4.2提公因式法（一）
一、问题引入：
1．把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的 .
2．多项式2x2+6x3中各项的公因式是 ，找多项式各项的公因式要考虑 和 .
3．如果一个多项式的各项含有 ，那么就可以把这个 提出来，从而将多项式化成 的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法.
二、基础训练：
1．在题目后的括号内写出下列多项式各项的公因式.
（1）ma+mb （ ）
（2）4kx－8ky （ ）
（3）5y3+20y2 （ ）
（4）a2b－2ab2+ab （ ）
2．把12a2b3c-8a2b2c+6ab3c2分解因式时，应提取的公因式是（ ）
A．2 B．2abc C．2ab2c D．2a2b2c
3．用提取公因式法分解因式正确的是（ ）
A.12abc－9a2b2=3abc(4－3ab)
B.3x2y－3xy+6y=3y(x2－x+2y)
C.－a2+ab－ac=－a(a－b+c)
D.x2y+5xy－y=y(x2+5x)
三、例题展示：
例1：将下列各式分解因式：
（1）3x+ x3；
（2）7x3－21x2；
（3）8a3b2－12ab3c+ab；
（4）－24x3－12x2+28x.
四、课堂检测：
1．－6xyz＋3xy2－9x2y的公因式是（ ）
A.－3x B．3xz C．3yz D．－3xy
2．如果多项式－abc+ab2－a2bc的一个因式是－ab,那么另一个因式是（ ）
A.c－b+5ac B.c+b－5ac
C.c－b+ac D.c+b－ac
3．在题目后的括号内写出下列多项式各项的公因式.
（1）48mn–24m2n3 （ ） （2）a2b–2ab2+ab （ ）
4．将下列多项式进行分解因式：
（1）8x–72 （2）a2b–5ab （3）a2b–2ab2+ab （4）–48mn–24m2n3
5．利用分解因式法计算： 12x3+12x2y+3xy2，其中x=1，y=2
6．已知ab=7，a+b=6，求多项式a2b+ab2的值.4.3公式法（一）
一、问题引入：
1．用字母表示乘法公式中的平方差公式为： ，
把该公式反过来，可以得到： ，第二个式子从左边到右边是否是因式分解？
2．请大家观察式子a2－b2,找出它的特点：是一个 项式，每项都可以化成整式的 ，整体来看是两个整式的平方 . 如果一个 项式，它能够化成两个整式的平方 ，就可以用平方差公式分解因式，分解成两个整式的和与差的积.
二、基础训练：
1．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．是下列哪一个多项式的分解结果( )
A． B． C． D．
3．下列多项式，不能运用平方差公式分解的是( )
A． B． C． D．
4．分解因式：____________________.
5．分解因式：= __________ _ .
三、例题展示：
例1：把下列各式分解因式：
（1）25－16x2; （2）9a2－b2.
例2：把下列各式分解因式:
（1）9（m+n）2－（m－n）2; （2）2x3－8x.
四、课堂检测：
1．判断正误
（1） （2）
（3） （4）
2．多项式分解因式的结果是( )
A． B． C． D．
3．已知，则_____．
4．把下列各式分解因式：
（1） （2）
（3）36（x+y）2－49（x－y）2 （4）（x2+x+1）2－1.
【中考链接】
1．（2011 海南）分解因式：
2．（2008，北京）分解因式： =____ __．
3．（2009 防城港）若，则代数式
4．（2010 青海）分解因式：
5．（2011 宜宾）分解因式：
【课后拓展】
1．已知三角形的三边长a，b，c,满足，试判断此三角形的形状。第四章 因式分解
4.1因式分解
一、问题引入：
1．把一个多项式化成 的形式，这种变形叫做因式分解.
2．分解因式与整式乘法的关系是 .
二、基础训练：
1．下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是（ ）
A．x2﹣x﹣2=x（x﹣1）﹣2 B．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2
C．x2﹣4=（x+2）（x﹣2） D．x2－＝（x＋）（x－）
2．下列各式分解因式正确的是（ ）
A．a+b=b+a B．4x2y–8xy2+1=4xy(x–y)+1
C．a(a–b)=a2–ab D．a2–2ab+2a = a(a–2b+2)
3．计算的结果是__________.
三、例题展示：
例1：下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？
（1）4a（a+2b）=4a2+8ab；
（2）6ax－3ax2=3ax（2－x）；
（3）a2－4=（a+2）（a－2）；
（4）x2－3x+2=x（x－3）+2.
例2：993－99能被100整除吗？
四、课堂检测：
1．看谁连得准
x2-y2 (x+1)2
9-25x 2 y(x -y)
x 2+2x+1 (3-5x)(3+5x)
xy-y2 (x+y)(x-y)
2．已知公式V=IR1+IR2+IR3，当R1=22.8，R2=31.5，R3=33.7，I=2.5，求V的值
3．利用简便方法计算：
（1）992–1 （2）-2.67×132+25×2.67+7×2.67
4．19992+1999能被1999整除吗？能被2000整除吗？
5．已知a为正整数，试判断a2＋a是奇数还是偶数，请说明理由。4.2提公因式法（二）
一、问题引入：
1．a（x－3）与2b（x－3），每项中都含有 ，因此可以把 作为公因式.
2．（x－y）与（y－x）是 关系，如果把其中一个提取一个“－”号，则可以出现公因式，如y－x= （x－y）.
二、基础训练：
请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“－”号，使等式成立：
（1）2－a=__________（a－2）；
（2）y－x=__________（x－y）；
（3）b+a=__________（a+b）；
（4）（b－a）2=__________（a－b）2；
（5）－m－n=__________－（m+n）；
（6）－s2+t2=__________（s2－t2）.
三、例题展示：
例1：把下列各式分解因式：
（1）a（x－3）+2b（x－3） （2）y（x+1）－y2（x+1）2.
例2：把下列各式分解因式：
（1）a（x－y）+b（y－x）； （2）6（m－n）3－12（n－m）2.
四、课堂检测：
1．把2x2﹣4x分解因式为（ ）
A．2x（x﹣2） B．2（x2﹣2x+1）
C．2x（x﹣4）2 D．2（2x﹣2）2
2．下列分解因式正确的是（ ）
A．﹣a+a3=﹣a（1+a2） B．2a﹣4b+2=2（a﹣2b）
C．a2﹣4=（a﹣2）2 D．a2﹣2a+1=（a﹣1）2
3．把（x－y）2－（y－x）分解因式为（ ）
A．（x－y）（x－y－1） B．（y－x）（x－y－1）
C．（y－x）（y－x－1） D．（y－x）（y－x＋1）
4．观察下列各式: ①2a＋b和a＋b，②5m（a－b）和－a＋b，③3（a＋b）和
－a－b，④x2－y2和x2+y2。其中有公因式的是（ ）
A．①② B.②③ C．③④ D．①④
5．在下列各式等号右边的括号前插入“+”或“–”号，使等式成立：
（1）3+a = （a+3） （2）1–x = （x–1）
（3）（m–n）2 = （n–m）2 （4）–m2+2n2 = （m2–2n2）
6．把下列各式因式分解：
（1）x（a+b）+y（a+b） （2）3a（x–y）–（x–y）
（3）6（p+q）2–12（q+p） （4）a（m–2）+b（2–m）
7．把（a+b－c）（a－b+c）+（b－a+c）·（b－a－c）分解因式.第四章 单 元 检 测
一、选择题（每小题3分）
1.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为( )
A. B.
C. D.
2.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ）
A. B. C. D.
3.如果是一个完全平方式，那么k的值是（ ）
A.15 B.±5 C. 30 D.±30
4.下列各式从左到右的变形错误的是( )
A. B.
C. D.
5.若是完全平方式，则m的值是（ ）
A.3 B.4 C.12 D.±12
二、填空题（每小题4分）
6.中各项的公因式是_______ ___.
7.；；.
8.多项式与的公因式是 .
9.利用因式分解计算： .
10、若，则=________，=________。
三、分解因式（每小题6分）
11.（1） （2）
（3） （4）
四、解答题
12.已知，求下列各式的值（12分）
（1） （2）x2+y2
13.在一个边长为13cm的正方形纸板内，割去一个边长为8 cm的正方形，剩下部分的面积是多少？（7分）
14.在三个整式x2+2xy，y2+2xy，x2中，请你任意选出两个进行加（或减）运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解。（7分）
15.已知是△ABC的三边的长，且满足，
试判断此三角形的形状。（7分）
16.对于任意整数，能被11整除吗？为什么？（8分）4.3公式法（二）
一、问题引入：
1．用字母表示乘法公式中的完全平方公式为： ．
把该公式反过来，可以得到： ，第二个式子从左边到右边是否是因式分解？
2．问题1中第二个式子左边的特点是：（1）多项式是 项式；（2）其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的 和形式；（3）另一项是这两数或两式乘积的 倍.
问题1中第二个式子右边的特点是：这两数或两式和（差）的 .
用语言叙述为：两个数的 ，加上（或减去）这两数的乘积的 倍，等于这两个数的和（或差）的 .
3．形如a2+2ab+b2或a2－2ab+b2的式子称为 .
4．由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做 ．
二、基础训练：
1.下列各式不是完全平方式的是（ ）
A． B． C． D．
2.下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
3.分解因式：____________________.
4.分解因式：＝_____ ________.
三、例题展示：
例1：把下列完全平方式分解因式：
（1）x2+14x+49； （2）（m+n）2－6（m +n）+9.
例2：把下列各式分解因式：
（1）3ax2+6axy+3ay2； （2）－x2－4y2+4xy.
四、课堂检测：
1.下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是( )
A. B.
C. D.
2.因式分解正确的是( )．
A. B. C. D.
3.若是一个完全平方式，则的值为( )
A.6 B.±6 C.12 D.±12
4.当n是整数时，是( )
A.2的倍数 B.4的倍数 C.6的倍数 D.8的倍数
5.把下列各式因式分解
（1） （2）
【中考链接】
1.（2007 包头）把二次三项式分解因式，其结果是
2.（2008 福州）分解因式：
3.（2009 泉州）因式分解：
4.（2011 菏泽）分解因式：
【拓展训练】
1.求证：无论x、y为何值，的值恒为正.
2.已知：a+b=3，ab=2，求下列各式的值：
（1）a2b+ab2 （2）a2+b2
