，即对角线把矩形分成四个等腰三角形．
3．在直角三角形中，遇到斜边中点常作斜边中线，进而可将问题转化为等腰三角形的问题．
基础必会
1．矩形具有而菱形不一定具有的性质是(D)
A．对角线互相垂直
B．对角线互相平分
C．每条对角线平分一组对角
D．对角线相等
2．将三角尺按如图所示放置在一张矩形纸片上，∠EGF＝90°，∠FEG＝30°，∠1＝130°，则∠BFG的度数为(C)
A．130° B．120° C．110° D．100°
3．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，且E是AC的中点．若AD＝6，DE＝5，则CD的长等于(D)
A．5 B．6 C．7 D．8
4．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD＝2，DE＝2，则下列结论错误的是(D)
A.AB＝2
B．∠E＝60°
C．四边形OCED是菱形
D．四边形OCED的面积是4
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E.如果∠CBE＝25°，那么∠CDA＝__130__°.
6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知∠BOC＝120°，DC＝3 cm，则AC的长为__6__cm.
7.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是____．
8．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点E，作CF∥BD，DF∥AC.
求证：四边形DECF为菱形．
【证明】∵CF∥BD，DF∥AC，
∴四边形DECF是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CE＝AC，DE＝BD，AC＝BD，
∴CE＝DE，∴平行四边形DECF为菱形．
能力提升
1．如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，若∠ADE＝2∠EDC，则∠BDE的度数为(B)
A．36° B．30° C．27° D．18°
2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则AM的最小值是(D)
A．2.4 B．2 C．1.5 D．1.2
3．如图，已知O为坐标原点，四边形OABC为矩形，OA＝10，OC＝4，点D是OA的中点，点P在线段BC上运动．
(1)写出点A，B，C的坐标；
(2)当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，求点P的坐标．
解析:(1)∵四边形OABC为矩形，
∴BC＝OA＝10，AB＝OC＝4，
∴A(10，0)，B(10，4)，C(0，4)；
(2)∵点D是OA的中点，∴OD＝OA＝5，
①当OP＝DP时，P是OD的垂直平分线与CB的交点，则CP＝OD＝，
∴OP＝＝＝，则OP＝PD≠5；
②当OP＝OD＝5时，在Rt△OPC中，CP＝＝3，∴点P的坐标是(3，4)；
③当DP＝DO＝5时，过D作DM⊥BC于点M，如图所示：
则DM＝OC＝4，在Rt△PDM中，PM＝＝3，
当P在M的左侧时，CP＝CM－PM＝5－3＝2，则P点坐标是(2，4)；
当P在M的右侧时，CP＝CM＋PM＝5＋3＝8，则P点坐标是(8，4).∴满足条件的点P的坐标为：(3，4)或(2，4)或(8，4).
PAGE2 矩形的性质与判定
第1课时
核心回顾
1．矩形的定义：有一个角是__ __的平行四边形．
2．矩形的性质：
(1)一般性质：矩形具有__ __的一切性质．
(2)特殊性质：①矩形的四个角都是__ __；②矩形的对角线__ __．
(3)对称性：①矩形是轴对称图形，有__ __条对称轴，分别是过两组对边中点的直线；②矩形是中心对称图形，对称中心为__ __．
3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的__ __．
微点拨
1．矩形是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形．
2．矩形的两条对角线互相平分且相等，即对角线把矩形分成四个等腰三角形．
3．在直角三角形中，遇到斜边中点常作斜边中线，进而可将问题转化为等腰三角形的问题．
基础必会
1．矩形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A．对角线互相垂直
B．对角线互相平分
C．每条对角线平分一组对角
D．对角线相等
2．将三角尺按如图所示放置在一张矩形纸片上，∠EGF＝90°，∠FEG＝30°，∠1＝130°，则∠BFG的度数为( )
A．130° B．120° C．110° D．100°
3．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，且E是AC的中点．若AD＝6，DE＝5，则CD的长等于( )
A．5 B．6 C．7 D．8
4．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD＝2，DE＝2，则下列结论错误的是( )
A.AB＝2
B．∠E＝60°
C．四边形OCED是菱形
D．四边形OCED的面积是4
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E.如果∠CBE＝25°，那么∠CDA＝__ __°.
6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知∠BOC＝120°，DC＝3 cm，则AC的长为__ __cm.
7.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是___．
8．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点E，作CF∥BD，DF∥AC.
求证：四边形DECF为菱形．
能力提升
1．如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，若∠ADE＝2∠EDC，则∠BDE的度数为( )
A．36° B．30° C．27° D．18°
2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则AM的最小值是( )
A．2.4 B．2 C．1.5 D．1.2
3．如图，已知O为坐标原点，四边形OABC为矩形，OA＝10，OC＝4，点D是OA的中点，点P在线段BC上运动．
(1)写出点A，B，C的坐标；
(2)当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，求点P的坐标．
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