3.4.1圆周角与圆心角的关系（1） 学案
文档属性
| 名称 | 3.4.1圆周角与圆心角的关系（1） 学案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-01-11 20:37:14 | ||
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文档简介
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3.4.1圆周角与圆心角的关系（1） 导学案
课题 3.4.1圆周角与圆心角的关系（1） 单元 第3单元 学科 数学 年级 九年级（下）
教材分析 理解圆周角定义，掌握圆周角定理,会熟练运用定理解决问题.圆周角定理及其应用.经历探索圆周角和圆心角关系的过程，培养学生观察、分析、猜想、归纳和逻辑推理的能力.
核心素养分析 1．培养学生观察、分析及理解问题的能力．2．在学生自主探索定理的过程中，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确学习方式．培养学生的探索精神和解决问题的能力．
学习目标 1. 理解圆周角的概念，掌握圆周角和圆心角之间的关系，并会运用它进行有关的证明和运算.2. 经历探索圆周角和圆心角关系的过程，培养学生观察、分析、猜想、归纳和逻辑推理的能力.
重点 圆周角定理及其应用．
难点 圆周角定理证明过程中的“分类讨论”思想的渗透．
教学过程
课前预学 引入思考探究一：在射门游戏中（如图 3-15），球员射中球门的难易与他所处的位置 B 对球门 AC 的张角（∠ABC）有关．图 3-16 是一个俯视图，位置B，D，E 对球门 AC 所形成的张角的大小相等吗？ 图3-15 图3-16观察图 3-16 中的∠ABC，∠ADC，∠AEC，可以发现，它们的顶点都在圆上，两边分别与圆还有另一个交点，像这样的角，叫做 （angle ina circular segment）．练一练：判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。做一做如图 3-17，∠AOB = 80°．（1）请你画出几个所对的圆周角，这几个圆周角有什么关系呢？请与同伴进行交流．（2）这些圆周角与圆心角 ∠ AOB 的大小有什么关系？你是怎样发现的？与同伴进行交流．图3-17议一议在图 3-17 中，改变∠AOB 的度数，上面的结论仍成立吗？圆周角定理 ．探究二： 已知：如图 3-18，∠ ACB 是所对的圆周角，∠ AOB 是所对的圆心角．求证：∠ ACB = ∠ AOB圆周角与圆心角有几种不同的位置关系呢？分析：根据圆周角和圆心的位置关系分三种情况讨论：（1）圆心 O 在 ∠ ACB 的一条边上，如图 3-18（1）；（2）圆心 O 在 ∠ ACB 的内部，如图 3-18（2）；（3）圆心 O 在 ∠ ACB 的外部，如图 3-18（3）．在三种位置关系中，我们选择（1）给出证明，其他情况可以转化为（1）的情况进行证明．图3-18证明：（1）圆心 O 在 ∠ ACB 的一条边上，如图 3-18（1）．∵ ∠ AOB 是 △AOC 的外角，∴ ∠ AOB = ∠ CAO + ∠ ACB．∵ OA = OC，∴ ∠ CAO = ∠ ACB．∴ ∠ AOB = 2 ∠ ACB即∠ACB =∠ AOB．议一议你能解决其他两种情况吗？要解决图 3-18（2）和图 3-18（3）的情况，可以分别将其转化成图 3-18（1）的情况，从而利用三角形外角解决问题．
新知讲解 提炼概念 概括：先特殊，再一般，转化思想。圆心在内部时转化为两个角的和，圆心在外部时转化为两个角的差。出示圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半典例精讲 例： 如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB＝2∠BOC．∠ACB与∠BAC的大小有什么关系？为什么？探究三： 想一想问题回顾：当球员在B，D，E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC，这三个角的大小有什么关系 处理方式：通过回顾之前提出的问题，直接应用圆周角定理解决问题，然后推导出另一条圆周角与弧的定理．理由：归纳：同弧或等弧所对的圆周角相等.
课堂练习 巩固训练1.如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠A=60°，∠B=24°，则∠C的度数为（ ）A.84° B.60° C.36° D.24° 2.如图，点A、B、C、D在☉O上，点A与点D在点B、C所在直线的同侧，∠BAC=35 .(1)∠BOC= ，理由是 ;∠BDC= ，理由是 ; .3.为什么电影院的作为排列呈弧形，说一说这设计的合理性.4.船在航行过程中，船长通过测定角度数来确定是否遇到暗礁，如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，优弧AB上任一点C都是有触礁危险的临界点，∠ACB就是“危险角”，当船位于安全区域时，∠α与“危险角”有怎样的大小关系？5.如图，在⊙O 中，∠AOC＝150°，求∠ABC，∠ADC 的度数，并判断∠ABC 和∠ADC，∠EBC 和∠ADC 之间的度数关系．答案引入思考圆周角：顶点在圆上，两边都与圆相交的角。（1）第一种情况：当圆心O在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时，圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系．∵∠AOC是△ABO的外角，∴∠AOC=∠B+∠A，，即（2）第二种情况如果圆心不在圆周角的一边上时，结果会怎样？当圆心O在圆周角(∠ABC)的内部时，圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样教师提示：能否转化为第一种情况？过点B作直径BD，由第一种情况可得（3）第三种情况：如果圆心不在圆周角的一边上时，结果会怎样？当圆心O在圆周角(∠ABC)的外部时，圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样 教师提示：能否转化为第一种情况？过点B作直径BD，由第一种情况可得提炼概念典例精讲 例问题回顾：理由：连接AO、CO, ∴．由此得出定理：同弧或等弧所对的圆周角相等．巩固训练1.D2.3.答：有些电影院的坐位排列呈圆弧形，这样设计的理由是尽量保证同排的观众视角相等.解：当船位于安全区域时，即船位于暗礁区域外（即⊙O外） ，与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”.∵∠AOC＝150°，∴∠ABC＝ ∠AOC＝75°.∵∠α＝360°－∠AOC＝360°－150°＝210°，∴∠ADC＝ ∠α＝105°.∵∠EBC＝180°－∠ABC＝180°－75°＝105°，∴∠EBC＝∠ADC，即∠EBC 与∠ADC 相等．又∵∠ABC＋∠ADC＝75°＋105°＝180°，∴∠ABC 和∠ADC 互补．
课堂小结
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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课题 3.4.1圆周角与圆心角的关系（1） 单元 第3单元 学科 数学 年级 九年级（下）
教材分析 理解圆周角定义，掌握圆周角定理,会熟练运用定理解决问题.圆周角定理及其应用.经历探索圆周角和圆心角关系的过程，培养学生观察、分析、猜想、归纳和逻辑推理的能力.
核心素养分析 1．培养学生观察、分析及理解问题的能力．2．在学生自主探索定理的过程中，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确学习方式．培养学生的探索精神和解决问题的能力．
学习目标 1. 理解圆周角的概念，掌握圆周角和圆心角之间的关系，并会运用它进行有关的证明和运算.2. 经历探索圆周角和圆心角关系的过程，培养学生观察、分析、猜想、归纳和逻辑推理的能力.
重点 圆周角定理及其应用．
难点 圆周角定理证明过程中的“分类讨论”思想的渗透．
教学过程
课前预学 引入思考探究一：在射门游戏中（如图 3-15），球员射中球门的难易与他所处的位置 B 对球门 AC 的张角（∠ABC）有关．图 3-16 是一个俯视图，位置B，D，E 对球门 AC 所形成的张角的大小相等吗？ 图3-15 图3-16观察图 3-16 中的∠ABC，∠ADC，∠AEC，可以发现，它们的顶点都在圆上，两边分别与圆还有另一个交点，像这样的角，叫做 （angle ina circular segment）．练一练：判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。做一做如图 3-17，∠AOB = 80°．（1）请你画出几个所对的圆周角，这几个圆周角有什么关系呢？请与同伴进行交流．（2）这些圆周角与圆心角 ∠ AOB 的大小有什么关系？你是怎样发现的？与同伴进行交流．图3-17议一议在图 3-17 中，改变∠AOB 的度数，上面的结论仍成立吗？圆周角定理 ．探究二： 已知：如图 3-18，∠ ACB 是所对的圆周角，∠ AOB 是所对的圆心角．求证：∠ ACB = ∠ AOB圆周角与圆心角有几种不同的位置关系呢？分析：根据圆周角和圆心的位置关系分三种情况讨论：（1）圆心 O 在 ∠ ACB 的一条边上，如图 3-18（1）；（2）圆心 O 在 ∠ ACB 的内部，如图 3-18（2）；（3）圆心 O 在 ∠ ACB 的外部，如图 3-18（3）．在三种位置关系中，我们选择（1）给出证明，其他情况可以转化为（1）的情况进行证明．图3-18证明：（1）圆心 O 在 ∠ ACB 的一条边上，如图 3-18（1）．∵ ∠ AOB 是 △AOC 的外角，∴ ∠ AOB = ∠ CAO + ∠ ACB．∵ OA = OC，∴ ∠ CAO = ∠ ACB．∴ ∠ AOB = 2 ∠ ACB即∠ACB =∠ AOB．议一议你能解决其他两种情况吗？要解决图 3-18（2）和图 3-18（3）的情况，可以分别将其转化成图 3-18（1）的情况，从而利用三角形外角解决问题．
新知讲解 提炼概念 概括：先特殊，再一般，转化思想。圆心在内部时转化为两个角的和，圆心在外部时转化为两个角的差。出示圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半典例精讲 例： 如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB＝2∠BOC．∠ACB与∠BAC的大小有什么关系？为什么？探究三： 想一想问题回顾：当球员在B，D，E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC，这三个角的大小有什么关系 处理方式：通过回顾之前提出的问题，直接应用圆周角定理解决问题，然后推导出另一条圆周角与弧的定理．理由：归纳：同弧或等弧所对的圆周角相等.
课堂练习 巩固训练1.如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠A=60°，∠B=24°，则∠C的度数为（ ）A.84° B.60° C.36° D.24° 2.如图，点A、B、C、D在☉O上，点A与点D在点B、C所在直线的同侧，∠BAC=35 .(1)∠BOC= ，理由是 ;∠BDC= ，理由是 ; .3.为什么电影院的作为排列呈弧形，说一说这设计的合理性.4.船在航行过程中，船长通过测定角度数来确定是否遇到暗礁，如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，优弧AB上任一点C都是有触礁危险的临界点，∠ACB就是“危险角”，当船位于安全区域时，∠α与“危险角”有怎样的大小关系？5.如图，在⊙O 中，∠AOC＝150°，求∠ABC，∠ADC 的度数，并判断∠ABC 和∠ADC，∠EBC 和∠ADC 之间的度数关系．答案引入思考圆周角：顶点在圆上，两边都与圆相交的角。（1）第一种情况：当圆心O在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时，圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系．∵∠AOC是△ABO的外角，∴∠AOC=∠B+∠A，，即（2）第二种情况如果圆心不在圆周角的一边上时，结果会怎样？当圆心O在圆周角(∠ABC)的内部时，圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样教师提示：能否转化为第一种情况？过点B作直径BD，由第一种情况可得（3）第三种情况：如果圆心不在圆周角的一边上时，结果会怎样？当圆心O在圆周角(∠ABC)的外部时，圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样 教师提示：能否转化为第一种情况？过点B作直径BD，由第一种情况可得提炼概念典例精讲 例问题回顾：理由：连接AO、CO, ∴．由此得出定理：同弧或等弧所对的圆周角相等．巩固训练1.D2.3.答：有些电影院的坐位排列呈圆弧形，这样设计的理由是尽量保证同排的观众视角相等.解：当船位于安全区域时，即船位于暗礁区域外（即⊙O外） ，与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”.∵∠AOC＝150°，∴∠ABC＝ ∠AOC＝75°.∵∠α＝360°－∠AOC＝360°－150°＝210°，∴∠ADC＝ ∠α＝105°.∵∠EBC＝180°－∠ABC＝180°－75°＝105°，∴∠EBC＝∠ADC，即∠EBC 与∠ADC 相等．又∵∠ABC＋∠ADC＝75°＋105°＝180°，∴∠ABC 和∠ADC 互补．
课堂小结
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