26.1反比例函数
一、单选题
1.若为关于的反比例函数，则的值是 ( )
A.0 B. C. D.1
【答案】B
【分析】根据反比例函数定义直接列式求解即可得到答案.
【详解】解：∵为关于的反比例函数，∴，解得，
故选B.
【点睛】本题考查反比例函数的定义：形如的函数，叫反比例函数.
2.如图，点P在y轴正半轴上，⊙P交x轴于A，B两点，连接BP并延长交⊙P于C，且⊙P的半径为，AB=4.若函数的图像过C点，则k的值是 ( )
A. B. C. D.4
【答案】B
【分析】连接AC，由圆周角定理可知，，在中由勾股定理可计算AC的长；由垂径定理可知，进而确定点C的坐标，最后将点C坐标代入即可计算出k的值.
【详解】如图，连接AC
CB是直径，
由圆周角定理可知
在中，由勾股定理可得：
，
轴是直径所在的直线，且轴，
由垂径定理可得：
点C的横坐标，纵坐标
将代入，解得：
故选： B.
【点睛】本题考查了在圆的背景下用待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握垂径定理和圆周角定理并能使用数形结合思想解题，是本题的解题关键.
3.如图直角三角板∠ABO＝30°，直角项点O位于坐标原点，斜边AB垂直于x轴，顶点A在函数的y1＝图象上，顶点B在函数y2＝的图象上，则＝ ( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】设AC＝a，则OA＝2a，OC＝a，根据直角三角形30°角的性质和勾股定理分别计算点A和B的坐标，写出A和B两点的坐标，代入解析式求出k1和k2的值，即可求的值.
【详解】设AB与x轴交点为点C，
Rt△AOB中，∠B＝30°，∠AOB＝90°，
∴∠OAC＝60°，
∵AB⊥OC，
∴∠ACO＝90°，
∴∠AOC＝30°，
设AC＝a，则OA＝2a，OC＝a，
∴A(a，a)，
∵A在函数y1＝的图象上，
∴k1＝a×a＝a2，
Rt△BOC中，OB＝2OC＝2a，
∴BC＝＝3a，
∴B(a，﹣3a)，
∵B在函数y2＝的图象上，
∴k2＝﹣3a×a＝﹣3a2，
∴＝，
故选： D.
【点睛】此题考查反比例函数的性质，勾股定理，直角三角形的性质，设AC＝a是解题的关键，由此表示出其他的线段求出k1与k2的值，才能求出结果.
4.下列关系中，两个量之间为反比例函数关系的是 ( )
A.正方形的面积S与边长a的关系 B.正方形的周长l与边长a的关系
C.矩形的长为a，宽为20，其面积S与a的关系 D.矩形的面积为40，长a与宽b之间的关系
【答案】D
【详解】A、根据题意，得，所以正方形的面积S与边长a的关系是二次函数关系；故本选项错误；
B、根据题意，得，所以正方形的周长l与边长a的关系是正比例函数关系；故本选项错误；
C、根据题意，得，所以正方形的面积S与边长a的关系是正比例函数关系；故本选项错误；
D、根据题意，得，所以正方形的面积S与边长a的关系是反比例函数关系；故本选项正确.
故选 D.
5.如果双曲线经过点，那么此双曲线一定不经过 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】根据双曲线经过点，即，根据反比例函数图象上点的坐标特点可知双曲线经过的点.
【详解】∵双曲线经过点，
∴，
∵，
故选：D
【点睛】本题考查了求反比例函数解析式及反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式.反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上.
6.在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数(其中)的大致图象可能是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】根据一次函数与反比例函数的性质，判断图象经过的象限即可得出结果.
【详解】解：时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第一、三象限，无选项符合题意；
时，一次函数的图象经过第二、三、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第二、四象限，选项A符合题意.
故选：A.
【点睛】题目主要考查一次函数与反比例函数的图象判断，熟练掌握一次函数与反比例函数的基本性质是解题关键.
7.如图，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，点P在以为圆心，1为半径的上，Q是的中点，已知长的最小值为，则k的值为 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】先确定长的最小时点P的位置，当所在的直线过圆心C时，最短，设，则，，根据勾股定理计算t的值，可得k的值.
【详解】解：连接，
由对称性得：，
∵Q是的中点，
∴，
∵长的最小值为，
∴长的最小值为，
如图，当所在的直线过圆心C时，最短，过B作轴于D，
∵，
∴，
∵B在直线上，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得(舍)或，
∴，
∵点B在反比例函数的图象上，
∴；
故选： C.
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、圆的性质，勾股定理的应用，解题的关键是利用中位线的性质和圆的性质确定出点P的位置.
8.已知反比例函数的图象经过平移后可以得到函数的图象，关于新函数，下列结论正确的是 ( )
A.当时，随的增大而增大 B.该函数的图象与轴有交点
C.该函数图象与轴的交点为 D.当时，的取值范围是
【答案】C
【分析】由反比例函数的性质可知，反比例函数当或时，随的增大而减小，且关于对称；经过平移后得到，关于对称，增减性不变.
【详解】解：A.当时，随的增大而减小，本选项错误，不符合题意； B.该函数的图象与轴无限接近，但是没有交点，故本选项错误，不符合题意； C.该函数图象与轴的交点为，故本选项正确，符合题意； D.当时，的取值范围是，故本选项错误，不符合题意；
故选： C.
【点睛】考查了反比例函数图象上点的坐标特征，函数图象的平移；解题的关键是掌握反比例函数图象与系数的关系.
9.如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数的图象上，过点A作x轴的垂线，与函数的图象交于点C，连接交x轴于点 D.若点A的横坐标为1，，则点B的横坐标为 ( )
A. B.2 C. D.3
【答案】B
【分析】首先设出A的坐标，根据题意得出C的坐标，表示出的长度，过点B作垂直x轴，证明，由题目条件得出相似比，代换出点B的纵坐标，即可求出B的横坐标.
【详解】设点A的坐标为，设与x轴的交点为E，过点B作轴，垂足为F，如图：
∵点C在函数的图象上，且A轴，
∴C的坐标为，
∴，
∵轴，轴，
∴ ,
∴ ,
又∵，
∴ ,
∴，
即,
∴点B的纵坐标为，代入反比例函数解析式：
当时，，
∴B点的横坐标是2，
故选： B.
【点睛】本题考查反比例函数及相似三角形，解题关键是将线段比转化为两个相似三角形的相似比，由相似三角形的对应边得出点的坐标.
二、解答题
10.如图1，已知点，，且a、b满足，的边与y轴交于点E，且E为中点，双曲线经过C、D两点.
(1)求k的值；
(2)如图2，点P在双曲线上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，试求满足要求的所有点P、Q的坐标；
(3)如图3，以线段为对角线作正方形，点T是边上一动点，M是的中点，，交于N，当T在上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明.
【答案】(1)
(2)，或，或，
(3)，不发生改变，理由见解析
【分析】(1)先根据非负数的性质求出a、b的值，故可得出A、B两点的坐标，设，由，可知，再根据反比例函数的性质求出t的值即可；
(2)由(1)知可知反比例函数的解析式为，再由点P在双曲线上，点Q在y轴上，设，，再分以为边和以为对角线两种情况求出x的值，故可得出P、Q的坐标；
(3)连接、、，易证，故，，由此即可得出结论.
【详解】(1)解：，
，解得：，
，，
E为中点，
，
设，
又，
，
，
，
；
(2)解：由(1)知，
反比例函数的解析式为，
点P在双曲线上，点Q在y轴上，
设，，
①当为边时：
如图1，若为平行四边形，
则，解得，
此时，；
如图2，若为平行四边形，
则，解得，
此时，； ②如图3，当为对角线时，
，且；
，解得，
，；
综上：，或，或，；
(3)解：的值不发生改变，
理由：如图4，连接、、，
是线段的垂直平分线，
，
四边形是正方形，
，
在与中，
，
()，
，,
，
四边形中，，而，
所以，，
因为，四边形内角和为，
所以，
， ，
即的值不发生改变.
【点睛】本题考查了非负数的性质，待定系数法求反比例函数解析式，平行四边形的存在性问题，正方形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的性质和判定，四边形的内角和，直角三角形的性质等知识点，有一定的难度，解决本题的关键是熟练掌握相关知识点并能灵活运用.
11.某公司为了宣传一种新产品，在某地先后举行18场产品促销会，已知该产品每台成本为4万元，设第x场产品的销售量为y(台)，在销售过程中获得以下信息：
信息1：已知第一场销售产品38台，然后每增加一场，产品就少卖出2台；
信息2：产品的每场销售单价p(万元)由基本价和浮动价两部分组成，其中基本价保持不变，第1场—第10场浮动价与销售场次x成正比，第11场—第18场浮动价与销售场次x成反比，经过统计，得到如下数据：
x(场) 4 8 15
p(万元) 5 6 7
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)求销售单价p与销售场次x之间的函数关系式；
(3)当产品销售单价为6.5万元时，求销售场次是第几场？
(4)在这18场产品促销会中，哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？(结果保留整数)
【答案】(1)
(2)
(3)当产品销售单价为6.5万元时，销售场次是第10场和第18场
(4)在这18场产品促销会中，第11场获得的利润最大，最大利润约为74万元
【分析】(1)根据第一场销售产品38台，然后每增加一场，产品就少卖出2台求出y与x之间的函数关系式即可；
(2)根据“成正比”转化为一次函数，“成反比”转化为反比例函数，利用待定系数法求解即可；
(3)已知函数值求自变量时可将问题转化为解方程进行求解即可；
(4)设每场获得的利润为w万元，分两种情况求出w与x的函数解析式，并求出最大值，进行比较即可得出结果.
【详解】(1)解：由题意可得，y与x的函数关系式为：
；
(2)解：设基本价为b，
①∵第1场—第10场浮动价与销售场次x成正比，
∴设p与x的函数关系式为，
依题意得，
解得，
∴； ②∵第11场—第18场浮动价与销售场次x成反比，由①知，
∴设p与x的函数关系式为，
依题意得，解得，
∴；
综上所述，销售单价p与销售场次x之间的函数关系式为：
；
(3)解：当时，或，
解得：或.
∴当产品销售单价为6.5万元时，销售场次是第10场和第18场；
(4)解：设每场获得的利润为w万元，
①当时，，
∵，
∴当时，w最大，最大利润为50万元； ②当时，，
∵，
∴w随x的增大而减小，
∴当时，w最大，最大利润 (万元)，
∵，
∴在这18场产品促销会中，第11场获得的利润最大，最大利润约为74万元 .
【点睛】本题主要考查了求一次函数不等式，反比例函数不等式和二次函数的应用，解题的关键是理解题意，熟练掌握待定系数法求函数的解析式.
12.如图，矩形的顶点、分别在、轴的正半轴上，点在反比例函数的第一象限内的图像上，，，动点在轴的上方，且满足.
(1)若点在这个反比例函数的图像上，求点的坐标；
(2)连接、，求的最小值；
(3)若点是平面内一点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，则请你直接写出满足条件的所有点的坐标.
【答案】(1)
(2)
(3)，，或
【分析】(1)由矩形的性质可得出点的坐标，利用反比例函数图像上点的坐标特征可求出的值，进而可得出反比例函数解析式，由可求出点的纵坐标，再利用反比例函数图像上点的坐标特征可求出点的坐标；
(2)作点关于直线的对称点，连接'交直线于点，利用两点之间线段最短可得出此时取得最小值，由点的坐标可求出点的坐标，再利用勾股定理即可求出的最小值；
(3)设点的坐标为，由线段的长及点的纵坐标可得出只能为边，分点在点的上方及点在点的下方两种情况考虑：①当点在点的上方时，由可求出的值，进而可得出点，的坐标，结合可得出点，的坐标；②当点在点的下方时，由可求出的值，进而可得出点，的坐标，结合可得出点，的坐标.综上，此题可得解.
【详解】(1)解：∵四边形是矩形，，，
∴点的坐标为，，
∵点在反比例函数的第一象限内的图像上，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
设点的纵坐标为，
∵，
∴，
∴，
当时，，解得：，
∴当点在这个反比例函数的图像上，点的坐标为；
(2)如图1，由(1)可知，点在直线上，作点关于直线的对称点，连接'交直线于点，
∵点和点关于直线的对称，
∴直线垂直平分，
∴，
∴，
即此时取得最小值，最小值为的长，
∵点的坐标为，
∴点的坐标为，
∵点的坐标为，，
∴.
∴的最小值为.
(3)∵轴，，点的纵坐标为，
∴不能为对角线，只能为边，
设点的坐标为，
分两种情况考虑，如图2所示：
①当点在点的上方时，由，
∴，
解得：，，
∴点的坐标为，点的坐标为，
又∵，且轴，
∴点的坐标为，点的坐标为； ②当点在点的下方时，由，
∴，
解得：，，
∴点的坐标为，点的坐标为，
又∵，且轴，
∴点的坐标为，点的坐标为.
综上所述：当以、、、为顶点的四边形是菱形时，点的坐标为，，或.
【点睛】本题考查反比例函数综合题、矩形的性质、菱形的判定和性质、三角形的面积、轴对称最短问题，勾股定理等知识.解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，学会用分类讨论的方法思考问题.
13.阅读：若为正实数，对于某一函数图象上任意两点、，若恒成立，则称这个函数为王氏函数，为王氏系数.
(1)分别判断和是不是王氏函数；
(2)若是王氏函数，求的取值范围；
(3)若是王氏函数，且的最大值为27，求的值.
【答案】(1)是王氏函数，不是王氏函数
(2)≤
(3)3
【分析】(1)利用王氏函数的定义判断即可；
(2)先利用王氏函数的定义化简得到有≥恒成立，即≥，再利用x的范围即可得出L的范围；
(3)先利用李氏函数的定义得出结论化简得有≥，即，最后求出a的值.
【详解】(1)由≥得
①，
∴=3
∴(满足) ②，
∴=
∴(不是定值，不满足)
∴是王氏函数，不是王氏函数；
(2)若是王氏函数，则有≥恒成立，即≥
∵，
设
∴
∴≤恒成立
∴≤
故≤；
(3)由题≥
∴且
∴，，
即
∴
所求的值是3.
【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了新定义，解不等式，分类讨论的思想；解本题的关键是理解新定义.
14.如果以正实数，，为长度的三条线段能构成三角形，我们就称，，构成“三角形数组”.
(1)若4，，6构成“三角形数组”，求的取值范围；
(2)若的三边长分别为，，，且，，构成“三角形数组”，经过点的直线与抛物线有且仅有一个交点，判断的形状，并说明理由；
(3)若，，和，，均构成“三角形数组”，且，点在函数(为常数，)的图像上，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)是等边三角形，理由见解析
(3)
【分析】(1)根据三角形的三边关系求解即可；
(2)根据经过点的直线与抛物线有且仅有一个交点，可得，由直线过点得，代入可得，即可判断的形状；
(3)由点在函数(为常数，)的图像上，可得，根据三角形的三边关系以及“三角形数组”的定义即可求解.
(1)
解：∵4，，6构成“三角形数组”，
∴，
∴.
∴的取值范围是：.
(2)
是等边三角形，理由如下：
∵直线与抛物线有且仅有一个交点，
∴，即，
∴，
∵直线过点，
∴，
∴，
将代入得，
∴，
∴.
∴是等边三角形.
(3)
∵点在函数(为常数，)的图像上，
∴，
∵，，构成“三角形数组”，
∴，
∴，
∴，
∵，，构成“三角形数组”，
∴，
∴，
两边同乘以得，
∴，即，
∵，
∴，
两边同乘以得，
∴，即，
两边除以得，
∵，
∴，
解得：，
∵，
∴，即，
∴.
∴的取值范围是：.
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了三角形的三边关系，一次函数、二次函数和反比例函数的性质，根的判别式，等边三角形的判定，解不等式，不等式和等式的变形等知识，熟练掌握三角形的三边关系以及一次函数、二次函数和反比例函数的性质是解题的关键.26.1反比例函数
一、单选题
1.若为关于的反比例函数，则的值是 ( )
A.0 B. C. D.1
2.如图，点P在y轴正半轴上，⊙P交x轴于A，B两点，连接BP并延长交⊙P于C，且⊙P的半径为，AB=4.若函数的图像过C点，则k的值是 ( )
A. B. C. D.4
3.如图直角三角板∠ABO＝30°，直角项点O位于坐标原点，斜边AB垂直于x轴，顶点A在函数的y1＝图象上，顶点B在函数y2＝的图象上，则＝ ( )
A. B. C. D.
4.下列关系中，两个量之间为反比例函数关系的是 ( )
A.正方形的面积S与边长a的关系 B.正方形的周长l与边长a的关系
C.矩形的长为a，宽为20，其面积S与a的关系 D.矩形的面积为40，长a与宽b之间的关系
5.如果双曲线经过点，那么此双曲线一定不经过 ( )
A. B. C. D.
6.在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数(其中)的大致图象可能是( )
A. B. C. D.
7.如图，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，点P在以为圆心，1为半径的上，Q是的中点，已知长的最小值为，则k的值为 ( )
A. B. C. D.
8.已知反比例函数的图象经过平移后可以得到函数的图象，关于新函数，下列结论正确的是 ( )
A.当时，随的增大而增大 B.该函数的图象与轴有交点
C.该函数图象与轴的交点为 D.当时，的取值范围是
9.如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数的图象上，过点A作x轴的垂线，与函数的图象交于点C，连接交x轴于点 D.若点A的横坐标为1，，则点B的横坐标为 ( )
A. B.2 C. D.3
二、解答题
10.如图1，已知点，，且a、b满足，的边与y轴交于点E，且E为中点，双曲线经过C、D两点.
(1)求k的值；
(2)如图2，点P在双曲线上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，试求满足要求的所有点P、Q的坐标；
(3)如图3，以线段为对角线作正方形，点T是边上一动点，M是的中点，，交于N，当T在上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明.
11.某公司为了宣传一种新产品，在某地先后举行18场产品促销会，已知该产品每台成本为4万元，设第x场产品的销售量为y(台)，在销售过程中获得以下信息：
信息1：已知第一场销售产品38台，然后每增加一场，产品就少卖出2台；
信息2：产品的每场销售单价p(万元)由基本价和浮动价两部分组成，其中基本价保持不变，第1场—第10场浮动价与销售场次x成正比，第11场—第18场浮动价与销售场次x成反比，经过统计，得到如下数据：
x(场) 4 8 15
p(万元) 5 6 7
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)求销售单价p与销售场次x之间的函数关系式；
(3)当产品销售单价为6.5万元时，求销售场次是第几场？
(4)在这18场产品促销会中，哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？(结果保留整数)
12.如图，矩形的顶点、分别在、轴的正半轴上，点在反比例函数的第一象限内的图像上，，，动点在轴的上方，且满足.
(1)若点在这个反比例函数的图像上，求点的坐标；
(2)连接、，求的最小值；
(3)若点是平面内一点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，则请你直接写出满足条件的所有点的坐标.
13.阅读：若为正实数，对于某一函数图象上任意两点、，若恒成立，则称这个函数为王氏函数，为王氏系数.
(1)分别判断和是不是王氏函数；
(2)若是王氏函数，求的取值范围；
(3)若是王氏函数，且的最大值为27，求的值.
14.如果以正实数，，为长度的三条线段能构成三角形，我们就称，，构成“三角形数组”.
(1)若4，，6构成“三角形数组”，求的取值范围；
(2)若的三边长分别为，，，且，，构成“三角形数组”，经过点的直线与抛物线有且仅有一个交点，判断的形状，并说明理由；
(3)若，，和，，均构成“三角形数组”，且，点在函数(为常数，)的图像上，求的取值范围.
【参考答案及解析】
1.B
【分析】根据反比例函数定义直接列式求解即可得到答案.
【详解】解：∵为关于的反比例函数，
∴，
解得，
故选 B.
【点睛】本题考查反比例函数的定义：形如的函数，叫反比例函数.
2.B
【分析】连接AC，由圆周角定理可知，，在中由勾股定理可计算AC的长；由垂径定理可知，进而确定点C的坐标，最后将点C坐标代入即可计算出k的值.
【详解】如图，连接AC
CB是直径，
由圆周角定理可知
在中，由勾股定理可得：
，
轴是直径所在的直线，且轴，
由垂径定理可得：
点C的横坐标，纵坐标
将代入，解得：
故选： B.
【点睛】本题考查了在圆的背景下用待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握垂径定理和圆周角定理并能使用数形结合思想解题，是本题的解题关键.
3.D
【分析】设AC＝a，则OA＝2a，OC＝a，根据直角三角形30°角的性质和勾股定理分别计算点A和B的坐标，写出A和B两点的坐标，代入解析式求出k1和k2的值，即可求的值.
【详解】设AB与x轴交点为点C，
Rt△AOB中，∠B＝30°，∠AOB＝90°，
∴∠OAC＝60°，
∵AB⊥OC，
∴∠ACO＝90°，
∴∠AOC＝30°，
设AC＝a，则OA＝2a，OC＝a，
∴A(a，a)，
∵A在函数y1＝的图象上，
∴k1＝a×a＝a2，
Rt△BOC中，OB＝2OC＝2a，
∴BC＝＝3a，
∴B(a，﹣3a)，
∵B在函数y2＝的图象上，
∴k2＝﹣3a×a＝﹣3a2，
∴＝，
故选： D.
【点睛】此题考查反比例函数的性质，勾股定理，直角三角形的性质，设AC＝a是解题的关键，由此表示出其他的线段求出k1与k2的值，才能求出结果.
4.D
【详解】A、根据题意，得，所以正方形的面积S与边长a的关系是二次函数关系；故本选项错误；
B、根据题意，得，所以正方形的周长l与边长a的关系是正比例函数关系；故本选项错误；
C、根据题意，得，所以正方形的面积S与边长a的关系是正比例函数关系；故本选项错误；
D、根据题意，得，所以正方形的面积S与边长a的关系是反比例函数关系；故本选项正确.
故选 D.
5.D
【分析】根据双曲线经过点，即，根据反比例函数图象上点的坐标特点可知双曲线经过的点.
【详解】∵双曲线经过点，
∴，
∵，
故选：D
【点睛】本题考查了求反比例函数解析式及反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式.反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上.
6.A
【分析】根据一次函数与反比例函数的性质，判断图象经过的象限即可得出结果.
【详解】解：时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第一、三象限，无选项符合题意；
时，一次函数的图象经过第二、三、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第二、四象限，选项A符合题意.
故选：A.
【点睛】题目主要考查一次函数与反比例函数的图象判断，熟练掌握一次函数与反比例函数的基本性质是解题关键.
7.C
【分析】先确定长的最小时点P的位置，当所在的直线过圆心C时，最短，设，则，，根据勾股定理计算t的值，可得k的值.
【详解】解：连接，
由对称性得：，
∵Q是的中点，
∴，
∵长的最小值为，
∴长的最小值为，
如图，当所在的直线过圆心C时，最短，过B作轴于D，
∵，
∴，
∵B在直线上，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得(舍)或，
∴，
∵点B在反比例函数的图象上，
∴；
故选： C.
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、圆的性质，勾股定理的应用，解题的关键是利用中位线的性质和圆的性质确定出点P的位置.
8.C
【分析】由反比例函数的性质可知，反比例函数当或时，随的增大而减小，且关于对称；经过平移后得到，关于对称，增减性不变.
【详解】解：A.当时，随的增大而减小，本选项错误，不符合题意； B.该函数的图象与轴无限接近，但是没有交点，故本选项错误，不符合题意； C.该函数图象与轴的交点为，故本选项正确，符合题意； D.当时，的取值范围是，故本选项错误，不符合题意；
故选： C.
【点睛】考查了反比例函数图象上点的坐标特征，函数图象的平移；解题的关键是掌握反比例函数图象与系数的关系.
9.B
【分析】首先设出A的坐标，根据题意得出C的坐标，表示出的长度，过点B作垂直x轴，证明，由题目条件得出相似比，代换出点B的纵坐标，即可求出B的横坐标.
【详解】设点A的坐标为，设与x轴的交点为E，过点B作轴，垂足为F，如图：
∵点C在函数的图象上，且A轴，
∴C的坐标为，
∴，
∵轴，轴，
∴ ,
∴ ,
又∵，
∴ ,
∴，
即,
∴点B的纵坐标为，代入反比例函数解析式：
当时，，
∴B点的横坐标是2，
故选： B.
【点睛】本题考查反比例函数及相似三角形，解题关键是将线段比转化为两个相似三角形的相似比，由相似三角形的对应边得出点的坐标.
10.(1)
(2)，或，或，
(3)，不发生改变，理由见解析
【分析】(1)先根据非负数的性质求出a、b的值，故可得出A、B两点的坐标，设，由，可知，再根据反比例函数的性质求出t的值即可；
(2)由(1)知可知反比例函数的解析式为，再由点P在双曲线上，点Q在y轴上，设，，再分以为边和以为对角线两种情况求出x的值，故可得出P、Q的坐标；
(3)连接、、，易证，故，，由此即可得出结论.
【详解】(1)解：，
，解得：，
，，
E为中点，
，
设，
又，
，
，
，
；
(2)解：由(1)知，
反比例函数的解析式为，
点P在双曲线上，点Q在y轴上，
设，，
①当为边时：
如图1，若为平行四边形，
则，解得，
此时，；
如图2，若为平行四边形，
则，解得，
此时，； ②如图3，当为对角线时，
，且；
，解得，
，；
综上：，或，或，；
(3)解：的值不发生改变，
理由：如图4，连接、、，
是线段的垂直平分线，
，
四边形是正方形，
，
在与中，
，
()，
，,
，
四边形中，，而，
所以，，
因为，四边形内角和为，
所以，
， ，
即的值不发生改变.
【点睛】本题考查了非负数的性质，待定系数法求反比例函数解析式，平行四边形的存在性问题，正方形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的性质和判定，四边形的内角和，直角三角形的性质等知识点，有一定的难度，解决本题的关键是熟练掌握相关知识点并能灵活运用.
11.(1)
(2)
(3)当产品销售单价为6.5万元时，销售场次是第10场和第18场
(4)在这18场产品促销会中，第11场获得的利润最大，最大利润约为74万元
【分析】(1)根据第一场销售产品38台，然后每增加一场，产品就少卖出2台求出y与x之间的函数关系式即可；
(2)根据“成正比”转化为一次函数，“成反比”转化为反比例函数，利用待定系数法求解即可；
(3)已知函数值求自变量时可将问题转化为解方程进行求解即可；
(4)设每场获得的利润为w万元，分两种情况求出w与x的函数解析式，并求出最大值，进行比较即可得出结果.
【详解】(1)解：由题意可得，y与x的函数关系式为：
；
(2)解：设基本价为b，
①∵第1场—第10场浮动价与销售场次x成正比，
∴设p与x的函数关系式为，
依题意得，
解得，
∴； ②∵第11场—第18场浮动价与销售场次x成反比，由①知，
∴设p与x的函数关系式为，
依题意得，解得，
∴；
综上所述，销售单价p与销售场次x之间的函数关系式为：
；
(3)解：当时，或，
解得：或.
∴当产品销售单价为6.5万元时，销售场次是第10场和第18场；
(4)解：设每场获得的利润为w万元，
①当时，，
∵，
∴当时，w最大，最大利润为50万元； ②当时，，
∵，
∴w随x的增大而减小，
∴当时，w最大，最大利润 (万元)，
∵，
∴在这18场产品促销会中，第11场获得的利润最大，最大利润约为74万元 .
【点睛】本题主要考查了求一次函数不等式，反比例函数不等式和二次函数的应用，解题的关键是理解题意，熟练掌握待定系数法求函数的解析式.
12.(1)
(2)
(3)，，或
【分析】(1)由矩形的性质可得出点的坐标，利用反比例函数图像上点的坐标特征可求出的值，进而可得出反比例函数解析式，由可求出点的纵坐标，再利用反比例函数图像上点的坐标特征可求出点的坐标；
(2)作点关于直线的对称点，连接'交直线于点，利用两点之间线段最短可得出此时取得最小值，由点的坐标可求出点的坐标，再利用勾股定理即可求出的最小值；
(3)设点的坐标为，由线段的长及点的纵坐标可得出只能为边，分点在点的上方及点在点的下方两种情况考虑：①当点在点的上方时，由可求出的值，进而可得出点，的坐标，结合可得出点，的坐标；②当点在点的下方时，由可求出的值，进而可得出点，的坐标，结合可得出点，的坐标.综上，此题可得解.
【详解】(1)解：∵四边形是矩形，，，
∴点的坐标为，，
∵点在反比例函数的第一象限内的图像上，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
设点的纵坐标为，
∵，
∴，
∴，
当时，，解得：，
∴当点在这个反比例函数的图像上，点的坐标为；
(2)如图1，由(1)可知，点在直线上，作点关于直线的对称点，连接'交直线于点，
∵点和点关于直线的对称，
∴直线垂直平分，
∴，
∴，
即此时取得最小值，最小值为的长，
∵点的坐标为，
∴点的坐标为，
∵点的坐标为，，
∴.
∴的最小值为.
(3)∵轴，，点的纵坐标为，
∴不能为对角线，只能为边，
设点的坐标为，
分两种情况考虑，如图2所示：
①当点在点的上方时，由，
∴，
解得：，，
∴点的坐标为，点的坐标为，
又∵，且轴，
∴点的坐标为，点的坐标为； ②当点在点的下方时，由，
∴，
解得：，，
∴点的坐标为，点的坐标为，
又∵，且轴，
∴点的坐标为，点的坐标为.
综上所述：当以、、、为顶点的四边形是菱形时，点的坐标为，，或.
【点睛】本题考查反比例函数综合题、矩形的性质、菱形的判定和性质、三角形的面积、轴对称最短问题，勾股定理等知识.解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，学会用分类讨论的方法思考问题.
13.(1)是王氏函数，不是王氏函数
(2)≤
(3)3
【分析】(1)利用王氏函数的定义判断即可；
(2)先利用王氏函数的定义化简得到有≥恒成立，即≥，再利用x的范围即可得出L的范围；
(3)先利用李氏函数的定义得出结论化简得有≥，即，最后求出a的值.
【详解】(1)由≥得
①，
∴=3
∴(满足) ②，
∴=
∴(不是定值，不满足)
∴是王氏函数，不是王氏函数；
(2)若是王氏函数，则有≥恒成立，即≥
∵，
设
∴
∴≤恒成立
∴≤
故≤；
(3)由题≥
∴且
∴，，
即
∴
所求的值是3.
【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了新定义，解不等式，分类讨论的思想；解本题的关键是理解新定义.
14.(1)
(2)是等边三角形，理由见解析
(3)
【分析】(1)根据三角形的三边关系求解即可；
(2)根据经过点的直线与抛物线有且仅有一个交点，可得，由直线过点得，代入可得，即可判断的形状；
(3)由点在函数(为常数，)的图像上，可得，根据三角形的三边关系以及“三角形数组”的定义即可求解.
(1)
解：∵4，，6构成“三角形数组”，
∴，
∴.
∴的取值范围是：.
(2)
是等边三角形，理由如下：
∵直线与抛物线有且仅有一个交点，
∴，即，
∴，
∵直线过点，
∴，
∴，
将代入得，
∴，
∴.
∴是等边三角形.
(3)
∵点在函数(为常数，)的图像上，
∴，
∵，，构成“三角形数组”，
∴，
∴，
∴，
∵，，构成“三角形数组”，
∴，
∴，
两边同乘以得，
∴，即，
∵，
∴，
两边同乘以得，
∴，即，
两边除以得，
∵，
∴，
解得：，
∵，
∴，即，
∴.
∴的取值范围是：.
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了三角形的三边关系，一次函数、二次函数和反比例函数的性质，根的判别式，等边三角形的判定，解不等式，不等式和等式的变形等知识，熟练掌握三角形的三边关系以及一次函数、二次函数和反比例函数的性质是解题的关键.
