北师大版八年级下册数学第一章 三角形的证明 测试卷（PDF版，含解析）

初中资料 数学
北师大版八年级下册数学第一单元测试卷
1.(2022 八下·范县期末)若实数 m、n 满足| m-3|+ n 6=0 ，且 m、n 恰好是等腰△ABC 的
两条边的边长，则。ABC 的周长是( )
A. 12 B. 16 C. 12 或 15 D. 15
2.(2019 八下·海淀期中)如图，公路 AC，BC 互相垂直，公路 AB 的中点 M 与点 C 被湖隔开．若
测得 AM 的长为 1.2km，则 M，C 两点间的距离为( )
A. 0.5km B. 0.6km C. 0.9km D. 1.2km
3.(2022 八下·宝鸡期中)△ABC 中，AB=AC=5，BC=8，点 P 是 BC 边上的动点，过点 P 作
PD⊥AB 于点 D，PE⊥AC 于点 E，则 PD+PE 的长是( )
A. 4.8 B．4.8 或 3.8 C. 3.8 D. 5
4.(2019 八下·永川期中)一个等腰三角形两边的长分别为 4 和 9，那么这个三角形的周长是
( )
A. 13 B. 17 C.22 D.17 或 22
5.(2022 八下·本溪期末)如图，在△ABC 中，AB= AC，∠B=54°，以点 C 为圆心，CA 长为半
1
径作弧交 AB 于点 D，分别以点 A 和点 D 为圆心，大于2AD 长为半径作弧，两弧相交于点 E，
作直线 CE，交 AB 于点 F，则∠ACF 的度数是( )
A. 54° B. 36° C.27° D. 18°
6.(2022 八下辽阳期末)如图，在△ABC 中，DE 是 AC 的垂直平分线.若 AE=2，△ABD 的周长
为 8，则△ABC 的周长为( )
A.9 B.10 C.11 D.12
7.(2022 八下·通海期末)如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，∠A=60°，AB=7cm ，D 是 AC
的中点，则 BD 的长为( )
A. 7.5cm B . 7cm C. 6.5cm D. 6cm
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8.(2022 八下·西双版纳期末)在 Rt△ABC 中，点 D 是斜边 BC 上的中点，连接 AD。若∠
C=68°，则∠CAD= ( )
A. 22° B. 68° C. 96° D. 112°
9.(2022 八下·竞秀期末)如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB，且∠B=30°,
AD=4，点 E 是 AB 上一动点，则 D，E 之间的最小距离为( )
A.8 B.4 C.2 D.1
10.(2022 八下·涿州期末)如图，矩形 ABCD 中，∠BOC=120°，BD=12，点 P 是 AD 边上一
动点，则 OP 的最小值为( )
A. 3 B.4 C . 5 D. 6
二、填空题(共 5 题；共 5 分)
11.(2022 八下·紫金期末)在△ABC 中，∠A=40°，AB 的垂直平分线分别交 AB，AC 边于点
D，E，若 AE=BC，则∠ABC=_________
12.(2022 八下·潮安期末)如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，AB=10，AB 的垂直平分
线 DE 交 AB 于点 D，交 BC 于点 E，则 CE 的长等于_________
13.(2022 八下·平远期末)如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点 A，D，B，C 分别在直线 MN 和 PQ
上，点 E 在 AB 上，AD+BC=7，AD=EB，DE=EC，则 AB=_________
第 11题图 第 12题图 第 13题图
14.(2022 八下·本溪期末)如图，一艘船从 A 处出发向正北航行 50 海里到达 B 处，分别从
A，B 望灯塔 C，测得∠NAC=42°,∠NBC=84°，则 B 处到灯塔 C 的距离是_________海里.
第 14题图 第 15题图
15.(2022 八下·昌图期末)如图，在△ABC 中，∠B=25°，∠C=45°，PM 和 QN 分别垂直平
分 AB 和 AC，则∠PAQ 的度数是_________
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三、计算题(共 2 题;共 16 分)
16.(2019 八下·甘南期末)如图, △ABC 中， AB=6cm，BC=14cm,∠ABC=60° ，AD⊥BC 于
D.求 AD 及 AC 的长.
17.已知△ABC 中∠BAC=140°，AB、AC 的垂直平分线分别交 BC 于 E、F，△AEF 的周长为
10cm，求 BC 的长度和∠EAF 的度数.
四、作图题(共 1 题；共 5 分)
18.(2022 八下·城固期末)如图，在-ABC 中，DE 垂直平分 BC，请用尺规作图法在线段 DE 上
求作一点 P，使点 P 到线段 AB 的距离等于 PD。(保留作图痕迹，不写作法)
五、解笞题(共 8 题;共 42 分)
19.(2022 八下·陈仓期末)如图，在△ABC 中，点 D、E 分别在边 AC、AB 上，BD=CE, ∠DBC=
∠ECB 。求证:AB= AC 。
20.(2022 八下·营口期末)如图，Rt△ABC 中，∠B=90°，AB=12，BC=16,CD=2]，AD=29，点
E 是 AD 的中点，求 CE 的长.
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21.(2022 八下定远期末)如图，沿 AC 方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边
同时施工，从 AC 上的一点 B 取∠ABD=120°，BD=400 米，∠D=30°.那么另一边开挖点 E
离 D 多远正好使 A、C、E 三点在一直线上(√3≈1.732，结果精确到 1 米)
22.(2022 八下华州期末)如图，AD 平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点 D，DE//AC。求证:△BDE
是等腰三角形
23. (2022 八上淮北月考)如图，在△ABC 中，点 D 是 BC 的中点，过点 D 作 DE⊥BC 交 AB 于
点 E，连接 CE，若 ACE 的周长为 13，BC=5，求 ABC 的周长。
24.(2022 八上青田期中)如图，已知在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=9，BC=12，AB 的垂直
平分线交 AB 于点 D，交 BC 于点 E，连接 AE，求 BE 的长
25.(2022 八上·东阳期中)如图，C 为∠AOB 平分线上一点，点 D 在射线 OA 上，且 OD=CD.
求证:OD//CD.
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六.综合题(共 1 题;共 11 分)
27.(2022 八上·嘉兴期中)我们定义∶最大边与最小边的比为 5∶3 的三角形叫做“[5.3]型三
角形”，最长边称为“弦边”.
(1)小张认为:等腰三角形不可能是“[5.3]型三角形”﹒你认为他的说法正确吗 若正确，请说
明理由;若不正确，请举出反例;
(2)若△ABC 是“[5.3]型三角形”，∠A= 30°，“弦边”AB=2，则 AC=__________
(3)如图，在△ABC 中，∠ACB=90°, AB=10.现将△ABC 关于直线 BC 作作轴对称，点 A 的对
称点为点 D，连结 BD，作 AP⊥BD ，垂足为 P。当△ABC 是“[5.3]型三角形”时，求线段 DP
的长.
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北师大版八年级下册数学第一单元测试卷答案与解析
1.(2022 八下·范县期末)若实数 m、n 满足| m-3|+ n 6=0 ，且 m、n 恰好是等腰△ABC 的
两条边的边长，则 ABC 的周长是( B )
A. 12 B. 16 C. 12 或 15 D. 15
解析：|m-3|+ n 6=0
∴m-3=0，n-6=0，解得 m=3，n=6。
当 m=3 作腰时，当 n=6 时，三边为 3，6，6，符合三边关系定理。
周长为：3+6+6=15．
故选：B
点评：由已知等式，结合非负数的性质求 m、n 的值，再根据 m、n 分别作为等腰三角形的
腰，分类求解．本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质．关键是根据非负数的性质求
m、n 的值，再根据 m 或 n 作为腰，分类求解。
2.(2019 八下·海淀期中)如图，公路 AC，BC 互相垂直，公路 AB 的中点 M 与点 C 被湖隔开．若
测得 AM 的长为 1.2km，则 M，C 两点间的距离为( D )
A. 0.5km B. 0.6km C. 0.9km D. 1.2km
分析：根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可解决问题．
解析：在 Rt△ACB 中，
∵∠ACB=90°，AM=BM，
1
∴CM=2AB=AM，
∵AM=1.2km，
∴CM=1.2km，
故选：D
点评：本题考查直角三角形的性质，解题的关键是掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一
半的应用，属于中考常考题型．
3.(2022 八下·宝鸡期中)△ABC 中，AB=AC=5，BC=8，点 P 是 BC 边上的动点，过点 P 作
PD⊥AB 于点 D，PE⊥AC 于点 E，则 PD+PE 的长是( A )
A. 4.8 B．4.8 或 3.8 C. 3.8 D. 5
解析:如下图,过点 A 作 AF⊥BC 于点 F,连接 AP
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∵在△ABC 中,AB=AC=5,BC=8（已知）
∴BF=4
∴在△ABF 中
AF = 25 16 = 9=3
∵S△ABC=S△ABP+S△ACP
1 1 1
∴2×8×3=2×5×PD+2×5×PE
1
∴12=2×5×（PD+PE）
∴:PD+PE=4.8.
故选:A
分析：过点 A 作 AF⊥BC 于点 F,连接 AP,根据等腰三角形三线合一的性质和勾股定理可得 A
的长,由图形得,代入数值解答即可. 本题运用了转化思想,将一个三角形的面积转化为两个三
角形的面积的和是解题的关键.
4.(2019 八下·永川期中)一个等腰三角形两边的长分别为 4 和 9，那么这个三角形的周长是
( C )
A. 13 B. 17 C.22 D.17 或 22
解析：当等腰三角形的腰长为 4 时，另一腰的长为 4
由于 4+4=8＜9，不符合三角形的三边关系，故此种情况不成立；
当等腰三角形的腰长为 9 时，另一腰长为 9，
由于 4+9=13＞9，故此种情况成立，
故这个等腰三角形的周长=9×2+4=22.
故选：C
分析：由于等腰三角形的腰长不明确，故需分情况讨论；
当等腰三角形的腰长为 4 时，根据 4+4=8＜9,不满足三角形的三边关系，故此种情况不成立；
当等腰三角形的腰长为 9 时，分析可知此种情况下满足三角形的三边关系，由此便可得出该
等腰三角形的周长了。
点评：此题重点考查了等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，用到了分类讨论思想
等腰三角形的性质:等腰三角形两腰相等；等边对等角；三线合一：顶角平分线，底边上的
中线，底边上的高互相重合.
三角形的三边关系：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边.
例如本题，由于等腰三角形的腰长不明确，故需分两种情况进行讨论.在各情况下利用上述
知识，即可确定等腰三角形第三条边的长度.
5.(2022 八下·本溪期末)如图，在△ABC 中，AB= AC，∠B=54°，以点 C 为圆心，CA 长为半
1
径作弧交 AB 于点 D，分别以点 A 和点 D 为圆心，大于2AD 长为半径作弧，两弧相交于点 E，
作直线 CE，交 AB 于点 F，则∠ACF 的度数是( D )
A. 54° B. 36° C.27° D. 18°
解析∶如图，连接 CD ，EA ， ED ,由作图可得，CA=CD , EA =ED ,
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∵CF⊥AB （已知）
∴∠BFC=90°（垂直定义）
∵∠B=54°（已知）
∴∠BCF = 90-∠B=36°
又∵AB=AC（已知）
∴∠ACB=∠B=54 （等量代换）
∴∠ACF =∠ACB-∠BCF=54°-36°=18°
故选:D
分析；连接 CD，EA ，ED，根据题意可得 CA=CD，EA=ED，再利用等腰三角形的性质和三角
形的内角和求出∠BCF =90°-∠B=36°，然后根据等边对等角的性质可得∠ACB=∠B=54°，
最后利用角的运算可得∠ACF= ∠ACB-∠BCF=54°-36°=18 。
6.(2022 八下辽阳期末)如图，在△ABC 中，DE 是 AC 的垂直平分线。若 AE=2，△ABD 的周长
为 8，则△ABC 的周长为( D )
A.9 B.10 C.11 D.12
分析：要求周长，就要求出三角形各边长，利用垂直平分线的性质即可求出。
解析：
∵DE 是 AC 的垂直平分线
∴AD=CD，AC=2AE=4
又∵△ABD 的周长=AB+BD+AD=8
∴AB+BD+CD=8，
∴AB+BC=8
∴△ABC 的周长=AB+BC+AC=8+4=12
故选：D
7.(2022 八下·通海期末)如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，∠A=60°，AB=7cm ，D 是 AC
的中点，则 BD 的长为( B )
A. 7.5cm B . 7cm C. 6.5cm D. 6cm
解析:
∵∠ABC=90°，∠A=60（已知）
∴∠C= 30°
∵AB = 7cm ,
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∴AC =2AB=14cm
∵D 是 AC 的中点，
1
∴BD=2AC=7cm
故选:B
分析：先求出∠c=30° ，再求出 AC=14，最后计算求解即可。
8.(2022 八下·西双版纳期末)在 Rt△ABC 中，点 D 是斜边 BC 上的中点，连接 AD。若∠
C=68°，则∠CAD= ( B )
A. 22° B. 68° C. 96° D. 112°
解析∶
∵点 D 为 Rt-ABC，斜边 BC 的中点，
∴AD=CD= BD=BC .
∴∠CAD=∠C=68，
故选：B
分析：先求出 AD = CD= BD = BC ，再计算，求解即可。
9.(2022 八下·竞秀期末)如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB，且∠B=30°,
AD=4，点 E 是 AB 上一动点，则 D，E 之间的最小距离为( )
A.8 B.4 C.2 D.1
10.(2022 八下·涿州期末)如图，矩形 ABCD 中，∠BOC=120°，BD=12，点 P 是 AD 边上一
动点，则 OP 的最小值为( A )
A. 3 B.4 C . 5 D. 6
解:∵四边形 ABCD 是矩形
1
∴OA=OB=OC=OD=2BD=6
∵∠BOC=120°=∠AOD
∴∠OAD=∠ODA=30°
当 OP⊥AD 时,OP 有最小值
1
∴OP=2OD=3 故选:A
三、填空题(共 5 题；共 5 分)
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11.(2022 八下·紫金期末)在△ABC 中，∠A=40°，AB 的垂直平分线分别交 AB，AC 边于点
D，E，若 AE=BC，则∠ABC=____60°_____
解析：∵AB 的垂直平分线分别交 AB，AC 边于点 D，E，
∴AE= BE.
∵∠A= 40°，AE=BC，
∴∠ABE=∠A=40°，BE=BC,
∴ ∠C =∠BEC=LA＋∠ABE=80°
∵∠C+∠BEC+∠CBE= 180°
∴∠CBE= 180° - 80° -80° = 20°
∴∠ABC=∠ABE+∠CBE= 40°+20°= 60°
故答案为:60°
12. (2022 八下·潮安期末)如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，AB=10，AB 的垂直平分
7
线 DE 交 AB 于点 D，交 BC 于点 E，则 CE 的长等于___4______
解析:
连接 AE,由垂直平分线的性质可得 AE=BE,利用勾股定理可得 BC=8,设 CE=x,则 BE=8-x,在△ACE
中利用勾股定理可得 x 的长,即得 CE 的长.
解:连接 AE
∵DE 为 AB 的垂直平分线,
∴AE=BE
∵在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=6,AB=10,
由勾股定理得 BC=8,
设 CE=x,则 BE=8-x,在 Rt△ACE 中,
由勾股定理得:x2+62=(8-x)2,
7
解得 x=,4
7
故答案为4
点评：本题主要考查了垂直平分线的性质和勾股定理,利用方程思想是解答此题的关键。
13.(2022 八下·平远期末)如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点 A，D，B，C 分别在直线 MN 和 PQ
上，点 E 在 AB 上，AD+BC=7，AD=EB，DE=EC，则 AB=____7_____
第 11题图 第 12题图 第 13题图
分析：可判定△ADE≌△BCE，从而得出 AE=BC，则 AB=AD+BC．
解答：解：∵MN∥PQ，AB⊥PQ，
∴AB⊥MN，
∴∠DAE=∠EBC=90°，
在 Rt△ADE 和 Rt△BCE 中，
DE=EC
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AD=BE
∴△ADE≌△BEC（HL），
∴AE=BC，
∵AD+BC=7，
∴AB=AE+BE=AD+BC=7．
故答案为：7
点评：本题考查了直角三角形全等的判定和性质以及平行线的性质是基础知识比较简单。
14.(2022 八下·本溪期末)如图，一艘船从 A 处出发向正北航行 50 海里到达 B 处，分别从
A，B 望灯塔 C，测得∠NAC=42°,∠NBC=84°，则 B 处到灯塔 C 的距离是____50_____海里。
第 14题图 第 15题图
解析∶由题可知∶AB= 50(海里)，
∵∠NAC=42°，∠NBC=84°，
∴∠C=∠NBC-∠NAC=84°-42°=42”
∴BC=AB=50(海里)，
故答案为:50
分析：先利用三角形的外角求出∠C=∠NBC-∠NAC=84°-42°=42”，再利用等角对等边的
性质求出 BC=AB=50。
15.(2022 八下·昌图期末)如图，在△ABC 中，∠B=25°，∠C=45°，PM 和 QN 分别垂直平
分 AB 和 AC，则∠PAQ 的度数是____40°_____
解析:
∵PM 和 QN 分别垂直平分 AB 和 AC，∠B= 25° , ∠C=45°
∴BP=AP，AQ=CQ ,
∵∠BAP=∠B=25°, ∠CAO=∠C=45°
∴∠BAC=180°-25°-45°=110°
∴∠PAO=∠BAC-(∠BAP+∠CAQ)=110°-(25°+45°)= 40°
故答案为∶40°
分析；根据垂直平分线的性质可得 BP=AP，AQ=CQ，所以∠BAP=25°，∠CAQ=45°，用三
角形的内角和求∠BAC 的度数，再求出∠PAO=40。即可写出此题答案。
三、计算题(共 2 题;共 16 分)
16.(2019 八下·甘南期末)如图, △ABC 中， AB=6cm，BC=14cm,∠ABC=60° ，AD⊥BC 于
D.求 AD 及 AC 的长.
解析：
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∵AD 垂直 BC ，垂直为 D，
∴∠ADB=∠ADC=90°
在 Rt△ABD 中，∠ADB=90° ，∠ABC=60°
∴∠CAB=30°
1 1
∴BD=2AB=2×6=3，
∴AD= AB ― BD = 3 3 ，
∵BC= 14 ，
∴CD= BC-BD=14-3=11 ﹒
在 Rt△ADC 中，AC = （3 3） + 11 =2 37
分析：根据垂直的定义得出∠ADB=∠ADC=90°，利用三角形内角和求出∠CAB=30°，利用
1
含 30°角的直角三角形的性质得出 BD=2AB=3，由勾股定理求出 AD= 3 3，先求出 CD1，再
利用勾股定理求出 AC 的长。
17.已知△ABC 中∠BAC=140°，AB、AC 的垂直平分线分别交 BC 于 E、F，△AEF 的周长为
10cm，求 BC 的长度和∠EAF 的度数.
解析:
∵AB、AC 的垂直平分线分别交 BC 于 E、F
∴AE=BE，AF=CF
∵△AEF 周长为︰AE+EF+AF=BE+EF+CF=BC=10cm
∴BC=10cm
又∵AB、AC 的垂直平分线分别交 BC 于 E、F，
∴AE=BE，AF=CF，
∴∠B=∠BAE，∠C=∠CAF，
∵△ABC 中，∠BAC=140°
∴∠B+2C=180°-∠BAC=40°
∴∠BAE+∠CAF=40°
∴∠EAF=∠BAC- (∠BAE+∠CAF ) =140°-40°=100°。
点评：此题主要考查了三角形内角和定理，等腰三角形性质和垂直平分线性质。
四、作图题(共 1 题；共 5 分)
18.(2022 八下·城固期末)如图，在-ABC 中，DE 垂直平分 BC，请用尺规作图法在线段 DE 上
求作一点 P，使点 P 到线段 AB 的距离等于 PD。(保留作图痕迹，不写作法)
答案：
五、解笞题(共 8 题;共 42 分)
19.(2022 八下·陈仓期末)如图，在△ABC 中，点 D、E 分别在边 AC、AB 上，BD=CE, ∠DBC=
∠ECB 。求证:AB= AC 。
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解析：
在△BCE 和△CBD 中，
BD=CE
{∠DBC= ∠ECB
BC= BC
∴△BCE ≌△CBD(SAS) ,
∵∠CBE=∠BCD，
∵AB=AC
分析：先利用 SAS 证明△BCE≌△CBD，得出∠CBE=∠BCD，然后根据三角形等角对等边的性
质，即可得出结论。
20.(2022 八下·营口期末)如图，Rt△ABC 中，∠B=90°，AB=12，BC=16,CD=2]，AD=29，点
E 是 AD 的中点，求 CE 的长.
解析∶
在 Rt△ABC 中，∠B=90°，
∵AB=12，BC=16
∴AC= + = 12 + 16 =20
∴CD=21，AD=29
∵AC + CD =20 +21 =841 ，AD = 29 =841
∴AC +CD = AD
∴∠ACD =90°,
∴ACD 是 Rt△
∵点 E 是 AD 的中点
1 1
∴CE=2 AD=2×29=14.5
分析：先利用勾股定理的逆定理证明 ACD 是直角三角形，再利用直角三角形斜边上中线的
性质可得 CE=14.5 。
21.(2022 八下定远期末)如图，沿 AC 方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边
同时施工，从 AC 上的一点 B 取∠ABD=120°，BD=400 米，∠D=30°.那么另一边开挖点 E
离 D 多远正好使 A、C、E 三点在一直线上(√3≈1.732，结果精确到 1 米)
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解析：
∵∠ABD = 120°，∠D= 30°,
∴∠EBD= 60°
∴∠AED =120°- 30° = 90°,
∵在 Rt△BDE 中，BD=400m ,∠D=30°
1
∴BE=2BD = 200m ,
∴DE= =200 3m≈346
1
分析：利用含 30°角的直角三角形的性质可得 BE=2BD=200，再利用勾股定理求出 DE 的长
即可。
22.(2022 八下华州期末)如图，AD 平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点 D，DE//AC。求证:△BDE
是等腰三角形
解析：
证明:∵DE∥AC,
∴∠1=∠3,
∵AD 平分∠BAC,
∴∠1=∠2,
∴∠2=∠3,
∵AD⊥BD,
∴∠2+∠B=90°,∠3+∠BDE=90°,
∴∠B=∠BDE,
∴△BDE 是等腰三角形.
点评：此题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义,正确得出∠2=∠3 是解题关键.
23.(2022 八上淮北月考)如图，在△ABC 中，点 D 是 BC 的中点，过点 D 作 DE⊥BC 交 AB 于
点 E，连接 CE，若 ACE 的周长为 13，BC=5，求 ABC 的周长。
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分析：根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得 AE=BE，然后求出△ACE 的周长
=AC+BC，代入数据计算即可得解．
解答：
∵D 为△ABC 的 AB 边的中点，过点 D 作 AB 的垂线交 BC 于点 E，
∴DE 垂直平分 AB，
∴AE=BE，
∴△ACE 的周长=AC+CE+AE=AC+CE+BE=AC+BC，
∵AC=8cm，BC=5cm，
∴△ACE 的周长=8+5=13cm
24(2022 八上青田期中)如图，已知在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=9，BC=12，AB 的垂直
平分线交 AB 于点 D，交 BC 于点 E，连接 AE，求 BE 的长
∵ED 是 AB 的垂直平分
∴AE= BE，设 AE=BE=x
∴AC= 9，BC=12
∴CE= 12-x
∵∠ACE = 90°
∴AC +CE = AE =9 ＋(12- a) = x
75
x= 8
25.(2022 八上·东阳期中)如图，C 为∠AOB 平分线上一点，点 D 在射线 OA 上，且 OD=CD.
求证:OD//CD.
证明: ∵C 为∠AOB 平分线上一点，
∴∠AOC=∠BOC.
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初中资料 数学
∵CD// OB，
∴∠OCD=∠BOC.
∴∠AOC=∠OCD.
∴OD=CD.
六.综合题(共 1 题;共 11 分)
27.(2022 八上·嘉兴期中)我们定义∶最大边与最小边的比为 5∶3 的三角形叫做“[5.3]型三
角形”，最长边称为“弦边”.
(1)小张认为:等腰三角形不可能是“[5.3]型三角形”﹒你认为他的说法正确吗 若正确，请说
明理由;若不正确，请举出反例;
答：错误，等腰三角形的底为 5 腰为 3 时，等腰三角形不是[5,3]型三角形
6 11
(2)若△ABC 是“[5.3]型三角形”，∠A= 30°，“弦边”AB=2，则 AC=__5或 3+ 5 ________
解析：
3 6
如图 1 中，当 AC 是最小边时，AC =5 AB=5
6
如图 2 中，当 BC 是最小边时，BC=5，过点 B 作 BH⊥AC 交 AC 于点 H
∵∠A=30°,
∴BH ='AB=1 ，
∴AH = = 2 1 = 3
6 11CH = 5 1 = 5
11
∴AC = AH+CH = 3+ 5 _
6 3 11AC=5或 + 5
(3)如图，在△ABC 中，∠ACB=90°, AB=10.现将△ABC 关于直线 BC 作作轴对称，点 A 的对
称点为点 D，连结 BD，作 AP⊥BD ，垂足为 P。当△ABC 是“[5.3]型三角形”时，求线段 DP
的长.
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3
解︰如图 3，当 AC由翻折变换的性质可知 BA=BD =10 , AC=CD=6
∵AP⊥BD ， BC⊥AD
1 1
∴2BD×AP=2AD×BC
12 × 8 48
∴AP= 10 = 5
48 36∴PD = = 12 5 = 5
64
BC 是最小边时，同法可得 PD= 5
64 36
∴PD= 5 或 5
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