17.2 勾股定理的逆定理（第1课时）课件 (共30张PPT)

(共30张PPT)
17.2勾股定理的逆定理（第1课时）
第17章 勾股定理
教师
xxx
人教版 八年级下册
勾股定理的逆定理
勾股数
逆命题与逆定理
勾股数的拓展性质
01
03
02
04
CONTANTS
目 录
勾股定理的逆定理
01
17.1我们学习了勾股定理，即
能否推出结论：△ABC是直角三角形呢？
如果题设与结论反过来，即
题设：若△ABC三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，
题设：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c;
结论：那么a2＋b2＝c2．
C
A
B
c
a
b
问题引入
按照这种做法真能得到一个直角三角形吗？
古埃及人曾用下面的方法得到直角：
用13个等距的结，把一根绳子分成等长的12段，然后以3段，4段，5段的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．
探究新知
实验操作：
（2）量一量：用量角器测量上述三角形的最大角的度数．
（3）想一想：请判断这些三角形的形状，并提出猜想．
32＋42＝52
52＋122＝132
（1）画一画：下列各组数都满足a2＋b2＝c2，分别以这些数为边长画出三角形
（单位：cm），它们是直角三角形吗？
① 3，4，5； ② 5，12，13； ③8，15，17； ④ 7，24，25．
82＋152＝172
72＋242＝252
如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
探究新知
已知：在△ABC中，三边长分别为a，b，c，且a2＋b2＝c2．你能否判断△ABC是直角三角形？请说明理由．
分析：作一个直角∠MC1N，
在C1M上截取C1B1＝a＝CB，
在C1N上截取C1A1＝b＝CA，
连接A1B1．
A
C
B
b
c
a
C1
N
M
B1
A1
b
a
探究新知
解：在Rt△A1B1C1中，
由勾股定理，得A1B12＝a2＋b2，
∴A1B1＝AB．
在△ABC和△A1B1C1中，
AB＝A1B1，AC＝ A1C1，BC＝B1C1，
∴△ABC≌△A1B1C1（SSS）．
∴∠C＝∠C1．
∴△ABC是直角三角形．
A
C
B
b
c
a
C1
N
M
B1
A1
b
a
探究新知
直角三角形的判定有两法可依：
（1）由角的关系：证明两内角互余或一角为直角．
（2）由边的关系：利用勾股定理的逆定理判定．
如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
勾股定理的逆定理
探究新知
逆命题与逆定理
02
前面我们学习了两个命题，分别为：
命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．
命题2：如果三角形的三边长a ，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
两个命题的题设和结论有何联系？
探究新知
一般地，原命题成立时，它的逆命题既可能成立，也可能不成立．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理． 勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理．
题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题．
探究新知
试着说出下列命题的逆命题，这些逆命题成立吗？
（1）两条直线平行，内错角相等；
（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
（3）全等三角形的对应角相等；
（4）在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
内错角相等，两条直线平行．
成立
如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等．
不成立
对应角相等的两个三角形全等．
不成立
在角平分线上的点到角的两边距离相等．
成立
探究新知
勾股数
03
例题1 下面以a，b，c为边长的三角形是不是直角三角形？
(1) a 5，b 12，c 13；
(2) a 6，b 7，c 8；
是
不是
是
(3) a 1，b 2，c .
像5，12，13这样能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.
52+122 132
62+72 82
12+( )2 22
典型例题
勾股数的拓展性质
04
常见勾股数：
3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.
勾股数拓展性质：
一组勾股数，都扩大相同倍数k，得到一组新数，这组数同样是勾股数.
探究新知
我们知道3,4,5是一组勾股数，那么3k,4k,5k（k是正整数）也是一组勾股数吗？一般地，如果a,b,c是一组勾股数，那么ak,bk,ck（k是正整数）也是一组勾股数吗？
解：（1）3k,4k,5k也是一组勾股数.
因为（3k）2+（4k）2=9k2+16k2=25k2,（5k）2=25k2,
所以（3k）2+（4k）2=（5k）2.
勾股数拓展性质的证明：
探究新知
（2）如果a,b,c是一组勾股数，那么ak,bk,ck也是一组勾股数.
因为a,b,c是勾股数，则a2+b2=c2
（ak）2+（bk）2=a2k2+b2k2=（a2+b2）k2=c2k2,（ck）2=c2k2
故（ak）2+（bk）2=（ck）2,所以ak,bk,ck也是一组勾股数.
探究新知
例题2 下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？
(1) a=15 ， b=8 ，c=17;
解：因为152+82=289，172=289，所以152+82=172，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且∠C是直角.
(2) a=13 ， b=14 ， c=15;
解：因为132+142=365，152=225，所以132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，所以这个三角形不是直角三角形.
典型例题
(3) a:b: c=3:4:5;
解：设a=3k,b=4k,c=5k,
因为(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2,
所以(3k)2+(4k)2=(5k)2,根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，∠C是直角.
归纳：根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.
典型例题
变式1： 已知△ABC，AB=n -1，BC=2n，AC=n +1(n为
大于1的正整数).试问△ABC是直角三角形吗？若是，
哪一条边所对的角是直角？请说明理由
解：∵AB +BC =(n -1) +(2n)
=n4 -2n +1+4n
=n4 +2n +1
=(n +1)
=AC ，
∴△ABC直角三角形，边AC所对的角是直角.
先确定AB、BC、AC、
的大小
典型例题
变式2： 若三角形ABC的三边 a,b,c 满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c. 试判断△ABC的形状.
解：∵ a2+b2+c2+50=6a+8b+10c
∴ a2－6a+9+b2－8b+16+c2－10c+25=0.
即 (a－3) + (b－4) + (c－5) =0.
∴ a=3, b=4, c=5
即 a2+b2+c2.
∴△ABC直角三角形.
典型例题
1.△ABC中 A， B， C的对边分别是a，b，c，则 下列命题中的假命题是( )
A.如果 C B A，则△ABC是直角三角形；
B.如果c2=b2 a2，则△ABC是直角三角形，且 C 90°；
C.如果(c a)(c a)=b2，则△ABC是直角三角形；
D.如果 A B C=5 2 3，则△ABC是直角三角形.
B
课堂练习
2.下列四组线段，不能构成直角三角形的是( )
A. a 8，b 15，c 17；
B. a 9，b 12，c 15；
C. a ，b ，c ；
D. a b c 2 3 4.
82+152 172
(2x)2+(3x)2 (4x)2
92+122 152
( )2+( )2 ( )2
2x
3x
4x
D
课堂练习
3.将直角三角形的三条边同时扩大3倍，得到的三角形是（ ）.
A. 锐角三角形 B. 等腰三角形
C. 直角三角形 D. 钝角三角形
C
课堂练习
4.一个三角形的三边长分别是5,12,13，则这个三角形的面积是（ ）
A. 30 B. 60 C. 78 D.不能确定
5. 一个三角形的三边长的平方分别为32，42，x2，若三角形是直角三角形，则x2的值是( )
A. 42 B. 25
C. 7 D. 25或7
A
D
课堂练习
6.写出下列命题的逆命题，并判断逆命题是否成立.
(1)全等三角形的对应角相等.
(2)两直线平行，内错角相等.
(3)互为相反数的两个数的绝对值相等.
解：(1)对应角相等的两个三角形是全等三角形；
(2)内错角相等，两直线平行；
(3)绝对值相等的两个数互为相反数.
不成立
成立
不成立
课堂练习
勾股定理
的逆定理
内容
如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形
逆命题与逆定理
勾股数
最长边不一定是c， ∠C也不一定是直角
勾股数一定是正整数
课堂小结
感谢观看