3.1 图形的平移(二)
一、问题展示：
平移中的坐标变化：在平面直角坐标中，图形平移前后对应点的坐标变化规律（1）若图形向右（或向左）平移a（a＞0）个单位长度，则各点的纵坐标 ，横坐标分别加（或减）a；（2）若图形向上（或向下）平移a（a＞0）个单位长度，则各点的横坐标 ，纵坐标分别加（或减）a；（3）若图形先向右（或向左）平移a（a＞0）个单位长度，再向上（或向下）平移m(m＞0)个单位长度，则各点的横坐标分别加（或减） ，纵坐标分别加（或减） .
二、基础练习：
1．(2013.湖南湘西)在平面直角坐标系中，将点A(-2,3)向右平移3个单位长度后，那么平移后对应点A1的坐标是 .
2．在平面直角坐标系中，线段A1B1是由线段AB平移得到的，已知A.B两点的坐标分别为
（-2，3），（-3，1），若点A1的坐标为（3，4），则点B1的坐标为 .
三、例题讲解：
例1： 如图中的鱼是将坐标为（0，0），（5，4），（3，0），（5，1），（5，－1），（3，0），（4，－2），（0，0）的点用线段依次连接而成的“鱼”，将这条“鱼”向右平移5个单位长度.
（1）画出平移后的“新鱼”；
（2）在图中尽量多选取几组对应点，并将它们的坐标填入下表：
原来的“鱼” （ ， ） （ ， ） （ ， ） （ ， ）
向右平移5个单位长度的“新鱼” （ ， ） （ ， ） （ ， ） （ ， ）
（3）你发现对应点的坐标之间有什么关系？
如果将原来的“鱼”向左平移4个单位长度呢？如果将上图中的“鱼”向上平移3个单位长度，那么平移后的两条“鱼”中，对应点的坐标之间有什么关系？如果向下平移2个单位长度呢？
例2：将上图中“鱼”的每个“顶点”的纵坐标保持不变，横坐标分别加3，再将得到的点用线段依次接起来，从而画出一条“新鱼”，这条“新鱼”与原来的“鱼”相比有什么变化？如果纵坐标保持不变，横坐标分别减2呢？
（2）将图中的每个“顶点”的横坐标保持不变，纵坐标分别加3，所得到的“新鱼”与原来“鱼”的相比又有什么变化？如果横坐标不变，纵坐标分别减2呢？
四、课堂检测：
1．(2012年山东青岛)如图6－2－10，将四边形ABCD先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，那么点A的对应点A′的坐标是( )
A．(6,1) B．(0,1) C．(0，－3) D．(6，－3)
2．四边形ABCD的顶点坐标分别是A(0,3),B(-2,0),C(0,-3),D(3,0)
（1）将四边形ABCD向右平移6个单位长度，得到四边形A1B1C1D1,写出四边形A1B1C1D1,各顶点的坐标；
（2）将四边形A1B1C1D1,向上平移6个单位长度，得四边形A2B2C2D2,写出四边形A2B2C2D2各顶点的坐标.
3．（1）将上题中的四边形A2B2C2D2各顶点的纵坐标不变，横坐标分别减4，得到四边形A3B3C3D3,它与四边形A2B2C2D2相比有什么变化？
（2）将四边形A3B3C3D3各顶点的横坐标不就，纵坐标分别减鱼4，得到四边形A4B4C4D4,它四边形A3B3C3D3相比有什么变化？3．3 图形的旋转
一、问题展示：
1．成中心对称的两个图形：如果把一个图形绕某一点旋转 ，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于 或 ，这个点叫做他们的 ．这两个图形关于一个点对称可以简称为两个图形成 ．
性质：成叫心对称的两个图形中，对应点所连线段经过 ，且被对称中心 ．
2．方法：中心对称图形上的每一组对应点所连成的线段都被对称中心平分。该性质是中心对称作图的重要依据．
二、基础练习：
1．（2013 郴州）下列图案中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2013，娄底）下列图形中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3．（2013 铁岭）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
三、例题讲解：
例1：如图所示，已知△ABC和△ABC外一点O,作△A1B1C1,使其与△ABC关于点O成中心对称．
总结：中心对称的作图是中心对称图形性质的应用，作一个图形关于某点的对称图形，关键是正确作出特殊点的对称点．
例2：如图，点O是线段AE的中点，以点O为对称中心，画出与五边形ABCDE成中心对称的图形．
四、课堂检测：
1.（2013 达州）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
2.（2013 枣庄）在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正
方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，涂黑的小正方形
的序号是 ．
3.一块方角形钢板如图所示，请你根据中心对称的性质用一条下线将它分为面积相等的两部分（不写作法，保 ，在图中直接画出），你有其他的分割方法吗？请你在备用图中把它画出来．
4. 如图，在4×3的网格上，由个数相同的白色方块与黑色方块组成一幅图案，请仿照此图图案，在下列网格中分别设计符合要求的图案．（注：不得与原图案相同，黑白方块的个数要相同）
（1）是中心对称图形，又是中心对称图形
（2）是轴对称图形，但不是中心对称图形
（3）是中心对称图形但不是轴对称图形
第
③
④
①
②
第2题图3．2 图形的旋转（二）
一、问题展示：
1．一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离 ，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于 ；对应线段 ，对应角 ．
2．确定一个图旋转后的位置，需要哪些条件？
二、基础练习：
1. 确定一个图形旋转后的位置，不需要的条件是（ ）
A.图形原来的位置 B.原图形的面积
C.旋转中心及旋转方向 D.旋转角
2. 如图所示，△ABC、△ACD、△ADE是三个全等的等边三角形，
那么△ABC绕着顶点A按逆时针方向旋转 度才能与△ADE完全重合．
3. (2013.湖南衡阳)如图，在直角△AOB中，∠AOB=30°,将△AOB
绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1,则∠A1OB= °．
4. (2013.湖北荆门)在平面直角坐标系中，线段OP的两个端点坐标
分别是O(0，0),P(4,3).将线段OP绕点O逆时针旋转90得到OP1
位置，则点P1的坐标为（ ）
A.(3,4) B(-4,3) C.(-3,4) D.(4,-3)
5.（2013．山东聊城）如图，在等边△ABC中，AB=6,D是BC的中点，
将△ABD绕点A旋转后得到△ACE,那么线段DE的长度为 ．
三、例题讲解
例1： 在右图中，画出线段AB绕点A按顺时针方向旋转60°后的线段．
例2：如图，△ABC绕点O按逆时针方向旋转后，顶点A旋转到了点D,
（1）指出这一旋转的旋转角
（2）画出旋转后的三角形．
四、课堂检测
1.在图中画出线段AB绕点O按顺时针方向旋转50°后的线段．
2.如图，△ABC为等边三角形，点O是△ABC角平分线的交点。将△ABC绕点O按逆时针方向旋转，分别画出旋转30°，60°，90°后的图形．
3. (2013.广西钦州)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都是在格点上，点
A的坐标为（2，4），请解答下列问题：
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1,并写出点A1的坐标；
（2）画出△A1B1C1绕原点O旋转180°后得到的△A2B2C2,并写
出点A2的坐标．
4.如图，在△ABC中，AB=AC,请你用两个与△ABC全等的三角
形拼成一个四边形，并说明在你拼成的图形中，其中一个三角形经过怎样运动变化就可以得到另一个三角形．3．2 图形的旋转（一）
一、问题展示：
1．旋转的概念：在平面内，将一个图形绕一个 按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为 ，这个定点称为 ，转动的角称为 。旋转不改变图形的 和 ．
2．旋转的性质：一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离 ，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于 ；对应线段 ，对应角 ．
二、基础练习：
1.如图，将△A0B绕点O按顺时针方向旋转95°得到△COD。
（1）如果∠AOB=75°,BO=3㎝,则∠DOC= ,
∠AOD= ,OD= ;
（2）如果∠AOD=15°,AB=4㎝,则∠DOC= ,CD= .
2. 等腰三角形ABC中，∠C=90°，BC=2㎝,如果以AC的中点为旋转中心，将这个三角形旋转180°，点B落在B1处，则BB1= .
3. (2013.湖北荆门)在平面直角坐标系中，线段OP的两个端点坐标分别是O(0，0),P(4,3).将线段OP绕点O逆时针旋转90得到OP1位置，则点P1的坐标为（ ）
A.(3,4) B(-4,3) C.(-3,4) D.(4,-3)
三、例题讲解：
例1：如图，已知△ABC是等等边三角形，点D是BC边上一点，△ABD经过旋转后到达△ACP的位置。
旋转中心是 ；
旋转角等于 度；
（3）连结DP，△ADP是 三角形．
例2：(2011年山东聊城)如图6－2－21，将两块大小相同的含30°角的直角三角板(∠BAC＝∠B′A′C＝30°)按图6－2－21(1)的方式放置，固
定三角板A′B′C，然后将三角板ABC绕直角顶
点C顺时针方向旋转(旋转角小于90°)至图6－2－
21(2)的位置，AB与A′C交于点E，AC与A′B′
交于点F，AB与A′B′相交于点O．
（1）求证：△BCE≌△B′CF；(2)当旋转角等于30°时，AB与A′B′垂直吗？请说明理由．
四、课堂检测：
1.如图，在等 腰直角△ABC中，∠B＝90°，△ABC绕点A按顺时针方向旋
转60°后得到△AB1C1,则∠BAC1的度数为（ ）
A.60 ° B.105° C.120° D.135°
2.P是正△ABC内的一点，若将△P1BA,则∠PBP1的度数是（ ）
A.45° B.60° C.90° D.120°
3.如图所示，△ABC为等腰三角形，且顶角∠A=28°,现将△ABC绕点
C顺时针旋转，使BC落在AC边上，则其旋转的角度为（ ）
A.70° B.65° C.56° D.28°
4.如图，在正方形网格中，以点A为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋
转90，画出旋转后的△A1B1C1．
5.(2013.江西南昌)如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到
△ADE,若∠CAE=65,∠E=70°,且AD⊥BC,则∠BAC的度数为（ ）
A.60° B.75° C.85° D.90°
6.如图，P是正方形ABCD内一点，画出△ABP绕点B按顺时针方向旋转
90后的图形，若BP=3㎝,求出点P与它的对应点之间的距离．3.1 图形的平移(三)
一、问题展示：
1．平移中的坐标变化：在平面直角坐标中，图形平移前后对应点的坐标变化规律（1）若图形向右（或向左）平移a（a＞0）个单位长度，则各点的纵坐标 ，横坐标分别加（或减）a；（2）若图形向上（或向下）平移a（a＞0）个单位长度，则各点的横坐标 ，纵坐标分别加（或减）a；（3）若图形先向右（或向左）平移a（a＞0）个单位长度，再向上（或向下）平移m(m＞0)个单位长度，则各点的横坐标分别加（或减） ，纵坐标分别加（或减） ．
2．一个图形依次沿x轴方向、y轴方向平移后所得图形，可以看成由原来的图形经过 次平移得到的．
二、基础练习：
1.（1）在平面直角坐标系中描出点A(6,0),B(10,3),C(9,1),D(12,0),E(9,-1),F(10,-3),然后用线段依次连接A,B,C,D，E,F各点；
（2）将（1）中所画图形先向左平移12个单位长度，再向上平移5个单位长度，画出第二次平移后的图形；
（3）如何将（1）中所画图形经过一次平移得到（2）中所画图形？平移前后对应点的横坐标有什么关系？纵坐标呢？
三、例题讲解：
例1：先将右上图中的鱼F向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到新鱼
（1）在右图所示的平面直角坐标系中画出新鱼．
（2）能否将鱼成是F经过一次平移得到的？如果能，请指出平移的方向和平移的距离，并与同伴交流．
（3）在鱼F和鱼中，对应点的坐标之间有什么关系？
改变鱼F最初的平移方向（仍沿坐标轴方向）和平移距离，再试一试．
例2：如图，四边形ABCD各顶点的坐标分别为A(-3,5)，B(-4,3)，C(-1,1)，D(-1,4)，将四边形ABCD先向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到四边形．
四边形与四边形ABCD对应点的横坐标有什么关系？纵坐标呢？分别写出，，，的坐标
（2）如果将四边形 看成是由四边形ABCD经边一次平移得到的，请指出这一平移的平移方向和平移距离．
四、课堂检测：
1．四边形ABCD的顶点坐标分别为A(-5,-1),B(-1,-1),C(-3,-4),D(-7,-4),将四边形ABCD先向上平移5个单位长度，再向右平移8个单位长度，请直接写出第二次平移后四个对应顶点的坐标．
2．△ABC三个顶点坐标分别为A(0,3),B(-10),C(1,0),小红把△ABC平移后得到了△，并写出了它的三个顶点的坐标（0，0），（-2，-3），（2，-3）．
（1）你认为小红所写的三个顶点的坐标正确吗？
（2）如果小红所写三个顶点的纵坐标都正确，三个顶点的横坐标中只有一个正确，那么你帮小红正确写出三个顶点的坐标．第三章 单 元 检 测
一、选择题
1. 如图，在10×6的网格中，每个小方格的边长都是1个单位，将△ABC平移到△DEF的
位置，下面正确的平移步骤是( )
A．先把△ABC向左平移5个单位，再向下平移2个单位
B．先把△ABC向右平移5个单位，再向下平移2个单位
C．先把△ABC向左平移5个单位，再向上平移2个单位
D．先把△ABC向右平移5个单位，再向上平移2个单位
2.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A B C D
3. 如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，
若∠AOB＝15°，则∠AOB′的度数是( )
A．25° B．30° C．35° D．40°
4. 将四边形ABCD先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，
那么点A的对应点A′的坐标是( )
A．(6,1) B．(0,1) C．(0，－3) D．(6，－3)
5. P是正△ABC内的一点，若将△P1BA,则∠PBP1的度数
是（ ）
A.45° B.60° C.90° D.120°
二、填空题
1.如图所示，△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置，若BE=2㎝，
则CF= .
2.如图，在等边△ABC中，AB=6,D是BC的中点，将△ABD绕点A旋转后得
到△ACE,那么线段DE的长度为 ．
3.如图，已知正方形ABCD的边长为3，E为CD边上的一点，DE＝1.以点A为中心，把
△ADE顺时针旋转90°，得△ABE′，连接EE′，则EE′的长等于__________．
4.如图，在△ABC中，AB＝BC，将△ABC绕点B顺时针旋转α，得到
△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC，BC于点D，F，下列结论：
①∠CDF＝α；②A1E＝CF；③DF＝FC；④AD＝CE；⑤A1F＝CE.其中正
确的是________(写出正确结论的序号)．
三、解答题
1. 如图6－2－20，将一个钝角△ABC(其中∠ABC＝120°)绕点B顺
时针旋转得△A1BC1，使得C点落在AB的延长线上的点C1处，
连接AA1.
（1）写出旋转角的度数；（2）求证：∠A1AC＝∠C1.
2．如图，在两个重叠的直角三角形中，将其中的一个直角三角形沿着BC方向平移BE距离得到此图形，其中AB＝8，BE＝5，DH＝3.求四边形DHCF的面积．
3．将两块大小相同的含30°角的直角三角板(∠BAC＝∠B′A′C＝30°)按图6－2－21(1)的方式放置，固定三角板A′B′C，然后将三角板ABC绕直角顶点C顺时针方向旋转(旋转角小于90°)至图 (2)的位置，AB与A′C交于点E，AC与A′B′交于点F，AB与A′B′相交于点O.
（1）求证：△BCE≌△B′CF；
（2）当旋转角等于30°时，AB与A′B′垂直吗？请说明理由．第三章 图形的平移与旋转
3.1 图形的平移（一）
一、问题展示：
1．平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的 ，这样的图形运动称为 ，平移不改变图形的 和 。
2．平移的性质：平移不改变图形的 和 ，故平移前后的两个图形是 的 .因此平移具有以下性质：（1）对应点所连的线段 （或在同一条直线上）且 .（2）对应线段 （或在同一条直线上）且 .（3）对应角 .
二、基础练习：
1.下列现象属于平移的是_______________
A.打开抽屉；B.健身时做呼啦圈运动；C.风扇扇叶的转动；D.小球从高空竖直下落；
E.电梯的升降运动；F.飞机在跑道上滑行到停止的运动；
G.篮球运动员投出的篮球运动；H.乒乓球比赛中乒乓球的运动.
2．将线段AB平移1㎝，得到线段A1B1,则点A到A1的距离是 .
3. 如图所示，△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置，若BE=2㎝，则CF= .
4. 如图所示，将边长为2个单位的等边△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（ ）A.6 B.8 C.10 D.12
三、例题讲解：
例1：如图，经过平移，△ABC的顶点A移到了点D
（1）指出平移的方向和平移的距离；
（2）画出平移后的三角形．
例2：(2013.湖南郴州）在下面的方格纸中.
（1）作出△ABC关于MN对称的图形△A1B1C1；
（2）说明△A2B2C2是由△A1B1C1经过怎样的平移得到的？
例3：如图，将四边形ABCD平移后得到四边形EFGH，已知EF=13，GF=12，GH=3 ，EH=4，且∠D=90，求四边形ABCD的周长和面积.
四、课堂检测：
△ABC经过平移得到△A′B′C′，若∠A=40，∠B=60，则∠C′=______，若AB=4cm，
则A′B′=_________.
2．如右图所示，△ABC沿直角边BC所在直线向右平移到△DEF，则下列结论中，
错误的是（ ）
A．BE=EC B．BC=EF C．AC=DF D．△ABC≌△DEF
3.请将下图的“小鱼”向左平移5格．
4．如图，已知Rt△ABC中，∠C=90，AC=BC=4，现将△ABC沿CB方向平移到△A1B1C1的位置。
比较四边形ACC1O和四边形A1OBB1面积的大小；
若平移的距离为1，求△ABC与△A1B1C1重叠部分的面积；
若设平移的距离为x，△ABC与△A1B1C1重叠部分的面积为S，试用含x的代数式表示．
