第一章 1菱形的性质与判定 第2课时
核心回顾
菱形的判定
判定方法 条件 结论
定义法 有一组__邻边__相等的平行四边形 是菱形
对角线法 对角线互相__垂直__的平行四边形
四边法 四条边__相等__的四边形
微点拨
1．菱形的判定方法，一种是在四边形的基础上加上四条边相等，其他的都是在平行四边形的基础上加一个条件来判定菱形．
2．菱形的判定定理与性质定理是互逆定理．
基础必会
1．下列选项中能使 ABCD成为菱形的是(B)
A．AB＝CD B．AB＝BC
C．∠BAD＝90° D．AC＝BD
2．如图，等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD，BD，则下列结论：
①AD＝BC；②BD，AC互相平分；③四边形ACED是菱形；④∠ACD＝∠DCE，
其中正确的个数是(D)
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AO＝CO，BO＝DO，要使四边形ABCD为菱形，则需添加的条件为__AB＝BC(答案不唯一)__．(填一个即可)
4．如图，用完全相同的两个长方形纸片交叉叠合得到四边形ABCD，AD＝4，则四边形ABCD的周长是__16__．
5．如图，AC＝8，分别以A，C为圆心，以长度5为半径作弧，两条弧分别相交于点B和D.依次连接A，B，C，D，连接BD交AC于点O.
(1)判断四边形ABCD的形状并说明理由．
(2)求BD的长．
解析:(1)四边形ABCD为菱形；
由作法得AB＝AD＝CB＝CD＝5，
所以四边形ABCD为菱形．
(2)∵四边形ABCD为菱形，
∴OA＝OC＝4，OB＝OD，AC⊥BD，
在Rt△AOB中，OB＝＝3，
∴BD＝2OB＝6.
6．在 ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且AE＝CF.
(1)求证：△ADE≌△CBF；
(2)若DF＝BF，求证：四边形DEBF为菱形．
【证明】(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠A＝∠C，
∵在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF(SAS)；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵AE＝CF，∴DF＝EB，
∴四边形DEBF是平行四边形，
又∵DF＝FB，∴四边形DEBF为菱形．
能力提升
1．如图，AC，BD是菱形ABCD的对角线，E，F分别是边AB，AD的中点，连接EF，EO，FO，则下列结论错误的是(D)
A.EF＝DO
B．EF⊥AO
C．四边形EOFA是菱形
D．四边形EBOF是菱形
2．在平面直角坐标系中，已知点A(0，2)，B(－2，0)，C(0，－2)，D(2，0)，则以这四个点为顶点的四边形ABCD是__菱形__(填形状).
3．如图，在四边形ABCD中，AC，BD交于O点，AD∥BC，BA＝BC，BD平分∠ABC.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)延长BC至点E，使DE∥AC，若BC＝5，BD＝8，求四边形ABED的周长．
解析:(1)∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD＝∠ABD，
∴AB＝AD，
又∵BA＝BC，
∴AD＝BC，且AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AB＝AD，
∴平行四边形ABCD为菱形．
(2)∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵DE∥AC，
∴DE⊥BD，
∵AD∥BC，DE∥AC，
∴四边形ACED为平行四边形，
∴CE＝AD＝BC＝5，
∴BE＝BC＋CE＝10，
在Rt△BDE中，
由勾股定理得：DE＝
＝＝6，
∵BA＝BC＝5，
∴四边形ABED的周长＝AB＋AD＋BE＋DE＝5＋5＋10＋6＝26.
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核心回顾
菱形的判定
判定方法 条件 结论
定义法 有一组__ __相等的平行四边形 是菱形
对角线法 对角线互相__ __的平行四边形
四边法 四条边__ __的四边形
微点拨
1．菱形的判定方法，一种是在四边形的基础上加上四条边相等，其他的都是在平行四边形的基础上加一个条件来判定菱形．
2．菱形的判定定理与性质定理是互逆定理．
基础必会
1．下列选项中能使 ABCD成为菱形的是( )
A．AB＝CD B．AB＝BC
C．∠BAD＝90° D．AC＝BD
2．如图，等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD，BD，则下列结论：
①AD＝BC；②BD，AC互相平分；③四边形ACED是菱形；④∠ACD＝∠DCE，
其中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AO＝CO，BO＝DO，要使四边形ABCD为菱形，则需添加的条件为__ __．(填一个即可)
4．如图，用完全相同的两个长方形纸片交叉叠合得到四边形ABCD，AD＝4，则四边形ABCD的周长是__ __．
5．如图，AC＝8，分别以A，C为圆心，以长度5为半径作弧，两条弧分别相交于点B和D.依次连接A，B，C，D，连接BD交AC于点O.
(1)判断四边形ABCD的形状并说明理由．
(2)求BD的长．
6．在 ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且AE＝CF.
(1)求证：△ADE≌△CBF；
(2)若DF＝BF，求证：四边形DEBF为菱形．
能力提升
1．如图，AC，BD是菱形ABCD的对角线，E，F分别是边AB，AD的中点，连接EF，EO，FO，则下列结论错误的是( )
A.EF＝DO
B．EF⊥AO
C．四边形EOFA是菱形
D．四边形EBOF是菱形
2．在平面直角坐标系中，已知点A(0，2)，B(－2，0)，C(0，－2)，D(2，0)，则以这四个点为顶点的四边形ABCD是__ __(填形状).
3．如图，在四边形ABCD中，AC，BD交于O点，AD∥BC，BA＝BC，BD平分∠ABC.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)延长BC至点E，使DE∥AC，若BC＝5，BD＝8，求四边形ABED的周长．
PAGE第一章 特殊平行四边形
1 菱形的性质与判定
第1课时
核心回顾
1．菱形的定义：有一组__ __相等的__ __．
符号语言：∵四边形ABCD是__ __，且__ __．∴四边形ABCD是菱形．
2．菱形是__ __图形，有__ __条对称轴，是菱形__ __所在的直线，菱形是__ __对称图形，对称中心是菱形两条__ __的交点．
3．定理：菱形的四条边__ __．
定理：菱形的对角线互相__ __．
符号语言：∵四边形ABCD是__ __，
∴__ __，AC⊥BD.
4．菱形的面积等于：(1)底×高，
(2)两条对角线长__ __．
微点拨
1．菱形的定义的两个要素：
①是平行四边形；
②有一组邻边相等．
即菱形是一个平行四边形，然后增加一组邻边相等这个特殊条件．
2．菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质．
3．根据菱形对角线的特点，可以将菱形的问题转化成等腰三角形和直角三角形的问题．
基础必会
1．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )
A．对边分别平行
B．对角线垂直
C．对角线互相平分
D．对边分别相等
2．如图，四边形ABCD为菱形，则下列描述不一定正确的是( )
A．CA平分∠BCD
B．AC，BD互相平分
C．AC＝CD
D．∠ABD＋∠ACD＝90°
3．在菱形ABCD中，两条对角线AC＝10，BD＝24，则此菱形的边长为( )
A．14 B．25 C．26 D．13
4．已知一个菱形的两条对角线长分别为6 cm和8 cm，则这个菱形的面积为__ __cm2.
5．菱形的两邻角之比为1∶2，较短的对角线长为6 cm，则较长的对角线长为__ __ __．
6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为点E，若∠ADC＝120°，则∠AOE＝__ __．
7．如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P坐标是(3，4)，则顶点M，N的坐标分别是__ __．
8．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，且AE＝CF.
(1)求证：△ADE≌△CDF；
(2)若∠ADC＝150°，∠CDF＝50°，求∠EDB的度数．
能力提升
1．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，对角线AC＝6.若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为(C)
A．4 B．2.4 C．4.8 D．5
2．四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角度数，正方形ABCD变为菱形ABC′D′，若∠BAD′＝30°，且菱形ABC′D′的面积为16，则正方形ABCD的面积为__ __．
3．如图，E和F分别是菱形ABCD的边AB和AD的中点，且AB＝10，AC＝12.
(1)判断△OEF的形状，并说明理由．
(2)求线段EF的长．
PAGE第一章 特殊平行四边形
1 菱形的性质与判定
第1课时
核心回顾
1．菱形的定义：有一组__邻边__相等的__平行四边形__．
符号语言：∵四边形ABCD是__平行四边形__，且__AB＝BC__．∴四边形ABCD是菱形．
2．菱形是__轴对称__图形，有__两__条对称轴，是菱形__对角线__所在的直线，菱形是__中心__对称图形，对称中心是菱形两条__对角线__的交点．
3．定理：菱形的四条边__相等__．
定理：菱形的对角线互相__垂直__．
符号语言：∵四边形ABCD是__菱形__，
∴__AB＝BC＝CD＝AD__，AC⊥BD.
4．菱形的面积等于：(1)底×高，
(2)两条对角线长__乘积的一半__．
微点拨
1．菱形的定义的两个要素：
①是平行四边形；
②有一组邻边相等．
即菱形是一个平行四边形，然后增加一组邻边相等这个特殊条件．
2．菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质．
3．根据菱形对角线的特点，可以将菱形的问题转化成等腰三角形和直角三角形的问题．
基础必会
1．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是(B)
A．对边分别平行
B．对角线垂直
C．对角线互相平分
D．对边分别相等
2．如图，四边形ABCD为菱形，则下列描述不一定正确的是(C)
A．CA平分∠BCD
B．AC，BD互相平分
C．AC＝CD
D．∠ABD＋∠ACD＝90°
3．在菱形ABCD中，两条对角线AC＝10，BD＝24，则此菱形的边长为(D)
A．14 B．25 C．26 D．13
4．已知一个菱形的两条对角线长分别为6 cm和8 cm，则这个菱形的面积为__24__cm2.
5．菱形的两邻角之比为1∶2，较短的对角线长为6 cm，则较长的对角线长为__6__cm__．
6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为点E，若∠ADC＝120°，则∠AOE＝__60°__．
7．如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P坐标是(3，4)，则顶点M，N的坐标分别是__(5，0)，(8，4)__．
8．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，且AE＝CF.
(1)求证：△ADE≌△CDF；
(2)若∠ADC＝150°，∠CDF＝50°，求∠EDB的度数．
【解析】(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴∠A＝∠C，AB＝CB，AD＝DC，
在△ADE和△CDF中，，
∴△ADE≌△CDF(SAS)；
(2)∵△ADE≌△CDF，
∴∠ADE＝∠CDF，
∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝150°，
∴∠ADB＝∠ADC＝75°，
∵∠CDF＝50°，
∴∠EDB＝∠ADB－∠ADE＝∠ADB－∠CDF＝25°.
能力提升
1．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，对角线AC＝6.若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为(C)
A．4 B．2.4 C．4.8 D．5
2．四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角度数，正方形ABCD变为菱形ABC′D′，若∠BAD′＝30°，且菱形ABC′D′的面积为16，则正方形ABCD的面积为__32__．
3．如图，E和F分别是菱形ABCD的边AB和AD的中点，且AB＝10，AC＝12.
(1)判断△OEF的形状，并说明理由．
(2)求线段EF的长．
【解析】(1)△OEF是等腰三角形，理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD，
∵E，F分别是AB，AD的中点，
∴OE是△ABC的中位线，OF是△ACD的中位线，∴OE＝BC，OF＝CD，
∴OE＝OF，∴△OEF是等腰三角形；
(2)∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝AC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，∴∠AOB＝90°，
∴OB＝＝＝8，
∴BD＝2OB＝16，
∵E，F分别是AB，AD的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF＝BD＝8.
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