2 用配方法求解一元二次方程
第1课时
核心回顾
用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：
(1)移——移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为__ __；
(2)配——配方，方程两边都加上__ __的平方，使原方程变为(x＋m)2＝n的形式；
(3)开——如果方程的右边是非负数，即n≥0，就可左右两边开平方得__ __；
(4)解——方程的解为x＝__ __．
微点拨
1．利用直接开平方求解一元二次方程时，不要漏掉方程的负；
2．将方程转化为(x＋m)2＝n的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当n≥0时，两边开平方便可求出它的根．
基础必会
1．老师出示问题：“解方程x2－16＝0”，四位同学给出了以下答案：
小琪：x＝4；子航：x1＝x2＝4；一帆：x1＝x2＝－4；萱萱：x＝±4.其中答案正确的是( )
A．小琪 B．子航 C．一帆 D．萱萱
2．方程(x－3)2＝1的解为( )
A．x＝1或x＝－1
B．x＝4或x＝2
C．x＝4
D．x＝2
3．用配方法解下列方程时，配方有错误的是( )
A．x2－2x－99＝0化为(x－1)2＝100
B．x2＋8x＋9＝0化为(x＋4)2＝25
C．2t2－7t－4＝0化为＝
D．3x2－4x－2＝0化为＝
4．若一元二次方程x2＋bx＋5＝0配方后为(x－3)2＝k，则b，k的值分别为( )
A．－6，4 B．6，4
C．6，13 D．－6，13
5．若(a2＋b2－3)2＝25，则a2＋b2＝( )
A．8或－2 B．－2
C．8 D．2或－8
6．一元二次方程9(x－1)2－4＝0的解是__ _．
7．若一元二次方程(x＋6)2＝5可转化为两个一次方程，其中一个一次方程是x＋6＝，则另一个一次方程是__ __．
8．将下列各方程写成(x＋m)2＝n的形式．
(1)x2－2x＋1＝0.
(2)x2＋8x＋4＝0.
(3)x2－x－6＝0.
9．解下列方程．
(1)4x2－9＝0.
(2)(x＋1)2＝16.
能力提升
1．已知三角形的两边长是4和6，第三边的长是方程(x－3)2＝4的根，则此三角形的周长为( )
A．17 B．11
C．15 D．11或15
2．给出一种运算：对于函数y＝xn，规定y′＝nxn－1.例如：若函数y＝x4，则有y′＝4x3.已知函数y＝x3，那么方程y′＝18的解是( )
A．x1＝，x2＝－
B．x1＝6，x2＝－6
C．x1＝3，x2＝－3
D．x1＝3，x2＝－3
3．方程(x＋1)(x－3)＝－4的解为__ __．
4．在实数范围内定义运算“ INCLUDEPICTURE "星.TIF" ”，其规则为“a INCLUDEPICTURE "星.TIF" b＝a2－b2”，根据这个规则，方程(x＋2) INCLUDEPICTURE "星.TIF" 5＝0的解为__ __．
5．用配方法解下列方程．
(1)2x2＋3x－1＝0.
(2)(x＋3)(x－1)＝12.
6．(1)用配方法解方程：(x＋1)(x－1)＋2(x＋2)＝9；
(2)若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋3x＋k2－1＝0有一个解为x＝0，求k的值．
PAGE2用配方法求解一元二次方程
第2课时
核心回顾
用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤：→→→→
注：一元二次方程的二次项系数化1的方法是：方程两边同时除以__二次项系数__．
微点拨
1．移项的目的是将二次项和一次项调整到等号的左边，常数项调整到等号右边．
2．配方的原理是根据公式a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2进行的．
3．开平方的原理是平方根的定义，需要注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数．
基础必会
1．把方程x2－x－5＝0，化成(x＋m)2＝n的形式得(C)
A．2＝ B．2＝
C．2＝ D．2＝
2．用配方法解下列方程时，配方错误的是(D)
A．2x2－3x－2＝0化为＝
B．2t2－4t＋2＝0化为(t－1)2＝0
C．4y2＋4y－1＝0化为＝
D．x2－x＋＝0化为(x－2)2＝14
3．若方程25x2－(k－1)x＋1＝0的左边可以写成一个完全平方式，则k的值为(A)
A．－9或11 B．－7或8
C．－8或9 D．－6或7
4．在解方程2x2＋4x＋1＝0时，对方程进行配方，对于两人的做法，说法正确的是(A)
小思：2x2＋4x＝－1x2＋2x＝－x2＋2x＋1＝－＋1(x＋1)2＝ 小博：2x2＋4x＝－14x2＋8x＝－24x2＋8x＋4＝－2＋4(2x＋2)2＝2
A.两人都正确
B．小思正确，小博不正确
C．小思不正确，小博正确
D．两人都不正确
5．已知M＝3x2－2x＋4，N＝2x2＋4x－5，则代数式M，N的大小关系是(A)
A．M≥N B．M≤N
C．M＞N D．M＜N
6．用配方法解一元二次方程－3x2＋4x＋1＝0的第一步是把方程的两边同时除以__－3__．
7．已知y1＝(x＋3)2，y2＝2x＋5.当x＝__－2__时，y1＝y2.
8．用配方法求一元二次方程(2x＋3)(x－6)＝16的实数根．
解析:原方程化为一般形式为2x2－9x－34＝0，x2－x＝17，x2－x＋＝17＋，＝，x－＝±，
所以x1＝，x2＝.
9．用适当的方法解方程．
(1)2(x＋2)2－8＝0；
(2)2x2＋x－＝0.
解析:(1)原式可化为(x＋2)2＝4，x＋2＝±2，
所以x1＝0，x2＝－4；
(2)原式可化为x2＋x＝，x2＋x＋＝＋，＝，x＋＝±.
所以x1＝，x2＝.
能力提升
1．用配方法解下列方程时，配方有错误的是(D)
A．x2－6x＋4＝0化为(x－3)2＝5
B．2m2＋m－1＝0化为＝
C．3y2－4y－2＝0化为＝
D．2t2－3t－2＝0化为＝
2．若x，y满足x2＋y2＋＝2x＋y，则＋值为(A)
A．3 B． C．2 D．
3．连续两个整数的乘积为12，则这两个整数中较小的一个是(D)
A．3 B．－4
C．－3或4 D．－4或3
4．代数式－2x2－4x＋1.当x＝__－1__时，它的最大值是__3__．
5．先阅读，再解决问题，例题：若m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，求m和n的值．
解：∵m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，
∴m2＋2mn＋n2＋n2－6n＋9＝0，
∴(m＋n)2＋(n－3)2＝0，
∴m＋n＝0，n－3＝0，
∴n＝3，m＝－3.
问题：
(1)若x2＋2y2－2xy＋4y＋4＝0，求xy的值；
(2)已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2＋b2－6a－6b＋18＋|3－c|＝0，请问△ABC是什么形状的三角形？
(3)根据以上的方法试说明代数式：2x2＋8x＋y2－8y＋25的值一定是正数．
解析:(1)∵x2＋2y2－2xy＋4y＋4＝0，
∴x2－2xy＋y2＋y2＋4y＋4＝0，
∴(x－y)2＋(y＋2)2＝0，
∴x－y＝0，y＋2＝0，
∴x＝y＝－2，
∴xy＝(－2)－2＝.
(2)a2＋b2－6a－6b＋18＋|3－c|
＝(a－3)2＋(b－3)2＋|3－c|＝0，
∴a＝b＝c＝3，
∴△ABC是等边三角形．
(3)2x2＋8x＋y2－8y＋25＝2(x2＋4x＋4)＋y2－8y＋16＋1＝2(x＋2)2＋(y－4)2＋1，
∵2(x＋2)2＋(y－4)2＋1≥1，
∴原式的值一定为正数．
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第2课时
核心回顾
用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤：→→→→
注：一元二次方程的二次项系数化1的方法是：方程两边同时除以__ __．
微点拨
1．移项的目的是将二次项和一次项调整到等号的左边，常数项调整到等号右边．
2．配方的原理是根据公式a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2进行的．
3．开平方的原理是平方根的定义，需要注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数．
基础必会
1．把方程x2－x－5＝0，化成(x＋m)2＝n的形式得( )
A．2＝ B．2＝
C．2＝ D．2＝
2．用配方法解下列方程时，配方错误的是( )
A．2x2－3x－2＝0化为＝
B．2t2－4t＋2＝0化为(t－1)2＝0
C．4y2＋4y－1＝0化为＝
D．x2－x＋＝0化为(x－2)2＝14
3．若方程25x2－(k－1)x＋1＝0的左边可以写成一个完全平方式，则k的值为( )
A．－9或11 B．－7或8
C．－8或9 D．－6或7
4．在解方程2x2＋4x＋1＝0时，对方程进行配方，对于两人的做法，说法正确的是( )
小思：2x2＋4x＝－1x2＋2x＝－x2＋2x＋1＝－＋1(x＋1)2＝ 小博：2x2＋4x＝－14x2＋8x＝－24x2＋8x＋4＝－2＋4(2x＋2)2＝2
A.两人都正确
B．小思正确，小博不正确
C．小思不正确，小博正确
D．两人都不正确
5．已知M＝3x2－2x＋4，N＝2x2＋4x－5，则代数式M，N的大小关系是( )
A．M≥N B．M≤N
C．M＞N D．M＜N
6．用配方法解一元二次方程－3x2＋4x＋1＝0的第一步是把方程的两边同时除以__ __．
7．已知y1＝(x＋3)2，y2＝2x＋5.当x＝__ __时，y1＝y2.
8．用配方法求一元二次方程(2x＋3)(x－6)＝16的实数根．
9．用适当的方法解方程．
(1)2(x＋2)2－8＝0；
(2)2x2＋x－＝0.
能力提升
1．用配方法解下列方程时，配方有错误的是( )
A．x2－6x＋4＝0化为(x－3)2＝5
B．2m2＋m－1＝0化为＝
C．3y2－4y－2＝0化为＝
D．2t2－3t－2＝0化为＝
2．若x，y满足x2＋y2＋＝2x＋y，则＋值为( )
A．3 B． C．2 D．
3．连续两个整数的乘积为12，则这两个整数中较小的一个是( )
A．3 B．－4
C．－3或4 D．－4或3
4．代数式－2x2－4x＋1.当x＝__ __时，它的最大值是__ __．
5．先阅读，再解决问题，例题：若m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，求m和n的值．
解：∵m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，
∴m2＋2mn＋n2＋n2－6n＋9＝0，
∴(m＋n)2＋(n－3)2＝0，
∴m＋n＝0，n－3＝0，
∴n＝3，m＝－3.
问题：
(1)若x2＋2y2－2xy＋4y＋4＝0，求xy的值；
(2)已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2＋b2－6a－6b＋18＋|3－c|＝0，请问△ABC是什么形状的三角形？
(3)根据以上的方法试说明代数式：2x2＋8x＋y2－8y＋25的值一定是正数．
PAGE2 用配方法求解一元二次方程
第1课时
核心回顾
用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：
(1)移——移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为__常数项__；
(2)配——配方，方程两边都加上__一次项系数一半__的平方，使原方程变为(x＋m)2＝n的形式；
(3)开——如果方程的右边是非负数，即n≥0，就可左右两边开平方得__x＋m＝±__；
(4)解——方程的解为x＝__－m±__．
微点拨
1．利用直接开平方求解一元二次方程时，不要漏掉方程的负；
2．将方程转化为(x＋m)2＝n的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当n≥0时，两边开平方便可求出它的根．
基础必会
1．老师出示问题：“解方程x2－16＝0”，四位同学给出了以下答案：
小琪：x＝4；子航：x1＝x2＝4；一帆：x1＝x2＝－4；萱萱：x＝±4.其中答案正确的是(D)
A．小琪 B．子航 C．一帆 D．萱萱
2．方程(x－3)2＝1的解为(B)
A．x＝1或x＝－1
B．x＝4或x＝2
C．x＝4
D．x＝2
3．用配方法解下列方程时，配方有错误的是(B)
A．x2－2x－99＝0化为(x－1)2＝100
B．x2＋8x＋9＝0化为(x＋4)2＝25
C．2t2－7t－4＝0化为＝
D．3x2－4x－2＝0化为＝
4．若一元二次方程x2＋bx＋5＝0配方后为(x－3)2＝k，则b，k的值分别为(A)
A．－6，4 B．6，4
C．6，13 D．－6，13
5．若(a2＋b2－3)2＝25，则a2＋b2＝(C)
A．8或－2 B．－2
C．8 D．2或－8
6．一元二次方程9(x－1)2－4＝0的解是__x1＝，x2＝__．
7．若一元二次方程(x＋6)2＝5可转化为两个一次方程，其中一个一次方程是x＋6＝，则另一个一次方程是__x＋6＝－__．
8．将下列各方程写成(x＋m)2＝n的形式．
(1)x2－2x＋1＝0.
(2)x2＋8x＋4＝0.
(3)x2－x－6＝0.
解析:(1)直接用完全平方公式可得，(x－1)2＝0.
(2)移项得，x2＋8x＝－4，方程两边同时加上16得，x2＋8x＋16＝12，即(x＋4)2＝12.
(3)移项得，x2－x＝6，两边同时加上，得x2－x＋＝，即＝.
9．解下列方程．
(1)4x2－9＝0.
(2)(x＋1)2＝16.
解析:(1)x2＝，x＝±，所以x1＝，x2＝－.
(2)x＋1＝±4，所以x1＝3，x2＝－5.
能力提升
1．已知三角形的两边长是4和6，第三边的长是方程(x－3)2＝4的根，则此三角形的周长为(C)
A．17 B．11
C．15 D．11或15
2．给出一种运算：对于函数y＝xn，规定y′＝nxn－1.例如：若函数y＝x4，则有y′＝4x3.已知函数y＝x3，那么方程y′＝18的解是(A)
A．x1＝，x2＝－
B．x1＝6，x2＝－6
C．x1＝3，x2＝－3
D．x1＝3，x2＝－3
3．方程(x＋1)(x－3)＝－4的解为__x1＝x2＝1__．
4．在实数范围内定义运算“ INCLUDEPICTURE "星.TIF" ”，其规则为“a INCLUDEPICTURE "星.TIF" b＝a2－b2”，根据这个规则，方程(x＋2) INCLUDEPICTURE "星.TIF" 5＝0的解为__x1＝3，x2＝－7__．
5．用配方法解下列方程．
(1)2x2＋3x－1＝0.
(2)(x＋3)(x－1)＝12.
解析:(1)移项，化二次项系数为1，得x2＋x＝，
配方，得x2＋x＋＝＋，
即＝.
两边开平方，得x＋＝±，
所以x1＝－＋，x2＝－－.
(2)将原方程整理，得x2＋2x＝15，
两边都加上12，得x2＋2x＋12＝15＋12，
即(x＋1)2＝16，
开平方，得x＋1＝±4，
即x＋1＝4，或x＋1＝－4，
∴x1＝3，x2＝－5.
6．(1)用配方法解方程：(x＋1)(x－1)＋2(x＋2)＝9；
(2)若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋3x＋k2－1＝0有一个解为x＝0，求k的值．
解析:(1)整理得：x2＋2x＝6，
x2＋2x＋1＝6＋1，即(x＋1)2＝7，
∴x＋1＝±，
∴x1＝－1＋，x2＝－1－；
(2)将x＝0代入(k－1)x2＋3x＋k2－1＝0，
∴k2－1＝0，
∴k＝±1，
∵k－1≠0，
∴k＝－1.
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