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山东省泰安市2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷
一、单选题
1．（2022高二上·泰安期中）经过，两点的直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022高二上·泰安期中）若与共线，则（ ）
A．－4 B．－2 C．2 D．4
3．（2022高二上·泰安期中）已知圆M的方程为，则圆心M的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022高二上·泰安期中）两条平行直线：与：间的距离为（ ）
A． B． C．3 D．5
5．（2021高二上·广东期中）已知平面 的一个法向量为 ，点 为 内一点，则点 到平面 的距离为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．（2022高二上·泰安期中）已知圆M：内有点，则以点P为中点的圆M的弦所在直线方程为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022高二上·泰安期中）已知，为两条异面直线，在直线上取点，，在直线上取点，，使，且（称为异面直线，的公垂线）.已知，，，，则异面直线，所成的角为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022高二上·泰安期中）若直线与曲线仅有一个公共点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2022高二上·泰安期中）已知，，，则（ ）
A．直线与线段AB有公共点
B．直线AB的倾斜角大于
C．的边BC上的高所在直线的方程为
D．的边BC上的中垂线所在直线的方程为
10．（2022高二上·泰安期中）已知直线：，圆：，点，则（ ）
A．若在圆上，直线与圆相切 B．若在圆内，直线与圆相离
C．若在圆外，直线与圆相离 D．若在直线上，直线与圆相切
11．（2022高二上·泰安期中）如图，四棱柱的底面ABCD是正方形，O为底面中心，平面ABCD，．以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则（ ）
A．
B．平面
C．平面的一个法向量为
D．点B到直线的距离为
12．（2022高二上·泰安期中）古希腊著名数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262-前190）发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼奥斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系xOy中，已知，，动点C满足，直线l：，则（ ）
A．直线l过定点
B．动点C的轨迹方程为
C．动点C到直线l的距离的最大值为
D．若直线l与动点C的轨迹交于P，Q两点，且，则
三、填空题
13．（2022高二上·泰安期中）已知直线：，：，若∥，则的值是 ．
14．（2022高二上·泰安期中）写出过，两点，且半径为4的圆的一个标准方程： ．
15．（2022高二上·泰安期中）在中国古代数学著作《就长算术》中，鳖臑（biēnào）是指四个面都是直角三角形的四面体.如图，在直角中，为斜边上的高，，，现将沿翻折，使得四面体为一个鳖臑，则直线与平面所成角的余弦值是 .
16．（2022高二上·泰安期中）已知，，且，，，则 ．
四、解答题
17．（2022高二上·泰安期中）已知直线：，：，且．
（1）求k的值；
（2）若直线与的交点的直线上，求直线的方程．
18．（2022高二上·泰安期中）已知，，．
（1）求；
（2）求在上的投影向量．
19．（2022高二上·泰安期中）如图，在平行六面体中，，，，M，N分别为，中点．
（1）求的长；
（2）证明：．
20．（2022高二上·泰安期中）已知圆M：，圆N：，过圆M的圆心M作圆N的切线，切线长为5．
（1）求m的值，并判断圆M与圆N的位置关系；
（2）过圆N的圆心N作圆M的切线l，求l的方程．
21．（2022高二上·泰安期中）如图，圆柱上，下底面圆的圆心分别为，，该圆柱的轴截面为正方形，三棱柱的三条侧棱均为圆柱的母线，且，点在轴上运动．
（1）证明：不论在何处，总有；
（2）当为的中点时，求平面与平面夹角的余弦值．
22．（2022高二上·泰安期中）已知线段的端点的坐标是，端点的运动轨迹是曲线，线段的中点的轨迹方程是．
（1）求曲线的方程；
（2）已知斜率为的直线与曲线相交于异于原点的两点直线的斜率分别为，，且．若，为垂足，证明：存在定点，使得为定值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】因为直线经过，，则直线斜率为，设倾斜角为，则，此时.
故答案为：D
【分析】利用倾斜角与斜率关系即可求解.
2．【答案】A
【知识点】向量的共线定理
【解析】【解答】解：因为与共线，
所以，即，即，解得.
故答案为：A
【分析】依题意可得，即可得到方程组，解得即可.
3．【答案】B
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】，
因此圆心坐标为.
故答案为：B.
【分析】先化成标准式，即得圆心坐标.
4．【答案】C
【知识点】两条平行直线间的距离
【解析】【解答】两条平行直线：与：
所以两条平行线间的距离为．
故答案为：C．
【分析】直接利用两条平行直线间的距离公式求解即可．
5．【答案】D
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】因为 ， ，
所以 ， ，
则点P到平面 的距离 。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合向量的坐标表示结合法向量的定义，从而利用数量积的坐标表示求出的值，再结合向量的模的坐标表示，进而得出的值，再结合数量积求出点P到平面 的距离 。
6．【答案】C
【知识点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系；直线的点斜式方程
【解析】【解答】由圆M的标准方程，可知圆心，半径，
如图，连接MP，作MP的垂线，交圆M于A，B两点，
以点P为中点的圆M的弦即为AB，
，
所以直线AB的方程为：，整理得，
故答案为：C.
【分析】由圆M的标准方程得出圆心和半径，连接PM，作PM的垂线，交圆M于A，B两点，以点P为中点的圆M的弦即为AB，求出直线MP的斜率，利用两直线垂直关系，则可求出直线AB的斜率，用点斜式方程即可求出直线AB.
7．【答案】B
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】设异面直线，所成的角为，
∵，且，，，，，
∴
∴
∴
∴，又
∴.
故答案为：B.
【分析】设异面直线，所成的角为，，利用向量可得的值，即可求解.
8．【答案】D
【知识点】恒过定点的直线；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】曲线即，
即，表示为圆心，为半径的圆的上半部分，
直线即恒过定点，
作出直线与半圆的图象，如图，
考查临界情况：
当直线过点时，直线的斜率，此时直线与半圆有两个交点，
当直线过点时，直线的斜率，此时直线与半圆有1个交点，
当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离为1，且，
即，解得：，舍去）．
据此可得，实数的取值范围是．
故答案为：D．
【分析】首先确定曲线的形状，然后结合直线恒过定点考查临界情况结合图像即可确定实数的取值范围．
9．【答案】B,C
【知识点】直线的倾斜角；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系；直线的点斜式方程
【解析】【解答】如图所示：所以直线与线段无公共点，A不符合题意；
因为，所以直线的倾斜角大于，B符合题意．
因为，且边上的高所在直线过点A，
所以的边上的高所在直线的方程为，
即，C符合题意，
因为线段的中点为，且直线的斜率为，
所以上的中垂线所在直线的方程为，
即，D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】A选项，画出图像即可看出有无交点；B选项用先用直线斜率公式求出斜率，再比较倾斜角与的大小；C选项边上的高所在直线过点A，所以的边上的高所在直线的方程为；D选项的边上的中垂线经过BC的中点，且斜率和直线的斜率乘积为，从而利用点斜式写出中垂线所在直线的方程.
10．【答案】A,B,D
【知识点】点与圆的位置关系；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：圆C：，圆心，半径
对于A，若在圆上，则，圆心到直线的距离为：，则直线与圆相切，A符合题意；
对于B，若在圆内，则，圆心到直线的距离为：，则直线与圆相离，B符合题意；
对于C，若在圆外，则，圆心到直线的距离为：，直线与圆相交，C不符合题意；
对于D，若在直线上，则，圆心到直线的距离为：，则直线与圆相切，D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】根据点与圆的位置关系，得的关系，即可确定直线与圆的关系来判断A，B，C选项；根据点与直线的位置关系，得的关系，即可确定直线与圆的关系来判断D选项.
11．【答案】B,C,D
【知识点】直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】依题意， 是正方形， ，与的交点为原点，，
在给定的空间直角坐标系中， ，
而，
则点，，故A错误；
，，
设平面的法向量，
则，
令，得，故C正确；
，即平面，故B正确；
，，，
到的距离，故D正确
故答案为：BCD
【分析】根据已知条件及给定的几何图形写出点的坐标，再对各个选项逐一分析计算并判断作答.
12．【答案】A,B,D
【知识点】恒过定点的直线；轨迹方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】对于A， 直线l：，，，直线l过定点，A符合题意；
对于B，设，因为动点满足 ，所以 ，
整理可得， 即，所以动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 动点的轨迹方程为，B符合题意；
对于 C， 当直线与垂直时， 动点到直线的距离最大， 且最大值为，C不符合题意；
对于D， 记圆心到直线的距离为，则 ，因为 ，
则 ，因为 ，所以 ， 即 ，解得 ， D符合题意.
故答案为： ABD.
【分析】设， 由题意求出点的轨迹以及轨迹方程， 利用直线与圆的位置关系， 依次判断四个选项即可.
13．【答案】4
【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【解答】解：因为∥，
所以.
故答案为：4.
【分析】由两直线平行可得.
14．【答案】（或）
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】解：设所求圆的标准方程为：，
则有，
解得或，
所以所求圆的标准方程为：或.
故答案为：或.
【分析】设所求圆的标准方程为：，代入 ， 求解即可.
15．【答案】
【知识点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】作于交于
因为
且
所以平面
而平面
所以平面平面
又因为平面平面，且
所以平面
则即为与平面的夹角
因为直角中，，
所以
则
所以
在直角三角形中，
故答案为：
【分析】作作于交于，可证明平面，则即为与平面的夹角，根据线段关系即可求解.
16．【答案】
【知识点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】∵，，，
所 以.
∴ 向量与平行，且，
所以，
所以.
∴．
故答案为：.
【分析】由，，，可得向量与平行，且，从而可得结果.
17．【答案】（1）解：直线的斜率为，直线的斜率为k．
因为，所以，
故．
（2）解：由题意可知：联立两直线方程可得：，解得．
将点代入的方程得，解得，
所以直线的方程为．
【知识点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系；两条直线的交点坐标
【解析】【分析】(1)根据两直线垂直的条件即可求解；
(2)联立两直线方程求出交点坐标，代入直线的方程即可求解.
18．【答案】（1）解：因为，，
所以，，，
所以．
因为，
所以．
（2）解：因为，，
所以．
因为，
所以在上的投影向量为
．
【知识点】空间向量的数量积运算；向量的投影
【解析】【分析】（1）由向量夹角余弦公式，分别计算向量数量积和向量的模，再根据夹角范围，确定夹角的值；
（2）根据投影向量定义分别计算两个向量的数量积和模，再求出向量的同方向单位向量，计算即可得到投影向量.
19．【答案】（1）解：设，，，则，，，，
．
因为
，
所以
（2）证明：因为
，
所以．
【知识点】空间向量的数量积运算；向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【分析】（1） 设，，，则 ，根据向量的模长公式即可得到结果；
（2），根据，即可证明.
20．【答案】（1）解：由题意知，，，圆N的半径，
由勾股定理得，
即，
解得．
所以，，，．
因为，所以圆M与圆N相交；
（2）解：当l的斜率不存在时，l的方程为．检验知满足相切.
当l的斜率存在时，设l的方程为，即，
因为l与圆M相切，所以，解得，
所以l的方程为，即．
综上所述，l的方程为或，
【知识点】圆的切线方程；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【分析】（1）先用配方法确定圆N的圆心和半径，然后根据切线长公式计算出m的值，再根据圆心距和半径之间的大小关系判断位置关系；
（2）过圆外一点可作圆的两条切线，在我们求解的过程中需要对直线的斜率是否存在进行讨论.
21．【答案】（1）证明：连接并延长，交于，交圆柱侧面于．
因为，，所以，所以，
所以，所以M为BC中点，所以．
又在圆柱中，平面，平面，
，，平面，
所以平面．
因为不论P在何处，总有平面，
所以．
（2）解：设，则．
在中，，
则．所以．
如图，建立空间直角坐标系，
其中轴，轴是的垂直平分线，
则，，，，
所以，，
，．
设平面的一个法向量为，则
，取，得．
设平面的一个法向量为，则
，取，得．
设平面与平面的夹角为，则
，
所以平面与面夹角（锐角）的余弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1）证明线面垂直，进而证明线线垂直；
（2）利用空间向量的坐标运算方法求面面角的余弦值.
22．【答案】（1）解：设，，
由中点坐标公式得．
因为点M的轨迹方程是，
所以，
整理得曲线C的方程为．
（2）证明：设直线l的方程为，，，，
由，得，
所以，，
所以
，
所以，且即，
即，
所以直线的方程为，即直线过定点．
因为为定值，且为直角三角形，为斜边，
所以当点是的中点时，为定值．
因为，，所以由中点坐标公式得．
所以存在定点使得为定值．
【知识点】轨迹方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）利用中点坐标公式以及求轨迹方程的方法求解；
（2） 设直线l的方程为，，，与椭圆方程联立，利用韦达定理结合题意求解即可.
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山东省泰安市2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷
一、单选题
1．（2022高二上·泰安期中）经过，两点的直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】因为直线经过，，则直线斜率为，设倾斜角为，则，此时.
故答案为：D
【分析】利用倾斜角与斜率关系即可求解.
2．（2022高二上·泰安期中）若与共线，则（ ）
A．－4 B．－2 C．2 D．4
【答案】A
【知识点】向量的共线定理
【解析】【解答】解：因为与共线，
所以，即，即，解得.
故答案为：A
【分析】依题意可得，即可得到方程组，解得即可.
3．（2022高二上·泰安期中）已知圆M的方程为，则圆心M的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】，
因此圆心坐标为.
故答案为：B.
【分析】先化成标准式，即得圆心坐标.
4．（2022高二上·泰安期中）两条平行直线：与：间的距离为（ ）
A． B． C．3 D．5
【答案】C
【知识点】两条平行直线间的距离
【解析】【解答】两条平行直线：与：
所以两条平行线间的距离为．
故答案为：C．
【分析】直接利用两条平行直线间的距离公式求解即可．
5．（2021高二上·广东期中）已知平面 的一个法向量为 ，点 为 内一点，则点 到平面 的距离为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】因为 ， ，
所以 ， ，
则点P到平面 的距离 。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合向量的坐标表示结合法向量的定义，从而利用数量积的坐标表示求出的值，再结合向量的模的坐标表示，进而得出的值，再结合数量积求出点P到平面 的距离 。
6．（2022高二上·泰安期中）已知圆M：内有点，则以点P为中点的圆M的弦所在直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系；直线的点斜式方程
【解析】【解答】由圆M的标准方程，可知圆心，半径，
如图，连接MP，作MP的垂线，交圆M于A，B两点，
以点P为中点的圆M的弦即为AB，
，
所以直线AB的方程为：，整理得，
故答案为：C.
【分析】由圆M的标准方程得出圆心和半径，连接PM，作PM的垂线，交圆M于A，B两点，以点P为中点的圆M的弦即为AB，求出直线MP的斜率，利用两直线垂直关系，则可求出直线AB的斜率，用点斜式方程即可求出直线AB.
7．（2022高二上·泰安期中）已知，为两条异面直线，在直线上取点，，在直线上取点，，使，且（称为异面直线，的公垂线）.已知，，，，则异面直线，所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】设异面直线，所成的角为，
∵，且，，，，，
∴
∴
∴
∴，又
∴.
故答案为：B.
【分析】设异面直线，所成的角为，，利用向量可得的值，即可求解.
8．（2022高二上·泰安期中）若直线与曲线仅有一个公共点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】恒过定点的直线；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】曲线即，
即，表示为圆心，为半径的圆的上半部分，
直线即恒过定点，
作出直线与半圆的图象，如图，
考查临界情况：
当直线过点时，直线的斜率，此时直线与半圆有两个交点，
当直线过点时，直线的斜率，此时直线与半圆有1个交点，
当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离为1，且，
即，解得：，舍去）．
据此可得，实数的取值范围是．
故答案为：D．
【分析】首先确定曲线的形状，然后结合直线恒过定点考查临界情况结合图像即可确定实数的取值范围．
二、多选题
9．（2022高二上·泰安期中）已知，，，则（ ）
A．直线与线段AB有公共点
B．直线AB的倾斜角大于
C．的边BC上的高所在直线的方程为
D．的边BC上的中垂线所在直线的方程为
【答案】B,C
【知识点】直线的倾斜角；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系；直线的点斜式方程
【解析】【解答】如图所示：所以直线与线段无公共点，A不符合题意；
因为，所以直线的倾斜角大于，B符合题意．
因为，且边上的高所在直线过点A，
所以的边上的高所在直线的方程为，
即，C符合题意，
因为线段的中点为，且直线的斜率为，
所以上的中垂线所在直线的方程为，
即，D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】A选项，画出图像即可看出有无交点；B选项用先用直线斜率公式求出斜率，再比较倾斜角与的大小；C选项边上的高所在直线过点A，所以的边上的高所在直线的方程为；D选项的边上的中垂线经过BC的中点，且斜率和直线的斜率乘积为，从而利用点斜式写出中垂线所在直线的方程.
10．（2022高二上·泰安期中）已知直线：，圆：，点，则（ ）
A．若在圆上，直线与圆相切 B．若在圆内，直线与圆相离
C．若在圆外，直线与圆相离 D．若在直线上，直线与圆相切
【答案】A,B,D
【知识点】点与圆的位置关系；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：圆C：，圆心，半径
对于A，若在圆上，则，圆心到直线的距离为：，则直线与圆相切，A符合题意；
对于B，若在圆内，则，圆心到直线的距离为：，则直线与圆相离，B符合题意；
对于C，若在圆外，则，圆心到直线的距离为：，直线与圆相交，C不符合题意；
对于D，若在直线上，则，圆心到直线的距离为：，则直线与圆相切，D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】根据点与圆的位置关系，得的关系，即可确定直线与圆的关系来判断A，B，C选项；根据点与直线的位置关系，得的关系，即可确定直线与圆的关系来判断D选项.
11．（2022高二上·泰安期中）如图，四棱柱的底面ABCD是正方形，O为底面中心，平面ABCD，．以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则（ ）
A．
B．平面
C．平面的一个法向量为
D．点B到直线的距离为
【答案】B,C,D
【知识点】直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】依题意， 是正方形， ，与的交点为原点，，
在给定的空间直角坐标系中， ，
而，
则点，，故A错误；
，，
设平面的法向量，
则，
令，得，故C正确；
，即平面，故B正确；
，，，
到的距离，故D正确
故答案为：BCD
【分析】根据已知条件及给定的几何图形写出点的坐标，再对各个选项逐一分析计算并判断作答.
12．（2022高二上·泰安期中）古希腊著名数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262-前190）发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼奥斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系xOy中，已知，，动点C满足，直线l：，则（ ）
A．直线l过定点
B．动点C的轨迹方程为
C．动点C到直线l的距离的最大值为
D．若直线l与动点C的轨迹交于P，Q两点，且，则
【答案】A,B,D
【知识点】恒过定点的直线；轨迹方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】对于A， 直线l：，，，直线l过定点，A符合题意；
对于B，设，因为动点满足 ，所以 ，
整理可得， 即，所以动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 动点的轨迹方程为，B符合题意；
对于 C， 当直线与垂直时， 动点到直线的距离最大， 且最大值为，C不符合题意；
对于D， 记圆心到直线的距离为，则 ，因为 ，
则 ，因为 ，所以 ， 即 ，解得 ， D符合题意.
故答案为： ABD.
【分析】设， 由题意求出点的轨迹以及轨迹方程， 利用直线与圆的位置关系， 依次判断四个选项即可.
三、填空题
13．（2022高二上·泰安期中）已知直线：，：，若∥，则的值是 ．
【答案】4
【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【解答】解：因为∥，
所以.
故答案为：4.
【分析】由两直线平行可得.
14．（2022高二上·泰安期中）写出过，两点，且半径为4的圆的一个标准方程： ．
【答案】（或）
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】解：设所求圆的标准方程为：，
则有，
解得或，
所以所求圆的标准方程为：或.
故答案为：或.
【分析】设所求圆的标准方程为：，代入 ， 求解即可.
15．（2022高二上·泰安期中）在中国古代数学著作《就长算术》中，鳖臑（biēnào）是指四个面都是直角三角形的四面体.如图，在直角中，为斜边上的高，，，现将沿翻折，使得四面体为一个鳖臑，则直线与平面所成角的余弦值是 .
【答案】
【知识点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】作于交于
因为
且
所以平面
而平面
所以平面平面
又因为平面平面，且
所以平面
则即为与平面的夹角
因为直角中，，
所以
则
所以
在直角三角形中，
故答案为：
【分析】作作于交于，可证明平面，则即为与平面的夹角，根据线段关系即可求解.
16．（2022高二上·泰安期中）已知，，且，，，则 ．
【答案】
【知识点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】∵，，，
所 以.
∴ 向量与平行，且，
所以，
所以.
∴．
故答案为：.
【分析】由，，，可得向量与平行，且，从而可得结果.
四、解答题
17．（2022高二上·泰安期中）已知直线：，：，且．
（1）求k的值；
（2）若直线与的交点的直线上，求直线的方程．
【答案】（1）解：直线的斜率为，直线的斜率为k．
因为，所以，
故．
（2）解：由题意可知：联立两直线方程可得：，解得．
将点代入的方程得，解得，
所以直线的方程为．
【知识点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系；两条直线的交点坐标
【解析】【分析】(1)根据两直线垂直的条件即可求解；
(2)联立两直线方程求出交点坐标，代入直线的方程即可求解.
18．（2022高二上·泰安期中）已知，，．
（1）求；
（2）求在上的投影向量．
【答案】（1）解：因为，，
所以，，，
所以．
因为，
所以．
（2）解：因为，，
所以．
因为，
所以在上的投影向量为
．
【知识点】空间向量的数量积运算；向量的投影
【解析】【分析】（1）由向量夹角余弦公式，分别计算向量数量积和向量的模，再根据夹角范围，确定夹角的值；
（2）根据投影向量定义分别计算两个向量的数量积和模，再求出向量的同方向单位向量，计算即可得到投影向量.
19．（2022高二上·泰安期中）如图，在平行六面体中，，，，M，N分别为，中点．
（1）求的长；
（2）证明：．
【答案】（1）解：设，，，则，，，，
．
因为
，
所以
（2）证明：因为
，
所以．
【知识点】空间向量的数量积运算；向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【分析】（1） 设，，，则 ，根据向量的模长公式即可得到结果；
（2），根据，即可证明.
20．（2022高二上·泰安期中）已知圆M：，圆N：，过圆M的圆心M作圆N的切线，切线长为5．
（1）求m的值，并判断圆M与圆N的位置关系；
（2）过圆N的圆心N作圆M的切线l，求l的方程．
【答案】（1）解：由题意知，，，圆N的半径，
由勾股定理得，
即，
解得．
所以，，，．
因为，所以圆M与圆N相交；
（2）解：当l的斜率不存在时，l的方程为．检验知满足相切.
当l的斜率存在时，设l的方程为，即，
因为l与圆M相切，所以，解得，
所以l的方程为，即．
综上所述，l的方程为或，
【知识点】圆的切线方程；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【分析】（1）先用配方法确定圆N的圆心和半径，然后根据切线长公式计算出m的值，再根据圆心距和半径之间的大小关系判断位置关系；
（2）过圆外一点可作圆的两条切线，在我们求解的过程中需要对直线的斜率是否存在进行讨论.
21．（2022高二上·泰安期中）如图，圆柱上，下底面圆的圆心分别为，，该圆柱的轴截面为正方形，三棱柱的三条侧棱均为圆柱的母线，且，点在轴上运动．
（1）证明：不论在何处，总有；
（2）当为的中点时，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明：连接并延长，交于，交圆柱侧面于．
因为，，所以，所以，
所以，所以M为BC中点，所以．
又在圆柱中，平面，平面，
，，平面，
所以平面．
因为不论P在何处，总有平面，
所以．
（2）解：设，则．
在中，，
则．所以．
如图，建立空间直角坐标系，
其中轴，轴是的垂直平分线，
则，，，，
所以，，
，．
设平面的一个法向量为，则
，取，得．
设平面的一个法向量为，则
，取，得．
设平面与平面的夹角为，则
，
所以平面与面夹角（锐角）的余弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1）证明线面垂直，进而证明线线垂直；
（2）利用空间向量的坐标运算方法求面面角的余弦值.
22．（2022高二上·泰安期中）已知线段的端点的坐标是，端点的运动轨迹是曲线，线段的中点的轨迹方程是．
（1）求曲线的方程；
（2）已知斜率为的直线与曲线相交于异于原点的两点直线的斜率分别为，，且．若，为垂足，证明：存在定点，使得为定值．
【答案】（1）解：设，，
由中点坐标公式得．
因为点M的轨迹方程是，
所以，
整理得曲线C的方程为．
（2）证明：设直线l的方程为，，，，
由，得，
所以，，
所以
，
所以，且即，
即，
所以直线的方程为，即直线过定点．
因为为定值，且为直角三角形，为斜边，
所以当点是的中点时，为定值．
因为，，所以由中点坐标公式得．
所以存在定点使得为定值．
【知识点】轨迹方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）利用中点坐标公式以及求轨迹方程的方法求解；
（2） 设直线l的方程为，，，与椭圆方程联立，利用韦达定理结合题意求解即可.
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