3．4 函数的应用（一）
知识点一 几类函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f (x)＝ax＋b(a，b 为常数，a≠0)
k
反比例函数模型 f (x)＝ ＋b(k，b 为常数且 k≠0)
x
f (x)＝ax2＋bx＋c
二次函数模型
(a，b，c 为常数，a≠0)
f (x)＝bax＋c
指数函数模型
(a，b，c 为常数，b≠0，a>0 且 a≠1)
f (x)＝blogax＋c
对数函数模型
(a，b，c 为常数，b≠0，a>0 且 a≠1)
幂函数模型 f (x)＝axn＋b (a，b 为常数，a≠0)
知识点二 三种函数模型的性质
函数
y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0)
性质
在(0，＋∞)上
单调递增 单调递增 单调递增
的增减性
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
随 x 的增大逐渐表现 随 x 的增大逐渐表现 随 n 值变化而各有
图象的变化
为与 y 轴平行 为与 x 轴平行 不同
值的比较 存在一个 x0，当 x>x 时，有 log x
【题型目录】
题型一、一次函数模型的应用
题型二、二次函数模型的应用
题型三、分段函数模型的应用
题型四、幂函数模型的应用
题型一、一次函数模型的应用
1．某报刊亭从报社买进报纸的价格是每份 0.24 元，卖出的价格是每份 0.40 元，卖不掉的报纸可以以每份 0.08 元的
价格退回报社．在一个月(以 30 天计算)里，有 20 天每天可卖出 400 份，其余 10 天每天只能卖出 250 份，但每天从
报社买进的报纸份数必须相同，试问报刊亭摊主应该每天从报社买进多少份报纸，才能使每月所获利润最大．
2．商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价为 20 元，茶杯每个定价为 5 元，该商店现推出两种优惠办法：
（1）买一个茶壶赠送一个茶杯．
（2）按购买总价的 92%付款．
某顾客需购茶壶 4 个，茶杯若干个（不小于茶壶数），若购买茶杯数为 x（个），付款数为 y（元），试用两种优惠办
法分别建立 y 与 x 之间的函数解析式，并指出如果顾客需买茶杯 40 个应选择哪种优惠办法．
题型二、二次函数模型的应用
3．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽 2m，渠深为 1.8m，斜坡的倾斜角是 45°（无水状态不考虑）.
(1)试将横断面中水的面积 A h （m2）表示成水深 h （m）的函数；
(2)当水深为 1.2m 时，求横断面中水的面积.
4．小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本 3
1
万元，每生产 x 万件，需另投入流动成本 W(x)万元，在年产量不足 8 万件时，W(x)＝ x2＋x(万元)．在年产量不小
3
100
于 8 万件时，W(x)＝6x＋ －38(万元)．每件产品售价 5 元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完．
x
(1)写出年利润 L(x)(万元)关于年产量 x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)
(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
题型三、分段函数模型的应用
5．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在 30 人或 30 人以下，飞机票价格为 900 元；若旅行团
人数多于 30 人，则给予优惠：每多 1 人，飞机票价格就减少 10 元，直到达到规定人数 75 人为止.旅行团乘飞机，
旅行社需付给航空公司包机费 15000 元.
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；
(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
题型四、幂函数模型的应用
6．异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物
的新陈代谢率 y 与其体重 x 满足 y kx ，其中 k 和 为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长
到初始状态的 16 倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的 8 倍，则 为（ ）
1 3
A． B 1
2
． C．
4 2 3
D．
4
7．某企业为努力实现“碳中和”目标，计划从明年开始，通过替换清洁能源减少碳排放量，每年减少的碳排放量占
上一年的碳排放量的比例均为 x(0 x 1) ，并预计8年后碳排放量恰好减少为今年碳排放量的一半.
（1）求 x 的值；
2 1
（2）若某一年的碳排放量为今年碳排放量的 ，按照计划至少再过多少年，碳排放量不超过今年碳排放量的 ？
2 16
1．为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统
(Private Key Cryptosystem)
，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文．现在加密密钥为 y kx3，如“4”通过
1
加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“ ”，则解密后得到的明文是（ ）
256
1 1
A 1． 2 B． C．2 D．4 8
2．(多选)小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的
7
x 1,0 x≤1,20
有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量 f(x) 与时间 x(天)之间的函数关系 f(x)＝
1 9
1
x 2 ,1 x≤30. 5 20
则下列说法正确的是( )
A．随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低
B．第一天小菲的单词记忆保持量下降最多
C．9 天后，小菲的单词记忆保持量低于 40%
D．26 天后，小菲的单词记忆保持量不足 20%
3．如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园 ABCD，已知院墙MN 长为 25 米，
篱笆长 50 米（篱笆全部用完），设篱笆的一面 AB 的长为 x 米．
(1)当 AB 的长为多少米时，矩形花园的面积为 300 平方米？
(2)若围成的矩形 ABCD的面积为 S 平方米，当 x 为何值时， S 有最大值，最大值是多少？
4．某运输公司今年初用 49 万元购进一台大型运输车用于运输.若该公司预计从第 1 年到第 n年 (n N*)花在该台运
输车上的维护费用总计为 (n2 5n) 万元，该车每年运输收入为 25 万元.
(1)该车运输几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有费用之差为正值）
(2)若该车运输若干年后，处理方案有两种：
①当年平均盈利达到最大值时，以 17 万元的价格卖出；
②当盈利总额达到最大值时，以 8 万元的价格卖出.
哪一种方案较为合算？请说明理由.
5．吉祥物“冰墩墩”在北京 2022 年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办．某企业承接了“冰墩墩”
玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为 200 万元．每生产 x 万盒，需投入成本 h x 万元，当产量小于
或等于 50 万盒时 h x 180x 100 2；当产量大于 50 万盒时 h x x 60x 3500，若每盒玩具手办售价 200 元，通
过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完（利润＝售价－成本，成本＝固定成本＋生产中投入成本）
(1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润 y （万元）关于产量 x （万盒）的函数关系式；
(2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？
6．某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常．排
气 4 分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为 64 ppm，继续排气 4 分钟后又测得浓度为 32 ppm.由检验知该地下车库一
1
氧化碳浓度 y(ppm)与排气时间 t(分钟)之间存在函数关系 y＝c( )mt(c，m 为常数)．2
(1)求 c，m 的值；
(2)若空气中一氧化碳浓度不高于 0.5 ppm 为正常，问至少排气多少分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到
正常状态？
1．一种新型电子产品计划投产两年后，使成本降 36%，那么平均每年应降低成本（ ）
A．18% B．20% C．24% D．36%
2．某公司的收入由保险业务收入和理财业务收入两部分组成.该公司 2020年总收入为 200亿元，其中保险业务收入
为150亿元，理财业务收入为50亿元.该公司经营状态良好、收入稳定，预计每年总收入比前一年增加 20亿元.因越
来越多的人开始注重理财，公司理财业务发展迅速.要求从 2021年起每年通过理财业务的收入是前一年的 t 倍，若要
使得该公司 2025年的保险业务收入不高于当年总收入的60%，则 t 的值至少为（ ）
A． 5 2.4 B． 5 3.6 C． 6 2.4 D． 6 3.6
3．2020 年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，
持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业 2021 年初有资金 150 万元，资金的年
平均增长率固定，每三年政府将补贴 10 万元．若要实现 2024 年初的资金达到 270 万元的目标，资金的年平均增长
率应为（参考值： 3 1.82 1.22, 3 1.73 1.2 ）（ ）
A．10% B．20% C．22% D．32%
4．某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含
药量 y （微克）与时间 t （小时）之间的关系近似满足如图所示的曲线.据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少
于0.125微克时，治疗该病有效，则下列说法错误的是（ ）
A． a 3
B．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时
1
C．注射该药物 小时后每毫升血液中的含药量为0.5微克
8
31
D．注射一次治疗该病的有效时间长度为5 小时
32
5．（多选）甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是 2 km.如
图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程 y(km)与时间 x(min)的关系，下列结论正确的是（ ）
A．甲同学从家出发到乙同学家走了 60 min
B．甲从家到公园的时间是 30 min
C．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快
1
D．当 0≤x≤30 时，y 与 x 的关系式为 y＝ x
15
6．（多选）某打车平台欲对收费标准进行改革，现制订了甲、乙两种方案供乘客选择，其支付费用 y（单位：元）
与打车里程 x（单位：km）的函数关系大致如图所示，则（ ）
A．当打车里程为 8km 时，乘客选择甲方案更省钱
B．当打车里程为 10km 时，乘客选择甲、乙方案均可
C．打车里程在 3km 以上时，每千米增加的费用甲方案比乙方案多
D．甲方案 3km 内（含 3km）付费 5 元，打车里程大于 3km 时每增加 1km 费用增加 0.7 元
7．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件
下，把每尾鱼的平均生长速度 v（单位：千克/年）表示为养殖密度 x（单位：尾/立方米）的函数.当0 x 4时，v
的值为 2；当 4 x 20 时，v 是关于 x 的一次函数.当 x＝20 时，因缺氧等原因，v 的值为 0.
(1)当0 x 20时，求函数 v x 的表达式；
(2)当 x 为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米） f x x v x 可以达到最大？并求出最大值.
8．十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全
球汽车行业的计划， 2020年某企业计划引进新能源汽车生产设备看，通过市场分析，全年需投入固定成本3000 万
10x2 100x,0 x 40
元，每生产 x （百辆）需另投入成本 y （万元），且 y 10000 .由市场调研知，每辆车售价5万
501x 4500, x 40 x
元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.
(1)求出 2020年的利润S （万元）关于年产量 x （百辆）的函数关系式；（利润=销售额—成本）
(2)当 2020年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
9．美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的A ， B 两种芯片都已经获得成功.该公司
研发芯片已经耗费资金 2 千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A 芯片的毛收入与投入的资
金成正比，已知每投入 1 千万元，公司获得毛收入 0.25 千万元；生产 B 芯片的毛收入 y (千万元)与投入的资金 x (千
万元)的函数关系为 y kxa(x 0)，其图像如图所示.
（1）试分别求出生产A ， B 两种芯片的毛收入 y (千万元)与投入的资金 x (千万元)的函数关系式；
（2）如果公司只生产一种芯片，生产哪种芯片毛收入更大
（3）现在公司准备投入 4 亿元资金同时生产A ， B 两种芯片.设投入 x 千万元生产 B 芯片，用 f (x)
表示公司所获利润，当 x 为多少时，可以获得最大利润 并求最大利润.(利润 A芯片毛收入 B 芯片毛收入-发耗费
资金)3．4 函数的应用（一）
知识点一 几类函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f (x)＝ax＋b(a，b 为常数，a≠0)
k
反比例函数模型 f (x)＝ ＋b(k，b 为常数且 k≠0)
x
f (x)＝ax2＋bx＋c
二次函数模型
(a，b，c 为常数，a≠0)
f (x)＝bax＋c
指数函数模型
(a，b，c 为常数，b≠0，a>0 且 a≠1)
f (x)＝blogax＋c
对数函数模型
(a，b，c 为常数，b≠0，a>0 且 a≠1)
幂函数模型 f (x)＝axn＋b (a，b 为常数，a≠0)
知识点二 三种函数模型的性质
函数
y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0)
性质
在(0，＋∞)上
单调递增 单调递增 单调递增
的增减性
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
随 x 的增大逐渐表现 随 x 的增大逐渐表现 随 n 值变化而各有
图象的变化
为与 y 轴平行 为与 x 轴平行 不同
值的比较 存在一个 x0，当 x>x 时，有 log x【题型目录】
题型一、一次函数模型的应用
题型二、二次函数模型的应用
题型三、分段函数模型的应用
题型四、幂函数模型的应用
题型一、一次函数模型的应用
1．某报刊亭从报社买进报纸的价格是每份 0.24 元，卖出的价格是每份 0.40 元，卖不掉的报纸可以以每份 0.08 元的
价格退回报社．在一个月(以 30 天计算)里，有 20 天每天可卖出 400 份，其余 10 天每天只能卖出 250 份，但每天从
报社买进的报纸份数必须相同，试问报刊亭摊主应该每天从报社买进多少份报纸，才能使每月所获利润最大．
【详解】设每天从报社买进 x 份(250≤x≤400)报纸；
每月所获利润是 y 元，则每月售出报纸共(20x＋10×250)份；
每月退回报社报纸共 10×(x－250)份．
依题意得，y＝(0.40－0.24)×(20x＋10×250)－(0.24－0.08)×10(x－250)．
即 y＝0.16(20x＋2 500)－0.16(10x－2 500)，
化简得 y＝1.6x＋800，其中 250≤x≤400，
因为此一次函数(y＝kx＋b，k≠0)的 k＝1.6>0，
所以 y 是一个单调增函数，再由 250≤x≤400 知，
当 x＝400 时，y 取得最大值，
此时 y＝1.6×400＋800＝1 440(元)．
所以买进 400 份所获利润最大，获利 1 440 元．
2．商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价为 20 元，茶杯每个定价为 5 元，该商店现推出两种优惠办法：
（1）买一个茶壶赠送一个茶杯．
（2）按购买总价的 92%付款．
某顾客需购茶壶 4 个，茶杯若干个（不小于茶壶数），若购买茶杯数为 x（个），付款数为 y（元），试用两种优惠办
法分别建立 y 与 x 之间的函数解析式，并指出如果顾客需买茶杯 40 个应选择哪种优惠办法．
【详解】由优惠办法（1）可得函数解析式为 y1 20 4 5(x 4) 5x 60 (x 4, x N *)；
由优惠办法（2）可得函数解析式为 y2 (20 4 5x) 92% 4.6x 73.6 (x 4, x N *)．
当该顾客买茶杯 40 个时，采用（1）应付款 y1 5 40 60 260（元）；
采用（2）应付款 y1 4.6 40 73.6 257.6 （元）．
由于 y1 y2 ，故选择优惠办法（2）．
题型二、二次函数模型的应用
3．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽 2m，渠深为 1.8m，斜坡的倾斜角是 45°（无水状态不考虑）.
(1)试将横断面中水的面积 A h （m2）表示成水深 h （m）的函数；
(2)当水深为 1.2m 时，求横断面中水的面积.
【答案】(1) A h h2 2h 0 h 1.8 ；(2)3.84 m2
【分析】（1）根据给定条件利用梯形的面积公式列式化简即得.
（2）由（1）得出的函数的解析式，代入计算可得答案.
【详解】（1）依题意，横断面中的水面是下底为 2m，上底为 2 2h m，高为 h m 的等腰梯形，
2 A h 2 2h 所以 h h2 2h 0 h 1.8 .（2）
2
由（1）知， A h h2 2h 0 h 1.8 h 1.2 1.22， 2 1.2 3.84，
所以当水深为 1.2m 时，横断面水中的面积为 3.84 m2 .
4．小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本 3
1
万元，每生产 x 万件，需另投入流动成本 W(x)万元，在年产量不足 8 万件时，W(x)＝ x2＋x(万元)．在年产量不小
3
100
于 8 万件时，W(x)＝6x＋ －38(万元)．每件产品售价 5 元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完．
x
(1)写出年利润 L(x)(万元)关于年产量 x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)
(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
【详解】(1)每件产品售价为 5 元，则 x 万件产品的销售收入为 5x 万元．
1 1
当 0100 100
当 x≥8 时，L(x)＝5x－(6x＋ －38)－3＝35－ x＋ .x ( x )
故 L(x)＝Error!
1 1
(2)当 03 3
当 x＝6 时，L(x)取最大值为 L(6)＝9 万元；
当 x≥8 时，L(x)＝35－( 100) 100x＋ ≤35－2 100x· ＝15(万元)，(当且仅当 x＝ ，即 x＝10 时，取等号 .x x )x
题型三、分段函数模型的应用
5．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在 30 人或 30 人以下，飞机票价格为 900 元；若旅行团
人数多于 30 人，则给予优惠：每多 1 人，飞机票价格就减少 10 元，直到达到规定人数 75 人为止.旅行团乘飞机，
旅行社需付给航空公司包机费 15000 元.
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；
(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
900,0 x 30
【答案】(1) y
1200 10x,30 x 75
(2)当旅行团人数为 60 人时，旅行社获得最大利润 21000 元.
【分析】（1）根据题意直接可得；
（2）根据分段函数分别求各段的最值，然后可得.
【详解】（1）记旅行团人数为 x，飞机票价格为 y，
900,0 x 30y y
900,0 x 30
则由题意可知，
900 10(x 30),30 x 75
，即
1200 10x,30 x 75
（2）记旅行社所获利润为 M，
900x 15000,0 x 30
则M
x(1200 10x) 15000,30 x 75
当0 x 30时，M max 900 30 15000 12000（元），
当30 x 75时，M 10x2 1200x 15000 10(x 60)2 21000，
故当 x 60时，M max 21000 （元）
综上，当旅行团人数为 60 人时，旅行社获得最大利润 21000 元.
题型四、幂函数模型的应用
6．异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物
的新陈代谢率 y 与其体重 x 满足 y kx ，其中 k 和 为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长
到初始状态的 16 倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的 8 倍，则 为（ ）
1 3
A． B 1． 2 C
2
． 3 D．4 4
【答案】D
【分析】初始状态设为 (x1, y1) ，变化后为 (x2 , y2 )，根据 x1, x2 ， y1, y2的关系代入后可求解．
【详解】设初始状态为 (x1, y1) ，则 x2 16x1， y2 8y1，
又 y1 kx
1 ， y2 kx
2 ，即8y1 k 16x1
k 16 x 1 ，
8y k 16 x 1 1 ，16 8， 24
3
23 ， 4 3， ．y1 kx1 4
故选：D．
7．某企业为努力实现“碳中和”目标，计划从明年开始，通过替换清洁能源减少碳排放量，每年减少的碳排放量占
上一年的碳排放量的比例均为 x(0 x 1) ，并预计8年后碳排放量恰好减少为今年碳排放量的一半.
（1）求 x 的值；
2 1
（2）若某一年的碳排放量为今年碳排放量的 ，按照计划至少再过多少年，碳排放量不超过今年碳排放量的 ？
2 16
1
【答案】（1）1 1
8
；（2） 28年.
2
1
【解析】（1 8）设今年碳排放量为 a，则由题意得a(1 x) a ，从而可求出 x 的值；
2
1
1
（2 n 2 1 8）设再过 年碳排放量不超过今年碳排放量的 ，则 a(1 x)n a ，再把16 2 16 x 1
1
代入解关于 n的不等
2
式即可得答案
【详解】解：设今年碳排放量为 a .
1
（1 8）由题意得a(1 x) a ，
2
1
(1 1所以 x)8 ，得 x 1 1
8
2
.
2
1
（2）设再过 n年碳排放量不超过今年碳排放量的 ，
16
2 1
则 a(1 x)n a ，
2 16
1 n 1
1 8将 x 1 代入得 1
8 2 1
，
2 2 16
n 1
即 4，得n 28 .
8 2
1
故至少再过 28年，碳排放量不超过今年碳排放量的 .
16
1．为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统
(Private Key Cryptosystem) ，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文．现在加密
密钥为 y kx3
1
，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“ ”，则解密后得到的明文是（ ）
256
1 1
A 1． 2 B． C．2 D．4 8
【答案】A
【分析】根据题意中给出的解密密钥为 y kx3，利用其加密、解密原理，
求出 k 的值，解方程即可求解.
【详解】由题可知加密密钥为 y kx3，
由已知可得，当 x 4时， y 2，
2 1
所以 2 k 43，解得 k 43
，
32
y 1 x3 y 1 1 1 3故 ，显然令 ，即 x ，
32 256 256 32
x3 1 1解得 ，即 x ．
8 2
故选：A.
2．(多选)小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的
7
x 1,0 x≤1,20
有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量 f(x)与时间 x( 天)之间的函数关系 f(x)＝
1 9
1
2
x ,1 x≤30. 5 20
则下列说法正确的是( )
A．随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低
B．第一天小菲的单词记忆保持量下降最多
C．9 天后，小菲的单词记忆保持量低于 40%
D．26 天后，小菲的单词记忆保持量不足 20%
【答案】ABC
1
【详解】由函数解析式可知 f(x)随着 x 的增加而减少，故 A 正确；由图象可得 B 正确；当 15
9 1 1 9 1 1x 2 ，则 f(9)＝ ＋ ×9 2 ＝0.35，即 9 天后，小菲的单词记忆保持量低于 40%，故 C 正确； f(26)＝ ＋
20 5 20 5
9 1 1
× 26 2 > ，故 D 错误．
20 5
3．如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园 ABCD，已知院墙MN 长为 25 米，
篱笆长 50 米（篱笆全部用完），设篱笆的一面 AB 的长为 x 米．
(1)当 AB 的长为多少米时，矩形花园的面积为 300 平方米？
(2)若围成的矩形 ABCD的面积为 S 平方米，当 x 为何值时， S 有最大值，最大值是多少？
【答案】(1)15 米；
(2)当 x 为 12.5 米时， S 有最大值，最大值是 312.5 平方米.
【分析】（1）设篱笆的一面 AB 的长为 x 米，则BC (50 2x)m，根据“矩形花园的面积为 300 平方米”列一元二次
方程，求解即可；
（2）根据题意，可得 S x(50 2x)，根据二次函数最值的求法求解即可．
【详解】（1）设篱笆的一面 AB 的长为 x 米，则BC (50 2x)m，
由题意得， x(50 2x) 300，解得 x1 15, x2 10，
50 2x 25，
x 12.5，
x 15，
所以， AB 的长为 15 米时，矩形花园的面积为 300 平方米；
（2）由题意得， S x 50 2x 2x2 50x 2 x 12.5 2 312.5,12.5 x 25
x 12.5时， S 取得最大值，此时， S 312.5，
所以，当 x 为 12.5 米时， S 有最大值，最大值是 312.5 平方米．
4．某运输公司今年初用 49 万元购进一台大型运输车用于运输.若该公司预计从第 1 年到第 n年 (n N*)花在该台运
输车上的维护费用总计为 (n2 5n) 万元，该车每年运输收入为 25 万元.
(1)该车运输几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有费用之差为正值）
(2)若该车运输若干年后，处理方案有两种：
①当年平均盈利达到最大值时，以 17 万元的价格卖出；
②当盈利总额达到最大值时，以 8 万元的价格卖出.
哪一种方案较为合算？请说明理由.
【答案】(1)3 年；(2)方案①较为合算
【分析】（1）由 25n 49 (n2 5n) 0 ，能求出该车运输 3 年开始盈利.
25n 49 (n22 ① 5n) 20 (n 49（ ）方案 中， ) 6 .从而求出方案①最后的利润为 59（万 )；方案②中，
n n
y 25n 49 (n2 5n) n2 20n 49 (n 10)2 51， n 10 时，利润最大，从而求出方案②的利润为 59（万 )，
比较时间长短，进而得到方案①较为合算.
【详解】(1)由题意可得 25n 49 (n2 5n) 0 ，即 n2 20n 49 0，
解得10 51 n 10 51 ， n 3，
该车运输 3 年开始盈利.；
(2)该车运输若干年后，处理方案有两种：
①当年平均盈利达到最大值时，以 17 万元的价格卖出，
25n 49 (n2 5n) 20 (n 49 ) 6，
n n
当且仅当 n 7时，取等号，
方案①最后的利润为： 25 7 49 (49 35) 17 59（万 )；
②当盈利总额达到最大值时，以 8 万元的价格卖出，
y 25n 49 (n2 5n) n2 20n 49 (n 10)2 51，
n 10时，利润最大，
方案②的利润为51 8 59（万 )，
两个方案的利润都是 59 万，按照时间成本来看，第一个方案更好，因为用时更短，
方案①较为合算.
5．吉祥物“冰墩墩”在北京 2022 年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办．某企业承接了“冰墩墩”
玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为 200 万元．每生产 x 万盒，需投入成本 h x 万元，当产量小于
或等于 50 万盒时 h x 180x 100；当产量大于 50 万盒时 h x x2 60x 3500，若每盒玩具手办售价 200 元，通
过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完（利润＝售价－成本，成本＝固定成本＋生产中投入成本）
(1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润 y （万元）关于产量 x （万盒）的函数关系式；
(2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？
20x 300,0 x 50
【答案】(1) y 2 , x N
x 140x 3700, x 50
；(2)70 万盒
【分析】（1）根据题意分0 x 50和 x 50 两种情况求解即可；
（2）根据分段函数中一次与二次函数的最值求解即可.
【详解】（1）当产量小于或等于 50 万盒时， y 200x 200 180x 100 20x 300，
当产量大于 50 万盒时， y 200x 200 x2 60x 3500 x2 140x 3700，
故销售利润 y （万元）关于产量 x （万盒）的函数关系式为
20x 300,0 x 50y 2 , x N
x 140x 3700, x 50
（2）当0 x 50时， y 20 50 300 700；
当 x 50 时， y x2 140x 3700，
140
当 x 70时， y x2 140x 3700取到最大值，为 1200．
2
因为700 1200，所以当产量为 70 万盒时，该企业所获利润最大．
6．某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常．排
气 4 分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为 64 ppm，继续排气 4 分钟后又测得浓度为 32 ppm.由检验知该地下车库一
1
氧化碳浓度 y(ppm)与排气时间 t(分钟)之间存在函数关系 y＝c( )mt(c，m 为常数)．2
(1)求 c，m 的值；
(2)若空气中一氧化碳浓度不高于 0.5 ppm 为正常，问至少排气多少分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到
正常状态？
【详解】(1)由题意可列方程组Error!
两式相除，解得Error!
1 t 1 t
(2) 128 1
4 1 4 1
由题意可列不等式 ≤0.5，所以 ≤
2 2 (2 )
1
8，即 t≥8，解得 t≥32.
4
故至少排气 32 分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态．
1．一种新型电子产品计划投产两年后，使成本降 36%，那么平均每年应降低成本（ ）
A．18% B．20% C．24% D．36%
【答案】B
【分析】设平均每年降低成本 x，由题意可列方程(1－x)2＝0.64，解方程可得答案
【详解】设平均每年降低成本 x， (1 x)2 1 36% 0.64
解得 x 0.2 20%或 x 1.8 180%（舍去），
故选：B
2．某公司的收入由保险业务收入和理财业务收入两部分组成.该公司 2020年总收入为 200亿元，其中保险业务收入
为150亿元，理财业务收入为50亿元.该公司经营状态良好、收入稳定，预计每年总收入比前一年增加 20亿元.因越
来越多的人开始注重理财，公司理财业务发展迅速.要求从 2021年起每年通过理财业务的收入是前一年的 t 倍，若要
使得该公司 2025年的保险业务收入不高于当年总收入的60%，则 t 的值至少为（ ）
A． 5 2.4 B． 5 3.6 C． 6 2.4 D． 6 3.6
【答案】A
【分析】求出 2025年通过理财业务的收入为50t5 亿元，根据题意可得出关于 t 的不等式，解出 t 的范围即可得解.
【详解】因为该公司 2020年总收入为 200亿元，预计每年总收入比前一年增加 20亿元，所以 2025年的总收入为300
亿元，
因为要求从 2020年起每年通过理财业务的收入是前一年的 t 倍，
所以 2025年通过理财业务的收入为50t5 亿元，所以300 50t5 300 0.6，解得 t 5 2.4 .故 t 的值至少为 5 2.4 ，
故选：A.
3．2020 年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，
持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业 2021 年初有资金 150 万元，资金的年
平均增长率固定，每三年政府将补贴 10 万元．若要实现 2024 年初的资金达到 270 万元的目标，资金的年平均增长
率应为（参考值： 3 1.82 1.22, 3 1.73 1.2 ）（ ）
A．10% B．20% C．22% D．32%
【答案】B
【分析】设年平均增长率为 x ，依题意列方程求 x 即可.
【详解】由题意，设年平均增长率为 x ，则150(1 x)3 10 270 ，
26
所以 x 3 1 1.2 1 0.2，故年平均增长率为 20%.
15
故选：B
4．某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含
药量 y （微克）与时间 t （小时）之间的关系近似满足如图所示的曲线.据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少
于0.125微克时，治疗该病有效，则下列说法错误的是（ ）
A． a 3
B．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时
1
C．注射该药物 小时后每毫升血液中的含药量为0.5微克
8
31
D．注射一次治疗该病的有效时间长度为5 小时
32
【答案】B
1 1
【分析】根据图象求出函数的解析式，可判断 A 选项；解不等式 y 可判断 BD 选项；将 t 代入函数解析式，
8 8
可判断 C 选项.
【详解】将点M 的坐标代入 y kt ，可得 k 4，
t a 1 a
将点M 的坐标代入 y 1 1 可得2
4，解得 a 3，
2
4t,0 t 1
所以， y
1 t 3 ，A 对；
, t 1
2
1 1 1
当0 t 1时，由 y 4t 可得 t ，此时 t 1；
8 32 32
t 3
当 t 1
1 1 时，由 y 可得 t 6，此时1 t 6 .
2 8
1 1
故不等式 y 的解为 t 6 ，
8 32
1 31
所以，注射一次治疗该病的有效时间长度为6 5 小时，B 错 D 对；
32 32
1 1
注射该药物 小时后每毫升血液含药量为 4 0.5（微克），故 C 正确.
8 8
故选：B.
5．（多选）甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是 2 km.如
图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程 y(km)与时间 x(min)的关系，下列结论正确的是（ ）
A．甲同学从家出发到乙同学家走了 60 min
B．甲从家到公园的时间是 30 min
C．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快
1
D．当 0≤x≤30 时，y 与 x 的关系式为 y＝ x
15
【答案】BD
【分析】根据图表逐项判断即可
【详解】在 A 中，甲在公园休息的时间是 10 min，所以只走了 50 min，A 错误；
由题中图象知，B 正确；
甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从公园到乙
同学家的速度慢，C 错误；
1
当 0≤x≤30 时，设 y＝kx(k≠0)，则 2＝30k，解得 k ，D 正确.
15
故选：BD
6．（多选）某打车平台欲对收费标准进行改革，现制订了甲、乙两种方案供乘客选择，其支付费用 y（单位：元）
与打车里程 x（单位：km）的函数关系大致如图所示，则（ ）
A．当打车里程为 8km 时，乘客选择甲方案更省钱
B．当打车里程为 10km 时，乘客选择甲、乙方案均可
C．打车里程在 3km 以上时，每千米增加的费用甲方案比乙方案多
D．甲方案 3km 内（含 3km）付费 5 元，打车里程大于 3km 时每增加 1km 费用增加 0.7 元
【答案】ABC
【分析】根据图象一一判断即可.
【详解】解：对于 A，当 3＜x＜10 时，甲对应的函数值小于乙对应的函数值，故当打车里程为 8km 时，乘客选择
甲方案更省钱，故 A 正确；
对于 B，当打车里程为 10km 时，甲、乙方案的费用均为 12 元，故乘客选择甲、乙方案均可，故 B 正确；
12 5 12 7 5
对于 C，打车 3km 以上时，甲方案每千米增加的费用为 1（元），乙方案每千米增加的费用为
10 3 10 3 7
（元），故每千米增加的费用甲方案比乙方案多，故 C 正确；
对于 D，由图可知，甲方案 3km 内（含 3km）付费 5 元，3km 以上时，甲方案每千米增加的费用为 1（元），故 D
错误.
故选:ABC.
7．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件
下，把每尾鱼的平均生长速度 v（单位：千克/年）表示为养殖密度 x（单位：尾/立方米）的函数.当0 x 4时，v
的值为 2；当 4 x 20 时，v 是关于 x 的一次函数.当 x＝20 时，因缺氧等原因，v 的值为 0.
(1)当0 x 20时，求函数 v x 的表达式；
(2)当 x 为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米） f x x v x 可以达到最大？并求出最大值.
2,0 x 4【答案】(1) v x
0.125x 2.5,4 x 20
(2)x＝10，最大值为 12.5 千克/立方米
【分析】（1）根据题意得建立分段函数模型求解即可；
（2）分段求得函数的最值，比较可得答案.
【详解】（1）依题意，当0 x 4时， v x 2；
当 4 x 20 时， v x 是关于 x 的一次函数，假设 v x ax b(a 0)，
4a b 2 a 0.125
则
20a
，解得
b 0 b 2.5
，
所以 v x
2,0 x 4
0.125x 2.5,4 x 20 .
（2）当0 x 4时， v x 2 0 f x x v x 2x 8；
当 4 x 20 时， v x 0.125x 2.5 f x 0.125x2 2.5x，
2.5
当 x 102 0.125 时， f x 取得最大值 f 10 12.5 .
因为12.5 8，所以当 x＝10 时，鱼的年生长量 f x 可以达到最大，最大值为 12.5千克 /米3 .
8．十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全
球汽车行业的计划， 2020年某企业计划引进新能源汽车生产设备看，通过市场分析，全年需投入固定成本3000 万
10x2 100x,0 x 40
x 元，每生产 （百辆）需另投入成本 y （万元），且 y 10000 .由市场调研知，每辆车售价5万
501x 4500, x 40 x
元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.
(1)求出 2020年的利润S （万元）关于年产量 x （百辆）的函数关系式；（利润=销售额—成本）
(2)当 2020年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
10x2 400x 3000,0 x 40
【答案】(1) S(x)
1500 x 10000 , x 40 x
(2)100百辆，最大利润为1300万
【分析】（1）根据题意分情况列式即可；
（2）根据分段函数的性质分别计算最值.
【详解】（1）由题意得当0 x 40时， S(x) 500x (10x2 100x) 3000 10x2 400x 3000，
S(x) 500x 501x 10000 10000当 x≥40时，
4500 3000 1500 x ，
x x
10x2 400x 3000,0 x 40
所以 S(x)
1500 x 10000
,
, x 40 x
（2）由（1）得当0 x 40时， S(x) 10x2 400x 3000，
当 x = 20时， Smax (x) 1000，
S(x) 1500 x 10000当 x≥40时， 1500
10000
(x )
x x
x 10000 2 x 10000 200，当且仅当 x 10000 ，即 x 100 时等号成立，
x x x
S(x) 1500 200 1300， x 100时， Smax (x) 1300， 1300 1000，
x 100时，即 2020年产量为100百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为1300万元.
9．美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的A ， B 两种芯片都已经获得成功.该公司
研发芯片已经耗费资金 2 千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A 芯片的毛收入与投入的资
金成正比，已知每投入 1 千万元，公司获得毛收入 0.25 千万元；生产 B 芯片的毛收入 y (千万元)与投入的资金 x (千
万元)的函数关系为 y kxa(x 0)，其图像如图所示.
（1）试分别求出生产A ， B 两种芯片的毛收入 y (千万元)与投入的资金 x (千万元)的函数关系式；
（2）如果公司只生产一种芯片，生产哪种芯片毛收入更大
（3）现在公司准备投入 4 亿元资金同时生产A ， B 两种芯片.设投入 x 千万元生产 B 芯片，用 f (x) 表示公司所获利
润，当 x 为多少时，可以获得最大利润 并求最大利润.(利润 A芯片毛收入 B 芯片毛收入-发耗费资金)
x
【答案】（1）生产A 芯片的毛收入 y (x 0)，生产 B4 芯片的毛收入 y x (x 0)；（2）答案见解析；（3） x 4千
万元时，公司所获利润最大，最大利润 9 千万元.
【分析】（1）根据A 芯片的毛收入与投入的资金成正比，且每投入 1 千万元，公司获得毛收入 0.25 千万元求解；根
据 B 芯片的毛收入 y ( a千万元)与投入的资金 x (千万元)的函数关系为 y kx (x 0)，将 1,1 ， 4,2 代入求解；
（2）由（1）的结果，比较即可.
（3）设投入 x 千万元生产 B 芯片，投入 (40 x) 千万元资金生产A 芯片，由（1）的结果，建立利润函数
f (x) 40 x x 2 1 ( x 2)2 9
4 4 ，利用二次函数的性质求解
.
x
【详解】（1）设投入资金 x (千万元)，则生产A 芯片的毛收入 y (x 0) .4
k 1
将 1,1 ， 4,2 代入 y kxa ，得
k 4
a 2，
k 1
∴ 1 ，
a 2
生产 B 芯片的毛收入 y x (x 0) .
x x x
（2）由 x ，得 x 16 ；由 x ，得 x 16 ；由 x ，得0 x 16 .
4 4 4
∴当投入资金大于 16 千万元时，生产A 芯片的毛收入大；
当投入资金等于 16 千万元时，生产A 、 B 芯片的毛收入相等；
当投入资金小于 16 千万元时，生产 B 芯片的毛收入大
（3）公司投入 4 亿元资金同时生产A 、 B 两种芯片，设投入 x 千万元生产 B 芯片，
投入 (40 x) 千万元资金生产A 芯片，
∴公司所获利润 f (x)
40 x 1
x 2 ( x 2)2 9
4 4 ，
故当 x 2，即 x 4千万元时，公司所获利润最大，最大利润 9 千万元.