2023年1月份第2周 数学好题推荐（含解析）
文档属性
| 名称 | 2023年1月份第2周 数学好题推荐（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 978.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-01-11 04:44:19 | ||
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文档简介
2023年1月份第2周 数学好题推荐
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、若，则( )
A. B. C. D.i
2、的展开式中的系数为( )
A.-56 B.-28 C.28 D.56
3、我国古代将“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.某校国学社团计划开展“六艺”讲座活动，要求活动当天每艺安排一节，连排6节，且“数”必须排在第3节，“射”和“御”相邻，则不同的安排顺序共有( )
A.12种 B.24种 C.36种 D.48种
4、函数在单调递减，且为奇函数.若,则满足的x的取值范围是( )
A.[-2,2] B.[-1,1] C.[0,4] D.[1,3]
5、已知函数则函数的零点个数为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
6、已知角的终边经过点,则的值为( )
A. B. C. D.
7、已知单调递增的等比数列中, ，则数列的前n项和( )
A. B. C. D.
8、志愿服务活动,是公民参与社会活动的重要形式,也是现代文明的基本特征,某种程度上这一无偿的公益性活动,代表着整个社会的文明水平,是奉献精神的体现.近年来我国这一群体正在悄然壮大,在救灾抢险、扶弱助残、环境保护、社区建设等各个领域都可看到志愿者的身影.根据调查,志愿者团队愿意参与社区活动的人数为总人数的,用频率估计概率,则从该团队中任选三名,至少有两名志愿者愿意参与社区活动的概率为( )
A. B. C. D.
9、已知点A是抛物线的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，点P在抛物线上且满足，当m取最大值时，点P恰好在以A，B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
10、已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为，则O到平面ABC的距离为( )
A. B. C.1 D.
11、已知是定义域为R的单调函数，且对任意实数x，都有，则的值为( )
A.3 B.5 C.7 D.9
12、已知，集合，，则( )
A. B.
C.或 D.
13、若是函数的极值点，则的极小值为( )
A.-1 B. C. D.1
14、已知点落在角的终边上，且，则的值为( )
A. B. C. D.
15、设的定义域为R,周期为,初相为,值域为,则函数的解析式为( )
A.
B.
C.
D.
16、在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则( ).
A. B. C. D.
二、多项选择题
17、已知椭圆C的中心在原点，焦点，在y轴上，且短轴长为2，离心率为，过焦点作y轴的垂线，交椭圆C于P，Q两点，则下列说法正确的是( )
A.椭圆方程为 B.椭圆方程为
C. D.的周长为
18、已知，，且a，b都是不等于1的实数，则下列不等式成立的是( ).
A. B. C. D.
三、填空题
19、已知函数，曲线在点处的切线方程是，则函数在点处的切线方程是____________.
20、______________.
21、平面向量，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则________.
22、已知数列对任意m，都满足，且，若命题“，”为真，则实数的最大值为_____________.
23、若的三个顶点分别为,则角的大小为__________________.
四、解答题
24、在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求的值；
（2）若，的面积为，求b的值.
25、设数列的前n项和为，数列的前n项和为.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
26、已知函数.
（1）讨论函数的单调性与极值；
（2）若对任意，恒成立，求实数a的取值范围.
27、在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求C；
(2)已知的外接圆半径为4，若有最大值，求实数m的取值范围.
28、已知是等差数列的前n项和，，.
（1）求；
（2）若，求数列的前n项和.
29、如图，在三棱柱中，为等边三角形，侧面为菱形，，且侧面底面ABC，点D为的中点，点E为直线与平面ABC的交点.
(1)试确定点E的位置，并证明：平面；
(2)求直线AB与平面所成角的正弦值.
30、已知椭圆，其左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆C交于A，B两点，且椭圆的离心率.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆上存在一点M，使得，求直线l的方程.
参考答案
1、答案：D
解析：由，得，所以，故选D.
2、答案：B
解析：由题知，
展开式的通项公式为，
将含项记为M，则，
故含项的系数为-28，
故选：B.
3、答案：C
解析：分析可知“数”排在第3节，且“射”和“御”相邻时，有种排法，
再将“礼”、“乐”、“书”安排在剩下的3节，有种排法，
所以不同的安排顺序共有（种）.
故选：C.
4、答案：D
解析：∵奇函数在上单调递减，且，∴，由，得，∴，故选D
5、答案：D
解析：本题考查分段函数的图像和函数的零点个数.函数的零点个数就是方程的根的个数，即为函数与图像的交点个数.当时，，则；以此类推，当时，；…；在平面直角坐标系中作出函数与的部分图像如图所示.
由图像可知，与的图像有7个不同的交点，即函数有7个零点.故选D.
6、答案：D
解析：角的终边经过点以为圆心，过点的圆的半径，，故选D.
7、答案：B
解析： ，由等比数列的性质可得为方程的实根，解方程可得或. 等比数列单调递增，.
8、答案：D
解析：有两人愿意参加社区活动的概率为,三人都愿意参加社区活动的概率为,所以至少有两人愿意参加社区活动的概率为,故选D.
9、答案：B
解析：由，得，
焦点，准线，
从而，如图所示.设.
，，
.
结合图形知，当AP与抛物线相切时，最小，从而m最大.
设直线AP的方程为，
由得，
令，解得，
不妨取，得P点坐标为.
设双曲线的方程为.
在双曲线中，，即，
，
离心率，故选B.
10、答案：C
解析：设球O的半径为R，则，解得：.
设外接圆半径为r，边长为a，
是面积为的等边三角形，
，解得：，，
球心O到平面ABC的距离.
故选：C.
11、答案：B
解析：由，且是单调函数可知必是常数，设(k为常数)，得，且，解得，所以，.
12、答案：
解析：由得或，则或，故，
故.故选D.
13、答案：A
解析：因为，，所以，所以，.令，解得或，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以的极小值为.
14、答案：D
解析：由，知角是第四象限角.因为，，所以，故选D.
15、答案：A
解析：因为，，所以，.
因为，所以.
又，所以.
16、答案：B
解析：因为，，，
由正弦定理得.
故选：B.
17、答案：ACD
解析：由已知，得，，则.又，所以，所以椭圆的方程为.由题意，得，的周长为.故选ACD.
18、答案：AC
解析：当时，在上是增函数，当时，，故A正确；
当时，在定义域上是增函数，当时，，故B错误；
当时，在定义域上是增函数，当时，，故C正确；
当时，在上是减函数，当时，，故D错误.故选AC.
19、答案：
解析：由题意得，，，.
，，
所求切线方程为，即.
20、答案：
解析：,
,
原式.
21、答案：2
解析：由，得，.与a的夹角等于c与b的夹角，，即，解得.
22、答案：7
解析：令，则，，所以数列为等差数列，所以，所以，又函数在上单调递减，在上单调递增，当时，，当时，，所以的最小值为7，所以的最大值为7.
23、答案：30°
解析：,则,故角的大小为30°.
24、答案：（1）
（2）
解析：（1）在中，由正弦定理及，
得，
.
又，.
，，.
（2）角B是的内角，
，.
又，，解得.
在中，由余弦定理得，
，解得.
25、答案：（1）数列的前n项和为，
时，.
时，，不满足上式.
数列的前n项和为.
时，，可得，
整理得.
时，，解得.
数列是等比数列，且首项与公比都为2.
.
（2），当时，；当时，.
时，；
时，.
.
.
整理得.
当时也满足上式，.
解析：
26、答案：（1）见解析
（2）
解析：（1），
.
①当时，恒成立，
在R上单调递增，无极大值也无极小值；
②当，时，，
时，，
在上单调递减，在单调递增.
函数有极小值为，无极大值.
（2）若对任意，恒成立，
则恒成立，
即.
设，
则，
令，
解得，
当时，，
当时，，
在上为减函数，在上为增函数，
，
，
当时满足对任意，恒成立，
实数a的取值范围为.
27、答案：(1).
(2)取值范围是.
解析：(1)，由已知条件得，
由，得，
由，得，
.
(2)由正弦定理得，
，其中，
又，
若存在最大值，即有解，即，
解得，即m的取值范围是.
28、答案：（1）
（2）
解析：（1）设等差数列的公差为d，
由，得，
又，，即，解得.
.
（2）由题意得，
.
令，，
则当时，，
此时；
当时，，
此时.
29、答案：(1)见解析.
(2)正弦值为.
解析：(1)延长线段，交AC的延长线于点E.
平面ABC，
平面ABC.
又平面，点E即为所求.
连接交直线于点F，连接FD.
，即，
点D为的中点.
在三棱柱中，四边形为平行四边形，
为线段的中点，
为的中位线，
.
又平面平面，
平面.
(2)连接，取AC的中点O，连接，
侧面为菱形，，
.
又侧面底面ABC，侧面底面侧面，
平面ABC.
又为等边三角形，两两垂直.
以O为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
不妨设.由已知可得，则.
设平面的一个法向量为.
则有
取，则，即.
设直线AB与平面所成角为，
则，
即直线AB与平面所成角的正弦值为.
30、答案：（1）
（2）
解析：（1）过的直线，
令，解得，，
，，，椭圆C的方程为.
（2）设，，，
由，得，，将其代入椭圆方程，可得，
，
，
联立方程，得消去x，可得，
，，
，
即，解得.
故所求直线l的方程为.
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、若，则( )
A. B. C. D.i
2、的展开式中的系数为( )
A.-56 B.-28 C.28 D.56
3、我国古代将“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.某校国学社团计划开展“六艺”讲座活动，要求活动当天每艺安排一节，连排6节，且“数”必须排在第3节，“射”和“御”相邻，则不同的安排顺序共有( )
A.12种 B.24种 C.36种 D.48种
4、函数在单调递减，且为奇函数.若,则满足的x的取值范围是( )
A.[-2,2] B.[-1,1] C.[0,4] D.[1,3]
5、已知函数则函数的零点个数为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
6、已知角的终边经过点,则的值为( )
A. B. C. D.
7、已知单调递增的等比数列中, ，则数列的前n项和( )
A. B. C. D.
8、志愿服务活动,是公民参与社会活动的重要形式,也是现代文明的基本特征,某种程度上这一无偿的公益性活动,代表着整个社会的文明水平,是奉献精神的体现.近年来我国这一群体正在悄然壮大,在救灾抢险、扶弱助残、环境保护、社区建设等各个领域都可看到志愿者的身影.根据调查,志愿者团队愿意参与社区活动的人数为总人数的,用频率估计概率,则从该团队中任选三名,至少有两名志愿者愿意参与社区活动的概率为( )
A. B. C. D.
9、已知点A是抛物线的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，点P在抛物线上且满足，当m取最大值时，点P恰好在以A，B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
10、已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为，则O到平面ABC的距离为( )
A. B. C.1 D.
11、已知是定义域为R的单调函数，且对任意实数x，都有，则的值为( )
A.3 B.5 C.7 D.9
12、已知，集合，，则( )
A. B.
C.或 D.
13、若是函数的极值点，则的极小值为( )
A.-1 B. C. D.1
14、已知点落在角的终边上，且，则的值为( )
A. B. C. D.
15、设的定义域为R,周期为,初相为,值域为,则函数的解析式为( )
A.
B.
C.
D.
16、在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则( ).
A. B. C. D.
二、多项选择题
17、已知椭圆C的中心在原点，焦点，在y轴上，且短轴长为2，离心率为，过焦点作y轴的垂线，交椭圆C于P，Q两点，则下列说法正确的是( )
A.椭圆方程为 B.椭圆方程为
C. D.的周长为
18、已知，，且a，b都是不等于1的实数，则下列不等式成立的是( ).
A. B. C. D.
三、填空题
19、已知函数，曲线在点处的切线方程是，则函数在点处的切线方程是____________.
20、______________.
21、平面向量，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则________.
22、已知数列对任意m，都满足，且，若命题“，”为真，则实数的最大值为_____________.
23、若的三个顶点分别为,则角的大小为__________________.
四、解答题
24、在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求的值；
（2）若，的面积为，求b的值.
25、设数列的前n项和为，数列的前n项和为.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
26、已知函数.
（1）讨论函数的单调性与极值；
（2）若对任意，恒成立，求实数a的取值范围.
27、在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求C；
(2)已知的外接圆半径为4，若有最大值，求实数m的取值范围.
28、已知是等差数列的前n项和，，.
（1）求；
（2）若，求数列的前n项和.
29、如图，在三棱柱中，为等边三角形，侧面为菱形，，且侧面底面ABC，点D为的中点，点E为直线与平面ABC的交点.
(1)试确定点E的位置，并证明：平面；
(2)求直线AB与平面所成角的正弦值.
30、已知椭圆，其左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆C交于A，B两点，且椭圆的离心率.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆上存在一点M，使得，求直线l的方程.
参考答案
1、答案：D
解析：由，得，所以，故选D.
2、答案：B
解析：由题知，
展开式的通项公式为，
将含项记为M，则，
故含项的系数为-28，
故选：B.
3、答案：C
解析：分析可知“数”排在第3节，且“射”和“御”相邻时，有种排法，
再将“礼”、“乐”、“书”安排在剩下的3节，有种排法，
所以不同的安排顺序共有（种）.
故选：C.
4、答案：D
解析：∵奇函数在上单调递减，且，∴，由，得，∴，故选D
5、答案：D
解析：本题考查分段函数的图像和函数的零点个数.函数的零点个数就是方程的根的个数，即为函数与图像的交点个数.当时，，则；以此类推，当时，；…；在平面直角坐标系中作出函数与的部分图像如图所示.
由图像可知，与的图像有7个不同的交点，即函数有7个零点.故选D.
6、答案：D
解析：角的终边经过点以为圆心，过点的圆的半径，，故选D.
7、答案：B
解析： ，由等比数列的性质可得为方程的实根，解方程可得或. 等比数列单调递增，.
8、答案：D
解析：有两人愿意参加社区活动的概率为,三人都愿意参加社区活动的概率为,所以至少有两人愿意参加社区活动的概率为,故选D.
9、答案：B
解析：由，得，
焦点，准线，
从而，如图所示.设.
，，
.
结合图形知，当AP与抛物线相切时，最小，从而m最大.
设直线AP的方程为，
由得，
令，解得，
不妨取，得P点坐标为.
设双曲线的方程为.
在双曲线中，，即，
，
离心率，故选B.
10、答案：C
解析：设球O的半径为R，则，解得：.
设外接圆半径为r，边长为a，
是面积为的等边三角形，
，解得：，，
球心O到平面ABC的距离.
故选：C.
11、答案：B
解析：由，且是单调函数可知必是常数，设(k为常数)，得，且，解得，所以，.
12、答案：
解析：由得或，则或，故，
故.故选D.
13、答案：A
解析：因为，，所以，所以，.令，解得或，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以的极小值为.
14、答案：D
解析：由，知角是第四象限角.因为，，所以，故选D.
15、答案：A
解析：因为，，所以，.
因为，所以.
又，所以.
16、答案：B
解析：因为，，，
由正弦定理得.
故选：B.
17、答案：ACD
解析：由已知，得，，则.又，所以，所以椭圆的方程为.由题意，得，的周长为.故选ACD.
18、答案：AC
解析：当时，在上是增函数，当时，，故A正确；
当时，在定义域上是增函数，当时，，故B错误；
当时，在定义域上是增函数，当时，，故C正确；
当时，在上是减函数，当时，，故D错误.故选AC.
19、答案：
解析：由题意得，，，.
，，
所求切线方程为，即.
20、答案：
解析：,
,
原式.
21、答案：2
解析：由，得，.与a的夹角等于c与b的夹角，，即，解得.
22、答案：7
解析：令，则，，所以数列为等差数列，所以，所以，又函数在上单调递减，在上单调递增，当时，，当时，，所以的最小值为7，所以的最大值为7.
23、答案：30°
解析：,则,故角的大小为30°.
24、答案：（1）
（2）
解析：（1）在中，由正弦定理及，
得，
.
又，.
，，.
（2）角B是的内角，
，.
又，，解得.
在中，由余弦定理得，
，解得.
25、答案：（1）数列的前n项和为，
时，.
时，，不满足上式.
数列的前n项和为.
时，，可得，
整理得.
时，，解得.
数列是等比数列，且首项与公比都为2.
.
（2），当时，；当时，.
时，；
时，.
.
.
整理得.
当时也满足上式，.
解析：
26、答案：（1）见解析
（2）
解析：（1），
.
①当时，恒成立，
在R上单调递增，无极大值也无极小值；
②当，时，，
时，，
在上单调递减，在单调递增.
函数有极小值为，无极大值.
（2）若对任意，恒成立，
则恒成立，
即.
设，
则，
令，
解得，
当时，，
当时，，
在上为减函数，在上为增函数，
，
，
当时满足对任意，恒成立，
实数a的取值范围为.
27、答案：(1).
(2)取值范围是.
解析：(1)，由已知条件得，
由，得，
由，得，
.
(2)由正弦定理得，
，其中，
又，
若存在最大值，即有解，即，
解得，即m的取值范围是.
28、答案：（1）
（2）
解析：（1）设等差数列的公差为d，
由，得，
又，，即，解得.
.
（2）由题意得，
.
令，，
则当时，，
此时；
当时，，
此时.
29、答案：(1)见解析.
(2)正弦值为.
解析：(1)延长线段，交AC的延长线于点E.
平面ABC，
平面ABC.
又平面，点E即为所求.
连接交直线于点F，连接FD.
，即，
点D为的中点.
在三棱柱中，四边形为平行四边形，
为线段的中点，
为的中位线，
.
又平面平面，
平面.
(2)连接，取AC的中点O，连接，
侧面为菱形，，
.
又侧面底面ABC，侧面底面侧面，
平面ABC.
又为等边三角形，两两垂直.
以O为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
不妨设.由已知可得，则.
设平面的一个法向量为.
则有
取，则，即.
设直线AB与平面所成角为，
则，
即直线AB与平面所成角的正弦值为.
30、答案：（1）
（2）
解析：（1）过的直线，
令，解得，，
，，，椭圆C的方程为.
（2）设，，，
由，得，，将其代入椭圆方程，可得，
，
，
联立方程，得消去x，可得，
，，
，
即，解得.
故所求直线l的方程为.
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