第二章 3用公式法求解一元二次方程 第2课时
核心回顾
已知一个几何图形的面积，求其边长(底或高)时，通常依据几何图形的__面积公式__列方程求解．设其中一边为未知数，并用其表示另一边．
微点拨
1．结合图形分析数量关系是解决面积等几何问题的关键．
2．注意检验一元二次方程的根是否符合题意．
基础必会
1．某广场有一块正方形的空地，在正中间修建一个圆形喷泉，在四个角修建四个四分之一圆形的水池，其余部分种植花草．若喷泉和水池的半径都相同，喷泉边缘到空地边界的距离为3 m，种植花草的区域的面积为100 m2，设水池半径为x m，可列出方程(D)
A．(2x＋3)2－πx2＝100
B．(x＋6)2－πx2＝100
C．(2x＋3)2－2x2＝100
D．(2x＋6)2－2πx2＝100
2．如图，学校建一长方形自行车棚，一边靠墙(墙长18米)，另三边用总长50米的栏杆围成，留2米宽的门，若想建成面积为240平方米的自行车棚，则车棚垂直于墙的一边的长为(B)
A．6米 B．20米
C．20米或6米 D．不存在
3．某商店以每件120元的价格购进一批衣服，在销售一定数量的衣服后发现，当售价为150元和180元时，盈利相同，为了尽快销售完，衣服的售价应定为__150元__．
4．小刚准备进行如下操作试验：把一根长为80 cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．要使这两个正方形的面积之和等于272 cm2，小刚该怎么剪？
解析:设围成第一个正方形的边长为x cm，则围成第二个正方形的边长为cm，依题意，得：x2＋＝272，解得x1＝4，x2＝16，
∴4x＝64或16，80－4x＝16或64.
答：小刚应该将铁丝剪成16 cm和64 cm的两段．
5．某农场要建立一个长方形的养鸡场，养鸡场的一边靠墙(墙长25 m)，另三边用木栏围成，木栏长40 m．设平行于墙的边长为x m，养鸡场的面积为S.试说明S能达到180 m2吗？能达到250 m2吗？(参考数据：≈3.2)
解析:由题意可知，S＝x .当S＝180时，有x ＝180，整理得：x2－40x＋360＝0，解得：x1＝20＋2(不合题意，舍去)，x2＝20－2；∴养鸡场面积能达到180 m2.
当S＝250时，有x ＝250，整理得：x2－40x＋500＝0，
∵Δ＝(－40)2－4×1×500＝－400＜0，
∴原方程无实数解，
∴面积不能达到250 m2.
能力提升
1．如图，在宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为540 m2，则道路的宽为(C)
A．5 m B．3 m
C．2 m D．2 m或5 m
2．如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，则人行道的宽度为__1__米.
3．矩形ABCD面积为12，周长为14，则对角线AC的长为__5__．
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，点P从点A出发沿AC以1 cm/s的速度向点C移动，同时点Q从C点出发沿CB以2 cm/s的速度向点B移动．当Q运动到B点时，P，Q停止运动，设点P运动的时间为t s.
(1)t为何值时，△PCQ的面积等于5 cm2
(2)点P，Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
解析:(1)由题意得，AP＝t cm，PC＝(6－t)cm，CQ＝2t cm，则×2t(6－t)＝5.
整理，得t2－6t＋5＝0，解得t1＝1，t2＝5(舍).所以P，Q同时出发，1 s时可使△PCQ的面积为5 cm2.
(2)不存在，理由如下：
由题意得：S△ABC＝·AC·BC＝×6×8＝24(cm2)，即×2t×(6－t)＝×24，
整理得：t2－6t＋12＝0，Δ＝(－6)2－4×12＝－12＜0，该方程无实数解，
所以，不存在使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半的时刻．
PAGE3 用公式法求解一元二次方程
第1课时
核心回顾
1.
2．当b2－4ac≥0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根可写成x＝____．
微点拨
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1．把方程化为一般形式，确定a，b，c的值．
2．求出Δ＝b2－4ac的值．
3．当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根，即x1＝，
x2＝.
当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，即x1＝x2＝－.
当Δ<0时，方程没有实数根．
基础必会
1．用公式法解一元二次方程3x2－4x＝8时，化方程为一般式，其中的a，b，c依次为(B)
A．3，－4，8 B．3，－4，－8
C．3，4，－8 D．3，4，8
2．用公式法解方程x2－4x－2＝0，其中b2－4ac的值是(B)
A．16 B．24 C．8 D．4
3．一元二次方程x2－5x＋6＝0的根的情况是(B)
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断
4．若关于x的一元二次方程(m＋2)x2－2x＋1＝0没有实数根，则m的取值范围是(B)
A．m＜－1且m≠－2
B．m＞－1
C．m≤1且m≠－2
D．m＞3
5．若关于x的方程(k－1)x2＋2kx＋k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是__k＞0且k≠1__．
6．一元二次方程(x－2)(x＋3)－2(x－1)2＝－5的解为__x1＝，x2＝__．
7．已知a，b，c是△ABC的三条边长，且方程(a2＋b2)x2－2cx＋1＝0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．
解析:∵方程(a2＋b2)x2－2cx＋1＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝(－2c)2－4(a2＋b2)＝0，
即4(c2－a2－b2)＝0，
∴c2－a2－b2＝0，即c2＝a2＋b2，
∵a，b，c是△ABC的三边，
∴△ABC是直角三角形．
8．用公式法解下列方程：
(1)x2－6x－4＝0.
(2)4x2－3x－5＝x－2.
(3)3x(x－3)＝2(x－1)(x＋1).
解析:(1)这里a＝1，b＝－6，c＝－4，
∵Δ＝36＋16＝52，
∴x＝＝3±.
(2)方程整理得：4x2－4x－3＝0，这里a＝4，b＝－4，c＝－3，
∵Δ＝16＋48＝64，
∴x＝，解得：x1＝，x2＝－.
(3)方程整理得：x2－9x＋2＝0，
∵Δ＝81－8＝73，∴x＝.
∴x1＝，x2＝.
能力提升
1．已知α是一元二次方程x2－x－1＝0较大的根，则下列对α值估计正确的是(B)
A．2＜α＜3 B．1.5＜α＜2
C．1＜α＜1.5 D．0＜α＜1
2．定义：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是(A)
A．a＝c B．a＝b
C．b＝c D．a＝b＝c
3．已知关于x的一元二次方程(x－3)(x－2)＝m2.
(1)求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．
解析:(1)∵关于x的一元二次方程(x－3)(x－2)＝m2，
∴x2－5x＋6－m2＝0，
∴Δ＝25－4(6－m2)＝1＋4m2＞0，
∴对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；
(2)由题知方程的一个根是1，
则(1－3)×(1－2)＝m2，m2＝2，m＝±，原方程变形为x2－5x＋4＝0，a＝1，b＝－5，c＝4，x＝，x1＝1，x2＝4，
则方程的另一个根为4.
PAGE第二章 3用公式法求解一元二次方程 第2课时
核心回顾
已知一个几何图形的面积，求其边长(底或高)时，通常依据几何图形的__ __列方程求解．设其中一边为未知数，并用其表示另一边．
微点拨
1．结合图形分析数量关系是解决面积等几何问题的关键．
2．注意检验一元二次方程的根是否符合题意．
基础必会
1．某广场有一块正方形的空地，在正中间修建一个圆形喷泉，在四个角修建四个四分之一圆形的水池，其余部分种植花草．若喷泉和水池的半径都相同，喷泉边缘到空地边界的距离为3 m，种植花草的区域的面积为100 m2，设水池半径为x m，可列出方程( )
A．(2x＋3)2－πx2＝100
B．(x＋6)2－πx2＝100
C．(2x＋3)2－2x2＝100
D．(2x＋6)2－2πx2＝100
2．如图，学校建一长方形自行车棚，一边靠墙(墙长18米)，另三边用总长50米的栏杆围成，留2米宽的门，若想建成面积为240平方米的自行车棚，则车棚垂直于墙的一边的长为( )
A．6米 B．20米
C．20米或6米 D．不存在
3．某商店以每件120元的价格购进一批衣服，在销售一定数量的衣服后发现，当售价为150元和180元时，盈利相同，为了尽快销售完，衣服的售价应定为__ __．
4．小刚准备进行如下操作试验：把一根长为80 cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．要使这两个正方形的面积之和等于272 cm2，小刚该怎么剪？
5．某农场要建立一个长方形的养鸡场，养鸡场的一边靠墙(墙长25 m)，另三边用木栏围成，木栏长40 m．设平行于墙的边长为x m，养鸡场的面积为S.试说明S能达到180 m2吗？能达到250 m2吗？(参考数据：≈3.2)
能力提升
1．如图，在宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为540 m2，则道路的宽为( )
A．5 m B．3 m
C．2 m D．2 m或5 m
2．如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，则人行道的宽度为__ __米.
3．矩形ABCD面积为12，周长为14，则对角线AC的长为__ __．
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，点P从点A出发沿AC以1 cm/s的速度向点C移动，同时点Q从C点出发沿CB以2 cm/s的速度向点B移动．当Q运动到B点时，P，Q停止运动，设点P运动的时间为t s.
(1)t为何值时，△PCQ的面积等于5 cm2
(2)点P，Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
PAGE3 用公式法求解一元二次方程
第1课时
核心回顾
1.
2．当b2－4ac≥0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根可写成x＝____．
微点拨
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1．把方程化为一般形式，确定a，b，c的值．
2．求出Δ＝b2－4ac的值．
3．当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根，即x1＝，
x2＝.
当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，即x1＝x2＝－.
当Δ<0时，方程没有实数根．
基础必会
1．用公式法解一元二次方程3x2－4x＝8时，化方程为一般式，其中的a，b，c依次为( )
A．3，－4，8 B．3，－4，－8
C．3，4，－8 D．3，4，8
2．用公式法解方程x2－4x－2＝0，其中b2－4ac的值是( )
A．16 B．24 C．8 D．4
3．一元二次方程x2－5x＋6＝0的根的情况是( )
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断
4．若关于x的一元二次方程(m＋2)x2－2x＋1＝0没有实数根，则m的取值范围是( )
A．m＜－1且m≠－2
B．m＞－1
C．m≤1且m≠－2
D．m＞3
5．若关于x的方程(k－1)x2＋2kx＋k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是__ __．
6．一元二次方程(x－2)(x＋3)－2(x－1)2＝－5的解为__ __．
7．已知a，b，c是△ABC的三条边长，且方程(a2＋b2)x2－2cx＋1＝0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．
8．用公式法解下列方程：
(1)x2－6x－4＝0.
(2)4x2－3x－5＝x－2.
(3)3x(x－3)＝2(x－1)(x＋1).
能力提升
1．已知α是一元二次方程x2－x－1＝0较大的根，则下列对α值估计正确的是( )
A．2＜α＜3 B．1.5＜α＜2
C．1＜α＜1.5 D．0＜α＜1
2．定义：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是( )
A．a＝c B．a＝b
C．b＝c D．a＝b＝c
3．已知关于x的一元二次方程(x－3)(x－2)＝m2.
(1)求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．
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