第四章《指数函数与对数函数》
4．1 指 数
1．根式
(1)如果 xn＝a，那么 x 叫做 a 的 n 次方根．
(2)式子n a叫做根式，其中 n 叫做根指数，a 叫做被开方数．
(3)(n a)n＝a.
当 n 为奇数时，n an＝a， 当 n 为偶数时，n an＝|a|＝Error!
2．分数指数幂
m
正数的正分数指数幂， a n ＝n am(a>0，m，n∈N*，n>1)．
m
n 1 1
正数的负分数指数幂， a ＝ m ＝ (a>0，m，n∈N*，n>1)．n ama n
0 的正分数指数幂为 0，0 的负分数指数幂没有意义．
3．指数幂的运算性质
r
aras＝ar＋s；(ar)s＝ars
a
；(ab)r＝arbr ； s a
r s (a>0，b>0，r，s∈R)．
a
【题型目录】
题型一、根式的化简求值
题型二、指数幂的运算
题型三、分数指数幂与根式的互化
题型四、指数幂的化简、求值
题型一、根式的化简求值
1．化简 ( 5)2 3 (2 )3 并求值.
2．化简 4 2 3 4 2 3 （ ）
A． 2 3 B． 2 3 C．2 D． 2
3．计算： 8 1 ______.
2
4．若 4a2 4a 1 3 1 2a 3 ，则实数 a 的取值范围_________ ．
题型二、指数幂的运算
4．下列计算正确的是（ ）
A． x4 x4 x16 B． ( 2a)2 4a2
C． x7 x5 x2 D．m2 m3 m6
1 0
5 1 0.125 3 9
3
．（ ）求值： [( 2)
2 ]2 ( 2 3 3)6；
8
1 1
2 a
2 a 2 1
（ ）已知 a 2 a 2 3(a 0) ，求值： .a a 1 1
题型三、分数指数幂与根式的互化
6．判断正误．
（1） a4 5 a10 ．( )
3 2
（2） a 2 a 3 ．( )
2
（3）用分数指数幂表示 (a b)3 (a b)为 (a b)3 ．( )
m 3 m47．式子 m 0 的计算结果为（ ）
6 m5
1 5
A．1 B．m20 C．m12 D．m
8．（多选）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
1 1
A． x ( x)2 B． 6 y2 y 3
1
x 3 1
3 1
C．当 x 0时， D．当 x 0时， 3 ( x)2 4 23 x x
题型四、指数幂的化简、求值
9．化简 a 0,b 0 ：
5
5
（1 2） a2 3 a5 1 a 6 ______；
a
2 1 1 1 1 5
（2） a 3b2
1
3a 2b3 a 6b6 ______．
3
10．已知 x 1，且 x x 1 3，求下列各式的值：
1 1
(1) x 2 x 2 ；
1 1
(2) x 2 x 2 ；
3 3
(3) x 2 x 2 ．
1．若10 x 2 ，则10 3x 等于（ ）
1 1
A．8 B． 8 C． D．
8 8
2．（多选）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
1 1
A． x x 2 B． 6 y2 y 3 y 0
1 3
1 1
C． х 3 x 0 D． 3 2 4 2
3 x x x x 0
3．（多选）下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是（ ）
1 2 1
A．53 和 B．0
2
56 和02
3
1 1 3
C 1 ． 22 和 44 D．
4 2 和 2
4．求值 7 4 3 7 4 3 _______．
1 1 1
5．已知 a 7，则 a 2 a 2 ______．a
1
6．已知 x2 3x 1 0 x3，求 3 3的值________．x
3 5 1 1
7．已知实数 a 0,b 0，化简: a 2b2 a 2b2 ______;
8．化简下列各式：
(1) 2 2 3 23
(2)若10x 3，10 y 2，求10x 2 y ．
9．求下列各式的值；
(1) 3 ( 6)3 4 ( 5 4)4 3 ( 5 4)3 ；
(2) x2 2x 1 x2 6x 9( 3 x 3)．
1 1
2 2
10．已知 x y a， xy b ，且 x y 0
x y
，用 a,b表示 1 1 ．
x 2 y 2
1 1 y2
1．若 y my ，则 的结果是（ ）y
A．m2 2 B．m2 2 C． m 2 D． m 2
2．把代数式 a 1 1 中的 a 1移到根号内，那么这个代数式等于（ ）
1 a
A． 1 a B． a 1 C． 1 a D． a 1
3．开普勒（Johannes Kepler，1571~1630），德国数学家、天文学家，他发现所有行星运行的轨道与公转周期的规律：
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等.已知
金星与地球的公转周期之比约为 2:3，地球运行轨道的半长轴为 a，则金星运行轨道的半长轴约为（ ）
A．0.66a B．0.70a C．0.76a D．0.96a
4．已知m 0 1 5，则 m 2 m 2 m 化为（ ）
5 5
A．m 4 B．m2 C．m D．1
5．（多选）下列等式中，不正确的是（ ）
A． 4 a4 a B． 6 2 2 3 2
1
C． a0
5
1 D． 10 2 1 2 1 2
6．(多选)下列说法中错误的是（ ）
A．根式都可以用分数指数幂来表示
B．分数指数幂不表示相同式子的乘积，而是根式的一种新的写法
C．无理数指数幂有的不是实数
D．有理数指数幂的运算性质不适用于无理数指数幂
7．当 n为奇数时， n an _______；当 n为偶数时， n an _______.
8．化简 11 6 2 ________.
9．已知 x y ，化简： 6 (x y)6 _____．
10．用分数指数幂表示下列各式：
1
(1) 3 a ＝____; (2) 5 ＝____；(3) 6 y
3 ＝____; (4) x3 y4 ＝____；(5) a a a ＝____.a
11．用根式的形式表示下列各式（ a 0）：
1 2 2 3
(1) a3 ； (2) a 3 ； (3) a 3 ； (4) a 2 ．
2
1 1 x x 2 7
12．（1）已知 x 2 x 2 3，计算： 1 1 ； 1 x x x 2 x 2
（2）设2x 8y 1，9 y 3x 9 ，求 x y 的值．
1
13 (2 7)2 (2 3 π)0 (2 10
1 2
3
．求值 ) 3 0.125 3 3 ( )3 .
9 27 4
1
14．化简： 2 (x 1)
1 (x 2)0 ，并求当 x 3 1时的值.x 3x 2
15．若 2x 2 x 5，求 4x
1
x 的值．4
16．计算下列各式（式中字母均为正数）：
1 3 1
(1) x3 x 4 x 12 ；
3 2 5
(2) a 2a 3a 6 ；
1 1 6
(3) x 2 y 3 ；
3
2 6 2
(4) 4s r ；9t 4
2 1 3 4 2
(5) 6x 3 y 3 x 3 y 3 ；
2
(6) x2 2 x 2 x2 x 2 ；
2 1 1 2
(7) x y x 3 x3 y 3 y 3 ；
1 1 1 1
a 2 b2 a 2 b2(8) 1 1 1 1 ．
a 2 b2 a 2 b2第四章《指数函数与对数函数》
4．1 指 数
1．根式
(1)如果 xn＝a，那么 x 叫做 a 的 n 次方根．
(2)式子n a叫做根式，其中 n 叫做根指数，a 叫做被开方数．
(3)(n a)n＝a.
当 n 为奇数时，n an＝a， 当 n 为偶数时，n an＝|a|＝Error!
2．分数指数幂
m
正数的正分数指数幂， a n ＝n am(a>0，m，n∈N*，n>1)．
m
n 1 1
正数的负分数指数幂， a ＝ m ＝ (a>0，m，n∈N*，n>1)．n ama n
0 的正分数指数幂为 0，0 的负分数指数幂没有意义．
3．指数幂的运算性质
r
aras＝ar＋s；(ar)s＝ars
a
；(ab)r＝arbr ； s a
r s (a>0，b>0，r，s∈R)．
a
【题型目录】
题型一、根式的化简求值
题型二、指数幂的运算
题型三、分数指数幂与根式的互化
题型四、指数幂的化简、求值
题型一、根式的化简求值
1．化简 ( 5)2 3 (2 )3 并求值.
【答案】3.
【分析】根据根式的性质进行化简求解即可.
【详解】 (π 5)2 3 (2 π)3 | π 5 | (2 π) 5 π 2 π 5 2 3 .
2．化简 4 2 3 4 2 3 （ ）
A． 2 3 B． 2 3 C．2 D． 2
【答案】D
【分析】利用配方法将被开方数配凑成完全平方形式即可求解.
【详解】解： 4 2 3 4 2 3 ( 3 1)2 ( 3 1)2 3 1 3 1 2，
故选：D．
3．计算： 8 1 ______.
2
3 2
【答案】 .
2
1 2
【分析】将 8 2 2 ， 代入计算即可.
2 2
2 2 2 3 2【详解】原式 .
2 2
3 2
故答案为: .
2
4．若 4a2 4a 1 3 1 2a 3 ，则实数 a 的取值范围_________ ．
1
【答案】 ，
2
【分析】由二次根式的化简求解
【详解】由题设得 4a2 4a 1 2a 1 2 2a 1 ，
3 1 2a 3 1 2a，
所以 2a 1 1 2a
1
所以1 2a 0， a ．
2
1
故答案为： ，
2
题型二、指数幂的运算
4．下列计算正确的是（ ）
A． x4 x4 x16 B． ( 2a)2 4a2
C． x7 x5 x2 D．m2 m3 m6
【答案】C
【分析】根据指数幂的运算法则逐项分析即得.
【详解】A， x4 x4 2x4，故 A 错误；
B， ( 2a)2 4a2 ，故 B 错误；
C， x7 x5 x2，故 C 正确；
D，m2 m3 m5，故 D 错误.
故选：C．
1 0
9 35．（1）求值： 0.125 3 2 3 6 [( 2) ]2 ( 2 3) ；
8
1 1 2
2 a a
2 1
（ ）已知 a 2 a 2 3(a 0) ，求值： .a a 1 1
【答案】（1）81；（2）6.
【分析】（1）（2）根据指数幂的运算性质即可求出.
1
【详解】（1 1）原式 ( ) 3 1 23 ( 2)6 ( 3 3)6 2 1 8 72 81；
8
1 1
（2）由
1 1
a 2 a 2 3(a 0) ，而 a a 1 (a 2 a 2 )2 2 7 ，
a2 a 2 (a a 1)2 2 47 a
2 a 2 1 47 1
则 ，故 6 .
a a 1 1 7 1
题型三、分数指数幂与根式的互化
6．判断正误．
（1） a4 5 a10 ．( )
3 2
（2） a 2 a 3 ．( )
2
（3）用分数指数幂表示 (a b)3 (a b)为 (a b)3 ．( )
【答案】 正确 错误 错误
4 10
【详解】由分数指数幂运算法则可得：（1） a4 a 2 a2 ， 5 a10 a 5 a2 ，故正确
3 2
（2） a 2
1 1
3 a 3
a3 ，故错误a 2
3
（3） a b 3 a b a b 2 ，故错误
7 m
3 m4
．式子 m 0 的计算结果为（ ）
6 m5
1 5
A．1 B．m20 C．m12 D．m
【答案】D
【分析】由指数运算法则直接计算可得结果.
1 4
m 3 m4 m2 m3 1 4 5
【详解】 m2 3 65 m .6 m5 m6
故选：D.
8．（多选）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
1 1
A． x ( x)2 B． 6 y2 y 3
1
1 3 1
C．当 x 0时， x 3 D．当 x 0时， 3
3 x ( x)
2 4 x 2
【答案】CD
【分析】根据根式与分数指数幂的互化的知识确定正确选项.
1
【详解】对于 A 选项， x x 2 ，所以 A 选项错误.
1
对于 B 选项， 6 y2 y 3 ，所以 B 选项错误.
1
1
对于 C 选项， x 0， x 3 ，所以 C 选项正确.
3 x
3 32 4 1 1
对于 D 选项， x 0， 3 ( x)2 4 x
3 x 2 x 2 ，所以 D 选项正确.
故选：CD
题型四、指数幂的化简、求值
9．化简 a 0,b 0 ：
5
5
（1 2） a2 1 3 a5 a 6 ______；
a
2 1 1 1 1 1 5
（2） a 3b2 3a 2b3 a 6b6 ______．
3
【答案】 a2 9a
【分析】（1）（2）利用分数指数幂的运算化简可得答案．
5 5 5 5 5 5
【详解】（1）原式 2 2 a a3 a 2 a 6 a 3 2 6 a2 ；
2 1 1 1 1 5
（2）原式 9a 3 2 6b2 3 6 9a．
故答案为： a2 ； 9a .
10．已知 x 1，且 x x 1 3，求下列各式的值：
1 1
(1) x 2 x 2 ；
1 1
(2) x 2 x 2 ；
3 3
(3) x 2 x 2 ．
【答案】(1) 5 ；(2)1；(3) 2 5
1 1
【分析】（1）根据 (x 2 x 2 )2 x x 1 2结合已知即可得解；
1 1
（2）根据 (x 2 x 2 )2 x x 1 2结合已知即可得解，注意符号；
3 3 1 1
（3）根据 x 2 x 2 (x 2 x 2 )(x 1 x 1)计算即可得解.
1 1 1 1
【详解】(1)解：因为 (x 2 x 2 )2 x x 1 2 3 2 5，且 x 1，所以 x 2 x 2 5 ；
1 1
1 1(2)解：因为 x 1，所以 x 2 1, x 2 1，则 x 2 x 2 0，
1 1 1 1
因为 (x 2 x 2 )2 x x 1 2 3 2 1，所以 x 2 x 2 1( 1舍去）；
3 3 1 1
(3)解： x 2 x 2 ( x 2 x 2 )(x 1 x 1) 5(3 1) 2 5 .
1．若10 x 2 ，则10 3x 等于（ ）
1 1
A．8 B． 8 C． D．
8 8
【答案】C
【分析】利用指数幂的性质运算即可.
3x 1 1 1
【详解】 10x 2，则10 3 10x 23 8 ．
故选：C．
2．（多选）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
1 1
A． x x 2 B． 6 y2 y 3 y 0
1 1 3 1
C． х 3 x 0 D 3 x 2 4．3 x x
2 x 0
【答案】CD
【分析】根据分式与指数幂的互化逐项判断可得答案.
1 1
【详解】 x x 2 x 0 ，而 x 2 x x 0 ，故 A 错误；
1
6 y2 y 3 y 0 ，故 B 错误；
1
x 3 1
3 1 3 1
x 0 ，故 C 正确； 3 x 2 4
2
3 x x
3 4 x 2 x 0 ，故 D 正确.
故选：CD.
3．（多选）下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是（ ）
1 2 2 1A．53 和56 B．0 和02
3
1 1 3
C D 1 ． 22 和 44 ． 4 2 和 2
【答案】AC
【分析】根据分数指数幂的定义和运算可得答案.
1 2
【详解】A：53 56 ，故 A 正确；
B：0 的负指数幂没有意义，故 B 错误；
1 1 1
C： 22 2 ， 44 4 22 22 2 ，故 C 正确；
3
3
4 2 1 1 1D 1 ： 3 3 和 23 8 8的值不相等．故 D 错误.42 4 2
故选：AC.
4．求值 7 4 3 7 4 3 _______．
【答案】4
【分析】直接利用根式的运算性质化简
2 2【详解】 7 4 3 7 4 3 2 3 2 3 2 3 2 3 4 .
故答案为：4
1 1 1
5．已知 a 7，则
a a 2 a 2
______．
【答案】3
【分析】根据指数幂的运算即可求解.
1 1 1
【详解】由 a 7，可得 a 0，
a a 2 a 2 0
，
1 1 1 1
a 2 a 2 (a 2 a 2 )2 7 2 3．
故答案为：3
1
6．已知 x2 3x 1 0 x3，求 3 3的值________．x
【答案】21
x 1【分析】先由题意得 3，再由立方和公式直接求解即可.
x
1
【详解】因为 x2 3x 1 0，所以 x 3，
x
1
2
2 1
则 x x
9，所以 x 2 7，
x
3 1
因此 x 3 3
x
1
2 x x
1 1
x x x x2
3 3 6 3 21.
故答案为： 21 .
3 5 1 1
7．已知实数 a 0,b 0，化简: a 2b2 a 2b2 ______;
【答案】ab2
【分析】根据实数指数幂的运算法则，准确运算，即可求解.
3 5 1 1 3 1 5 1
【详解】根据实数指数幂的运算法则，可得 (a 2b2 ) (a 2b2 ) a 2 2b2 2 ab2 .
故答案为：ab2 .
8．化简下列各式：
(1) 2 2 3 23
(2)若10x 3，10 y 2，求10x 2 y ．
【答案】(1)0；(2)12
【分析】（1）根据根式的性质计算可得；
（2）根据指数幂的运算法则计算可得.
【详解】(1)解： 2 2 3 23 4 3 8 2 2 0
2
(2)解：因为10x 3，10 y 2，所以10x 2 y 10x 102 y 10x 10y 3 22 12
9．求下列各式的值；
(1) 3 ( 6)3 4 ( 5 4)4 3 ( 5 4)3 ；
(2) x2 2x 1 x2 6x 9( 3 x 3)．
【答案】(1) 6
2 2 2x 2, 3 x 1(2) (x 1) (x 3)
4, 1 x 3
n n a , n为奇数
【分析】分析：（1）利用 a a ,n 进行化简，求得答案； 为偶数
（2）先将式子 x2 2x 1和 x2 6x 9化成完全平方式，再化简，即得答案.
【详解】(1) 3 ( 6)3 4 ( 5 4)4 3 ( 5 4)3 = 6 (4 5) 5 4 6 ．
(2)原式= (x 1)2 (x 3)2 | x 1| | x 3 | ( 3 x 3)
因为 3 x 3，所以 4 x 1 2，0 x 3 6
当 4 x 1 0，即 3 x 1时， | x 1| | x 3 | 1 x (x 3) 2x 2;
当0 x 1 2 ，即1 x 3时， | x 1| | x 3 | x 1 (x 3) 4 ,
x 1 2 x 3 2 2x 2, 3 x 1所以 .
4, 1 x 3
1 1
2 2
10．已知 x y a， xy b ，且 x y 0 ，用 a,b
x y
表示 1 1 ．
x 2 y 2
a 2 b
【答案】
a2 4b
【分析】将幂指数化为根式形式，利用平方差公式和完全平方公式化简即可．
x y 2 x y 2【详解】 4xy a2 4b，因为 x y 0 ，所以 x y 0，所以 x y a2 4b ．
2
x y x y x y 2 xy a 2 b
原式 ．
x y x y x y x y a2 4b
2
1．若 y
1
m 1 y
y ，则 的结果是（ ）y
A．m2 2 B．m2 2 C． m 2 D． m 2
【答案】A
1
【分析】将 y my 两边同时平方，化简即可得出结果.
2 2
【详解】m2
1 1 1 y 1
2 y y 2，而 y m 2，
y y y y
故选：A .
2．把代数式 a 1 1 中的 a 1移到根号内，那么这个代数式等于（ ）
1 a
A． 1 a B． a 1 C． 1 a D． a 1
【答案】A
1
【分析】首先根据二次根式的性质得出 0 ，进而求出 a的取值范围，然后确定 a 1的正负情况，再将 a 1
1 a
移入根号内即可.
【详解】
1
0 ，即 1 a 0 ， a 1 0 ，
1 a
a 1 1 1 a 1 1 1 (1 a)2 (1 a)2 1 a .
1 a 1 a 1 a 1 a
故选：A .
3．开普勒（Johannes Kepler，1571~1630），德国数学家、天文学家，他发现所有行星运行的轨道与公转周期的规律：
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等.已知
金星与地球的公转周期之比约为 2:3，地球运行轨道的半长轴为 a，则金星运行轨道的半长轴约为（ ）
A．0.66a B．0.70a C．0.76a D．0.96a
【答案】C
3 12
【分析】设金星运行轨道的半长轴为 a1，金星和地球的公转周期分别为 t1 ， t2 ，根据题意可得 a1 a ，进而结3
合 2.53 12 2.13，即可得出结果.
a3 a3
【详解】设金星运行轨道的半长轴为 a1，金星和地球的公转周期分别为 t 11 ， t2 ，由开普勒定律得 t 2
.因为
1 t
2
2
t1 2 3 a3 4t 3 ，所以 1 a
3
，即
9 a
12
1 a .
2 3
3 , 125 12 9261 125y x 2.53 9261 3因为函数 在 上单调递增，且 ，且 , 2.1 ，所以 2.53 12 2.13，因此8 1000 8 1000
3
0.70a a 121 a
2.5
a 0.9a，
3 3
故选：C.
4．已知m 0 1 5，则 m 2 m 2 m 化为（ ）
5 5
A．m 4 B．m2 C．m D．1
【答案】C
【分析】把根式化为分数指数幂进行运算．
1 5 1 5 1 1 1 3
【详解】m 0， m 2 m 2 m m 2 m 2 m 2 m 2 m3 m 2m 2 m2 m .
故选：C．
5．（多选）下列等式中，不正确的是（ ）
A 4 4 B 6 2 2． a a ． 3 2
5 1
C． a0 1 D． 10 2 1 2 1 2
【答案】ABC
【分析】根据指数的运算法则逐一判断
【详解】对于 A， 4 a4 a ， 故 A 不正确；
对于 B， 6 2 2 3 2 ，故 B 不正确；
对于 C， a0 1 中 a 0，故 C 不正确；
5 1
对于 D， 10 2 1 2 1 2 1 2 ，故 D 正确．
故选：ABC
6．(多选)下列说法中错误的是（ ）
A．根式都可以用分数指数幂来表示
B．分数指数幂不表示相同式子的乘积，而是根式的一种新的写法
C．无理数指数幂有的不是实数
D．有理数指数幂的运算性质不适用于无理数指数幂
【答案】CD
m 1 m m mn m
【分析】A. 由 a a n , a n , n,m N * 判断；B. n由 am a n , 1 a n , n,m N * 判断；C.由实数包括无
n am n am
理数和有理数判断；D.由指数幂的运算法则判断.
m m
n m 1 *
【详解】A. 由 a a n , a n , n,m N ，知根式都可以用分数指数幂来表示，故正确；
n am
m 1 m
B. n由 am a n , a n , n,m N * ，知分数指数幂不表示相同式子的乘积，而是根式的一种新的写法，故正确；
n am
C. 实数包括无理数和有理数，所以无理指数幂是实数，故错误；
D.由指数幂的运算法则知：有理数指数幂的运算性质适用于无理数指数幂，故错误；
故选：CD
7．当 n为奇数时， n an _______；当 n为偶数时， n an _______.
【答案】 a a
【详解】略
8．化简 11 6 2 ________.
【答案】3 2
【分析】根据根式与指数幂的运算化简可得.
2
【详解】 11 6 2 3 2 3 2 .
故答案为：3 2 .
9．已知 x y ，化简： 6 (x y)6 _____．
【答案】 y x
【分析】根据根式与指数幂的互化即可求出结果.
【详解】 x y，
6 (x y)6 y x ．
故答案为： y x．
10．用分数指数幂表示下列各式：
1
(1) 3 a ＝____; (2) 5 ＝____；(3) 6 y
3 ＝____; (4) x3 y4 ＝____；(5) a a a ＝____.a
1 1 1 3 3
【答案】 a3
a 5 y 2 x 2 y2 ## y2x 2
7
a 8
【分析】利用分数指数幂的定义，将根式化为分数指数幂.
1 1 1 1 1 1 3
【详解】（1） 3 a a3 ；（2） =
5 a 5 ；（3） 6a y
3 y3 6 = y 2 ；（4） x3 y4 x3 y4 2 x 2 y2；（5）
1
1 2
1
2
7
a a a 2 a a a a
8
1 1 1 3
故答案为：（1） ；（2） a3 a 5 ；（3
7
） y 2 ；（4） x 2 y2；（5） a 8 .
11．用根式的形式表示下列各式（ a 0）：
1 2 2 3
(1) a3 ； (2) a 3 ； (3)
a 3 ； (4)
a 2 ．
3
【答案】(1) 3 a ；(2) 3 2 aa ；(3) ；(4)
a
a a2
【分析】将分数指数幂化为根式的形式.
1
(1) a3 3 a
2
(2) a 3 3 a2
2
a 3 1
3 a
(3)因为 a 0，所以
3 a2 a
3
(4)因为 a 0，所以 a 2
1 1 a
a3 a a a2
x2 x 21 1 7
12．（1）已知 x 2 x 2 3，计算： 1 1 ；
x x 1 x 2 x 2
（2）设2x 8y 1，9 y 3x 9 ，求 x y 的值．
【答案】（1）4；（2）27
1 1
【分析】（1）对 1x 2 x 2 3两边平方，求出 x x 7，再对此式两边平方，化简可得 x
2 x 2 47，从而代入可求
结果，
（2）将等式两边化为同底数幂的形式，然后可得关于 x, y的方程组，求出 x, y的值，从而可求得 x y 的值
1 1 1 1
2
【详解】（1）因为 2 2x 2 x 2 3，所以 x x 9，
所以 x x 1 2 9，所以 x x 1 7，
1 2所以 x x 72，即 x2 x 2 2 49，所以 x2 x 2 47，
x2 x 2 7 47 7
所以 1 1 4 7 3 ． x x 1 x 2 x 2
（2）因为2x 8y 1，所以 2x 23 y 1 ，即 x 3 y 1 ．
又9 y 3x 9 ，所以32 y 3x 9 ，即2 y x 9 ，
x 3(y 1) x 21
由 2y ，解得 x 9
y 6
，
故 x y 的值为 27．
1 1 2
13 (2 7．求值 )2 (2 3 π)0 (2 10 ) 3 0.125 3 3 3 ( )3 .
9 27 4
121
【答案】
24
【分析】根据指数幂的运算性质可求出结果.
(25
1
)2 1 (64
1 2
1 1 3
【详解】原式 ) 3 ( ) 3 32 (3)2
9 27 8 4
5 27 1 2 3
3
1 ( )3 (2 ) 3 32 (1)2
3 64 4
2 3 9
4
3 4 8
121
.
24
1
14．化简： 2 (x 1)
1 (x 2)0 ，并求当
x 3x 2 x 3 1
时的值.
x 1 3 3
【答案】 ； .
x 2 2
【分析】根据指数幂的运算性质，准确运算，即可求解.
1 2 1
【详解】由 2 (x 1) (x 2)
0 1 1 1 1 x 2 x 3x 2
x 3x 2 (x 1)(x 2) x 1 (x 1)(x 2)
x2 2x 1 x 1
(x 1)(x 2) x 2
3 1 1 3 3 3
当 x 3 1时，原式 .
3 1 2 3 1 2
15．若 2x 2 x 4x
1
5，求
4x
的值．
【答案】23.
【分析】根据给定条件利用指数运算变形计算作答.
1
【详解】因为 2x 2 x 5 x x 2 x 2，则有 4 x (2 ) (2 ) (2
x 2 x )2 2 23，
4
所以 4x
1
4x
的值 23.
16．计算下列各式（式中字母均为正数）：
1 3 1
(1) x3 x 4 x 12 ；
3 2 5
(2) a 2a 3a 6 ；
6
1 1
(3) x 2 y 3 ；
3
(4) 4s
2r 6 2
9t 4
；
2 1 3 4 2
(5) 6x 3 y 3 x 3 y 3 ；
2
(6) x2 2 x 2 x2 x 2 ；
2 1 1 2
(7) x y x 3 x3 y 3 y 3 ；
1 1 1 1
a 2 b2 a 2 2(8) b1 1 1 1 ．
a 2 b2 a 2 b2
4 3 2
1 1
1 1
【答案】(1) x ； (2) a 3 ； (3) x
3 y 2 (4) 8s； ； (5) 4x26 9 y
1 ； (6) x 12 ； (7) x3 y 3 ； (8) 4a
2b2
27t r x 1 a b
【分析】（1）根据指数幂的运算公式，准确运算，即可求解；
（2）根据指数幂的运算公式，准确运算，即可求解；
（3）根据指数幂的运算公式，准确运算，即可求解；
（4）根据指数幂的运算公式，准确运算，即可求解；
（5）根据指数幂的运算公式，准确运算，即可求解；
x2 2 x 2 x2 x 2 (x x
1)2
（6）根据 1 1 ，准确运算，即可求解；(x x )(x x )
1 1
2 1 1 2 (x3 )3 (y 3 )3
（7）根据 x y (x 3 x3 y 3 y 3 ) 2 1 1 2 ，准确运算，即可求解；
x 3 x3 y 3 y 3
1 1 1 1 1 1 1 1
a 2 b2 a 2 b2 (a 2 b2 )2 (a 2 b2 )2
（8）根据 1 1 1 1 1 1 1 1 ，准确运算，即可求解；
a 2 b2 a 2 b2 (a 2 b2 )(a 2 b2 )
1 3 1 1 3 1
【详解】(1)解：由指数幂的运算公式，可得 x3 x 4 x 12 x3 4 12 x .
3 2 5 3 2 5 4
(2)解：由指数幂的运算公式，可得 a 2a 3a 6 a 2 3 6 a 3 .
1 1 1 6 1(3)解：由指数幂的运算公式，可得 6 6(x 2 y 3 ) x 2 y 3 x3 y 2 .
3
2 2
3
6 3
4s r 6 3 42 s 2r 2 8s3r 9 3(4)解：由指数幂的运算公式，可得 ( 4 )2
8s
9t 3 4 3
.
92 t 2 27t
6 27t6r9
2 1 3 4 2 2 4 1 2 ( ) (5)解：由指数幂的运算公式，可得6x 3 y 3 ( x 3 y 3 ) 4x 3 3 y 3 3 4x2 y 1 .
2
(x x 1)2 x x 1 x2 1
(6) 2 2 2 2解：由指数幂的运算公式，可得 x 2 x x x 1 1 .(x x )(x x ) x x 1 x2 1
1 1 1 1 2 1 1 2
2 1 1 2 (x3 )3 (y 3 )3 (x3 y 3 )(x 3 x3 y 3 y 3 ) 1 1
(7)解：由指数幂的运算公式，可得 x y (x 3 x3 y 3 y 3 ) x32 1 1 2 2 1 1 2 y 3 .
x 3 x3 y 3 y 3 x 3 x3 y 3 y 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
a 2 b2 a 2 b2 (a 2 b2 )2 (a 2 b2 )2 4a 2b2
(8)解：由指数幂的运算公式，可得 1 1 1 1 1 1 1 1 .
a 2 b2 a 2 b2 (a 2 b2 )(a 2 b2 ) a b
