3 正方形的性质与判定
第1课时
微点拨
1．(1)正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．
(2)正方形既是矩形又是菱形．
(3)正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，还是特殊的菱形．
2．(1)正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的所有基本性质．
(2)一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°.两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．
基础必会
1．对角线相等且互相垂直的四边形一定是(D)
A．矩形
B．菱形
C．正方形
D．A，B，C答案都不对
2．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BE＝CF，则图中与∠AEB相等的角的个数是(C)
A.1 B．2 C．3 D．4
3．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O，B的坐标分别是(0，0)，(2，0)，则顶点C的坐标是(C)
A．(1，1) B．(－1，－1)
C．(1，－1) D．(－1，1)
4．如图所示，E是正方形ABCD的BC边的延长线上一点，若CE＝CA，AE交CD于F，则∠FAC＝__22.5__度．
5．如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E，F分别在边BC和CD上，则∠AEB＝__75__度．
6．如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝4，AE＝CF＝1，则四边形BEDF的周长是__4__．
7．如图，E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE，CE，并延长CE交AD于点F.
(1)求证：△ABE≌△CBE；
(2)若∠AEC＝140°，求∠DFE的度数．
解析:(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠ABE＝∠CBE＝∠ADB＝×90°＝45°，
在△ABE和△CBE中，
∴△ABE≌△CBE(SAS).
(2)∵△ABE≌△CBE，∴∠AEB＝∠CEB，又∵∠AEC＝140°，∴∠CEB＝70°，∵∠DEC＋∠CEB＝180°，∴∠DEC＝180°－∠CEB＝110°，
∵∠DFE＋∠ADB＝∠DEC，∴∠DFE＝∠DEC－∠ADB＝110°－45°＝65°.
能力提升
1．如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，则∠BEC为(D)
A．10° B．15° C．20° D．30°
2．如图，点E，F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O，下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF，其中正确的有(C)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，正方形ABCD的边长为2，连接AC，AE平分∠CAD交BC延长线于点E，过点A作AF⊥AE，交CB延长线于点F，则EF的长为____．
4．如图，在边长为8的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE＝6，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为__12__．
5．如图，将边长为5的正方形OACD放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点D的横坐标为3，求点A的坐标．
解析:如图，过点A作AB⊥x轴于B，过点D作DE⊥x轴于E，
∵四边形OACD是正方形，
∴OA＝OD，∠AOD＝90°，
∴∠DOE＋∠AOB＝90°，
又∵∠OAB＋∠AOB＝90°，
∴∠OAB＝∠DOE，
在△AOB和△ODE中，
，
∴△AOB≌△ODE(AAS)，
∴AB＝OE，OB＝DE，
∵点D的横坐标为3，AO＝OD＝5，
∴DE＝＝4，
∴AB＝3，OB＝4，
∴点A的坐标为(－4，3).
PAGE第一章 3正方形的性质与判定 第2课时
核心回顾
微点拨
1．正方形的判定除定义外，判定思路有两条：先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等(即矩形)；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直(即菱形).
2．矩形判定条件＋菱形判定条件＝正方形判定条件．
基础必会
1．下列命题中，正确的是( )
A．四边相等的四边形是正方形
B．四角相等的四边形是正方形
C．对角线垂直的平行四边形是正方形
D．对角线相等的菱形是正方形
2．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是( )
A．当AB＝BC时，它是菱形
B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当AC＝BD时，它是矩形
D．当∠ABC＝90°时，它是正方形
3．如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH的面积是( )
A．30 B．34 C．36 D．40
4．我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．已知四边形ABCD的中点四边形是正方形，对角线AC与BD的关系，下列说法正确的是( )
A．AC，BD相等且互相平分
B．AC，BD垂直且互相平分
C．AC，BD相等且互相垂直
D．AC，BD垂直且平分对角
5．将图1中两个三角形按图2所示的方式摆放，其中四边形ABCD为矩形，连接PQ，MN，甲、乙两人有如下结论：
甲：若四边形ABCD为正方形，则四边形PQMN必是正方形；
乙：若四边形PQMN为正方形，则四边形ABCD必是正方形．
下列判断正确的是( )
A．甲正确，乙不正确
B．甲不正确，乙正确
C．甲、乙都不正确
D．甲、乙都正确
6．如图，以边长为1的正方形的四边中点为顶点作四边形，再以所得四边形四边中点为顶点作四边形，…，依次作下去，图中所作的第三个四边形的周长为__ __；所作的第n个四边形的周长为__ __．
7．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠C＝90°，AB＝AD，AE⊥BC于点E，△BEA旋转后能与△DFA重合，若AE＝5 cm，则四边形AECF的面积为__ __ __．
8.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，点E是AD边上一点，过点B作BF∥EC，交AD的延长线于点F，连接BE，CF.
(1)求证：△BDF≌△CDE.
(2)若DE＝BC，求证：四边形BECF是正方形．
9．如图，在四边形AECF中，AE⊥EC，AF⊥FC.CE，CF分别是△ABC的内、外角平分线．
(1)求证：四边形AECF是矩形．
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明理由．
能力提升
1．如图，四边形ABCD中，AD＝DC，∠ADC＝∠ABC＝90°，DE⊥AB，若四边形ABCD的面积为16，则DE的长为( )
A．3 B．2 C．4 D．8
2．如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是( )
A.n B. n－1 C． D．
3．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD.其中正确的序号是__ __．
4．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，AB∥CD，AD∥BC，∠ABC＝90°.点E，F分别在边AB，AD上，CE与BF相交于点G，BE＝AF.线段BG的垂直平分线交BE于点H，且∠EHG＝54°.若∠EGH＝m°，则m＝__ __．
5．已知：如图，在四边形ABCD中，AB⊥AC，DC⊥AC，∠B＝∠D，点E，F分别是BC，AD的中点．
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)当AB与AC满足什么数量关系时，四边形AECF是正方形？请证明．
6．如图，已知菱形ABCD，点E，F是对角线BD所在直线上的两点，且∠AED＝45°，DF＝BE，连接CE，AF，CF，得四边形AECF.
(1)求证：四边形AECF是正方形；
(2)若BD＝4，BE＝3，求菱形ABCD的面积．
PAGE3 正方形的性质与判定
第1课时
微点拨
1．(1)正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．
(2)正方形既是矩形又是菱形．
(3)正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，还是特殊的菱形．
2．(1)正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的所有基本性质．
(2)一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°.两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．
基础必会
1．对角线相等且互相垂直的四边形一定是( )
A．矩形
B．菱形
C．正方形
D．A，B，C答案都不对
2．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BE＝CF，则图中与∠AEB相等的角的个数是( )
A.1 B．2 C．3 D．4
3．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O，B的坐标分别是(0，0)，(2，0)，则顶点C的坐标是( )
A．(1，1) B．(－1，－1)
C．(1，－1) D．(－1，1)
4．如图所示，E是正方形ABCD的BC边的延长线上一点，若CE＝CA，AE交CD于F，则∠FAC＝__ __度．
5．如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E，F分别在边BC和CD上，则∠AEB＝__ __度．
6．如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝4，AE＝CF＝1，则四边形BEDF的周长是__ __．
7．如图，E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE，CE，并延长CE交AD于点F.
(1)求证：△ABE≌△CBE；
(2)若∠AEC＝140°，求∠DFE的度数．
能力提升
1．如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，则∠BEC为( )
A．10° B．15° C．20° D．30°
2．如图，点E，F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O，下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF，其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，正方形ABCD的边长为2，连接AC，AE平分∠CAD交BC延长线于点E，过点A作AF⊥AE，交CB延长线于点F，则EF的长为__ __．
4．如图，在边长为8的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE＝6，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为__ __．
5．如图，将边长为5的正方形OACD放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点D的横坐标为3，求点A的坐标．
PAGE第一章 3正方形的性质与判定 第2课时
核心回顾
微点拨
1．正方形的判定除定义外，判定思路有两条：先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等(即矩形)；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直(即菱形).
2．矩形判定条件＋菱形判定条件＝正方形判定条件．
基础必会
1．下列命题中，正确的是(D)
A．四边相等的四边形是正方形
B．四角相等的四边形是正方形
C．对角线垂直的平行四边形是正方形
D．对角线相等的菱形是正方形
2．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是(D)
A．当AB＝BC时，它是菱形
B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当AC＝BD时，它是矩形
D．当∠ABC＝90°时，它是正方形
3．如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH的面积是(B)
A．30 B．34 C．36 D．40
4．我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．已知四边形ABCD的中点四边形是正方形，对角线AC与BD的关系，下列说法正确的是(C)
A．AC，BD相等且互相平分
B．AC，BD垂直且互相平分
C．AC，BD相等且互相垂直
D．AC，BD垂直且平分对角
5．将图1中两个三角形按图2所示的方式摆放，其中四边形ABCD为矩形，连接PQ，MN，甲、乙两人有如下结论：
甲：若四边形ABCD为正方形，则四边形PQMN必是正方形；
乙：若四边形PQMN为正方形，则四边形ABCD必是正方形．
下列判断正确的是(B)
A．甲正确，乙不正确
B．甲不正确，乙正确
C．甲、乙都不正确
D．甲、乙都正确
6．如图，以边长为1的正方形的四边中点为顶点作四边形，再以所得四边形四边中点为顶点作四边形，…，依次作下去，图中所作的第三个四边形的周长为____；所作的第n个四边形的周长为__4()n__．
7．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠C＝90°，AB＝AD，AE⊥BC于点E，△BEA旋转后能与△DFA重合，若AE＝5 cm，则四边形AECF的面积为__25__cm2__．
8.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，点E是AD边上一点，过点B作BF∥EC，交AD的延长线于点F，连接BE，CF.
(1)求证：△BDF≌△CDE.
(2)若DE＝BC，求证：四边形BECF是正方形．
【证明】(1)∵AD是BC边上的中线，AB＝AC，∴BD＝CD，
∵BF∥EC，∴∠DBF＝∠DCE，∵∠BDF＝∠CDE，∴△BDF≌△CDE(ASA).
(2)∵△BDF≌△CDE，∴BF＝CE，DE＝DF，
∵BF∥CE，∴四边形BECF是平行四边形，
∵AB＝AC，AD是中线，∴AD⊥BC，
∴平行四边形BECF是菱形，
∵DE＝BC，DE＝DF＝EF，
∴EF＝BC，∴菱形BECF是正方形，即四边形BECF是正方形．
9．如图，在四边形AECF中，AE⊥EC，AF⊥FC.CE，CF分别是△ABC的内、外角平分线．
(1)求证：四边形AECF是矩形．
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明理由．
解析:(1)∵CE，CF分别是△ABC的内、外角平分线，
∴∠ACE＋∠ACF＝×180°＝90°，
∵AE⊥CE，AF⊥CF，
∴∠AEC＝∠AFC＝90°，
∴四边形AECF是矩形．
(2)当△ABC满足∠ACB＝90°时，四边形AECF是正方形，
理由是：∵∠ACE＝∠ACB＝45°，
∵∠AEC＝90°，∴∠EAC＝45°＝∠ACE，
∴AE＝CE，
∵四边形AECF是矩形，
∴矩形AECF是正方形．
能力提升
1．如图，四边形ABCD中，AD＝DC，∠ADC＝∠ABC＝90°，DE⊥AB，若四边形ABCD的面积为16，则DE的长为(C)
A．3 B．2 C．4 D．8
2．如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是(B)
A.n B. n－1 C． D．
3．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD.其中正确的序号是__①③④__．
4．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，AB∥CD，AD∥BC，∠ABC＝90°.点E，F分别在边AB，AD上，CE与BF相交于点G，BE＝AF.线段BG的垂直平分线交BE于点H，且∠EHG＝54°.若∠EGH＝m°，则m＝__63__．
5．已知：如图，在四边形ABCD中，AB⊥AC，DC⊥AC，∠B＝∠D，点E，F分别是BC，AD的中点．
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)当AB与AC满足什么数量关系时，四边形AECF是正方形？请证明．
解析:(1)∵AB⊥AC，DC⊥AC，∴∠BAC＝∠ACD＝90°，
∵∠B＝∠D，AC＝CA，
∴△ABC≌△CDA(AAS)，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∵点E，F分别是BC，AD的中点，
∴BE＝BC，DF＝AD，∴BE＝DF，
在△ABE与△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(SAS)；
(2)当AB＝AC时，四边形AECF是正方形，
理由：∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵点E，F分别是BC，AD的中点，
∴EC＝BC，AF＝AD，
∴EC＝AF，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵∠BAC＝90°，点E是BC的中点，
∴AE＝BC＝EC，
∴平行四边形AECF是菱形，
∵AB＝AC，点E是BC的中点，
∴AE⊥BC，即∠AEC＝90°，
∴菱形AECF是正方形．
6．如图，已知菱形ABCD，点E，F是对角线BD所在直线上的两点，且∠AED＝45°，DF＝BE，连接CE，AF，CF，得四边形AECF.
(1)求证：四边形AECF是正方形；
(2)若BD＝4，BE＝3，求菱形ABCD的面积．
解析:(1)连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，
∵BE＝DF，
∴BE＋OB＝DF＋DO，∴FO＝EO，
∴EF与AC垂直且互相平分，
∴四边形AECF是菱形，
∴∠AEF＝∠CEF，又∵∠AED＝45°，
∴∠AEC＝90°，∴菱形AECF是正方形；
(2)∵BD＝4，BE＝3，∴FD＝3，∴EF＝10，∴AC＝10，∴菱形ABCD的面积＝
AC·BD＝×10×4＝20.
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