新疆喀什地区伽师县2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷

新疆喀什地区伽师县2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷
一、单选题
1．（2022高二上·伽师期中）在空间直角坐标系中，已知，则以下错误的是（　　）
A． B．夹角的余弦值为
C．A，B，C，D共面 D．点O到直线AB的距离是
2．（2022高二上·伽师期中）已知点，则直线的倾斜角为（　　）
A． B． C． D．
3．（2021高二上·湖南月考）若椭圆上一点A到焦点的距离为3，则点A到焦点的距离为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
4．（2022高二上·伽师期中）已知分别是直线和圆上的动点，圆与轴正半轴交于点，则的最小值为（　　）
A． B．2 C． D．
5．（2021高二上·西城期末）已知椭圆，双曲线，其中.若与的焦距之比为，则的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
6．（2020高三上·湖北期末）已知a，b都是实数，那么“ ”是“方程 表示圆”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2022高二上·伽师期中）三棱柱中，记，则（　　）
A． B．
C． D．
8．（2022高二上·伽师期中）已知向量，，，，的夹角为，若存在实数m，使得，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022高二上·伽师期中）下列说法正确的是（　　）
A．已知直线与直线垂直，则实数a的值是
B．直线必过定点
C．直线在y轴上的截距为
D．经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为
10．（2022高三下·浙江竞赛）已知点P在曲线 上，点P与点Q关于y轴对称，点P与点R关于x轴对称，点R与点S关于直线 对称，则下列说法正确的是（　　）
A．点Q与点R关于原点对称
B．点S在曲线
C．设O为坐标原点， 的值不随点P位置的改变而改变
D．当且仅当点P与点Q重合时， 取最小值
11．（2022高二上·伽师期中）在三棱锥A－BCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC，E为BC的中点，则直线AE和BC（　　）
A．垂直 B．相交 C．共面 D．异面
12．（2020高三上·如皋月考）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线 的离心率为 ，且双曲线C的左焦点在直线 上，A，B分别是双曲线C的左，右顶点，点P是双曲线C的右支上位于第一象限的动点，记PA，PB的斜率分别为 ， ，则下列说法正确的是（　　）
A．双曲线C的渐近线方程为 B．双曲线C的方程为
C． 为定值 D．存在点P，使得
三、填空题
13．（2022高二上·伽师期中）在正方体中，E为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为　 　.
14．（2022高二上·伽师期中）已知圆的方程为，则它的圆心坐标为　 　．
15．（2022高二上·伽师期中）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出．今有抛物线(如图)一条平行x轴的光线射向C上一点P点，经过C的焦点F射向C上的点Q，再反射后沿平行x轴的方向射出，若两平行线间的最小距离是4，则C的方程是　 　．
16．（2022高二上·伽师期中）已知函数，则　 　；的最大值为　 　
四、解答题
17．（2022高二上·伽师期中）已知的三个顶点是，求：
（1）BC边上的高AD所在直线的一般式方程；
（2）BC边上的中线AM所在直线的一般式方程.
18．（2022高二上·伽师期中）在中，，，所对的角分别为，，，已知.
（1）求；
（2）若，为的中点；且，求的面积.
19．（2022高二上·伽师期中）已知直线，．圆满足条件：①经过点；②当时，被直线平分；③与直线相切．
（1）求圆的方程；
（2）对于，求直线与圆相交所得的弦长为整数的弦共有几条．
20．（2021高二上·温州期中）已知直三棱柱 中， ，E，F分别为AC和 的中点，D为棱 上的点， ．
（1）证明： ；
（2）若D为 中点，求平面 与平面DFE所成锐角的余弦值．
21．（2022高二下·连云期末）如图，四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，AD=2AB=6，，PD⊥AB，AC=BD，点M在侧棱PD上，且PD=3MD．
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）求平面PAB与平面MAC所成锐二面角的余弦值．
22．（2022高二上·伽师期中）如图，在平面直角坐标系中，圆：与轴的正半轴交于点，以点为圆心的圆：与圆交于，两点.
（1）当时，求的长；
（2）当变化时，求的最小值；
（3）过点的直线与圆切于点，与圆分别交于点，，若点是的中点，试求直线的方程.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；共面向量定理；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】因为，所以，A正确，不符合题意；
夹角的余弦值为，所以B错误，符合题意；
因为，所以，所以A，B，C，D共面，所以C正确，不符合题意；
因为，所以，所以点O到直线AB的距离是，D正确，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据空间向量数量积的坐标运算以及夹角计算公式可求解A，B；根据共面向量基本定理可判断C；根据点线距离的向量法即可判断D.
2．【答案】A
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】设直线AB的倾斜角为，
因为，
所以直线AB的斜率，即，
因为，所以.
故答案为：A
【分析】直接求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角即可.
3．【答案】B
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】由椭圆的定义知，。
故选：B
【分析】利用已知条件结合椭圆的定义，进而求出点A到焦点的距离。
4．【答案】C
【知识点】平面内两点间的距离公式；空间中的点的坐标
【解析】【解答】如图，圆的圆心为，半径.
设点关于的对称点为，
则解得即.
连接，交直线于点，交圆于点，
此时取得最小值为.
故答案为：C.
【分析】求出点A关于直线的对称点，将问题转化为对称点到圆上的最小值问题，根据圆的几何条件，圆外的点到圆上的点的最小值等于该点到圆心的距离减去半径.
5．【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：椭圆的焦距为，双曲线的焦距为，渐近线为，因为与的焦距之比为，所以，所以，即，所以，所以双曲线的渐近线为，即；
故答案为：A
【分析】分别求出椭圆和双曲线的焦距，再根据已知条件中与的焦距之比为，列出方程求解，可得答案。
6．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】方程 ，即 ，
表示圆则需 ，解得 ，
因为 ，而反之不成立，
所以“ ”是“方程 表示圆”的充分不必要条件，
故答案为：A
【分析】先将圆的方程化成标准形式，根据r＞0，求出a的范围，然后根据若p q为真命题且q p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件，即可得到结论。
7．【答案】C
【知识点】平面向量加法运算
【解析】【解答】解：如图，根据向量的加减法运算法则得：
，
故答案为：C.
【分析】根据向量的加减法运算求解即可.
8．【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由，得，又，所以，
若存在实数m，使得，则，
因为，所以，故.
故答案为：C．
【分析】根据题意转化为，由平面向量数量积运算得，求解即可.
9．【答案】B,C
【知识点】直线的截距式方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系；恒过定点的直线
【解析】【解答】解：对A：因为直线与直线垂直，
则，解得或，A不正确；
对B：直线可变为，因此直线必过定点，即B符合题意；
对C：由直线方程取，得，
所以直线在y轴上的截距为，所以C符合题意．
对D：经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为或，所以D不正确；
故答案为：BC．
【分析】由已知结合直线垂直的条件检验选项A；结合直线系方程检验选项B；结合直线截距的概念检验选项C；结合直线方程的截距式检验选项D.
10．【答案】A,C,D
【知识点】两角和与差的正切公式；用斜率判定两直线垂直；平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】解：由题意，作出图象如下图所示，
设点P坐标为(x0，y0) ，y0=ex0 ，则Q(-x0，y0) ，R(x0，-y0) ，故A正确；
设点S的坐标为(x1，y1) ，S与R的中点为B，由于S与R关于y=x对称，所以B必然在直线y=x上，并且直线SR与直线y=x垂直，
则： ……①， ……②，
联立①②，解得x1=-y0 ，y1=x0 ，即S点的坐标为(-y0，x0)=(-ex0，x0) ，
将S点坐标代入y=-ln(-x) ，得 ，故B错误；
延长PS，交x轴于C点，设 ，直线PO的倾斜角为α ，
则β=α-γ ， ，
由于 ，则 ，故C正确；
由两点距离公式得： ，
设g(x)=ex-x ，g'(x)=ex-1，当x=0时，g(x)取得最小值=1，即|QS|2取最小值=2，
此时P与Q重合，故D正确；
故答案为：ACD.
【分析】根据点关于直线对称的点的性质，直线垂直的充要条件，结合两角差的正切公式，以及两点间的距离公式逐项判断求解即可.
11．【答案】A,B,C
【知识点】向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【解答】因为E为BC的中点，则直线AE和BC相交于点，所以B，C符合题意，D不正确.
因为E为BC的中点，所以
因为在三棱锥A－BCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC，
所以
所以，A符合题意.
故答案为：ABC.
【分析】因为E为BC的中点，则直线AE和BC相交于点，可判断B，C正确，D不正确，化简得到，可得，判断A正确.
12．【答案】B,C
【知识点】直线的斜率；双曲线的简单性质
【解析】【解答】因为双曲线C的左焦点 在直线 上，
所以 ，
又离心率为 ，
所以 ，
故 ，
所以双曲线方程为 ，
故双曲线的渐近线方程为 ，A不符合题意；B符合题意；
由题意可得 ，设P(m, n)，
可得 ，即有 ，
所以 ，C符合题意；
因为点P是双曲线C的右支上位于第一象限的动点，
所以 ，
则 ，当且仅当 时，等号成立，
由A，B为左右顶点，可得 ，
所以 ，D不符合题意，
故答案为：BC。
【分析】利用双曲线标准方程求出a,b的值，再利用双曲线中a,b,c三者的关系式结合离心率公式，从而结合双曲线C的左焦点在直线 上， 求出a,b,c的值，从而求出双曲线的标准方程，再利用双曲线标准方程求出渐近线方程，再利用两点求斜率公式结合均值不等式求最值的方法，从而找出说法正确的选项。
13．【答案】
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图：
设正方体的棱长为1，则，，，，
所以，，
设异面直线与所成角为，则.
故答案为：.
【分析】以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，所以，，根据空间向量数量积的运算即可得解.
14．【答案】
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】由可得，所以圆心坐标为，
故答案为：
【分析】根据题意写出圆的标准方程，即可得解.
15．【答案】
【知识点】直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】由抛物线的光学性质可得：必过抛物线的焦点，
当直线斜率不存在时，易得；
当直线斜率存在时，设的方程为，，
由，得，整理得，
所以，
所以；
综上，当直线与轴垂直时，弦长最短，
又因为两平行光线间的最小距离为，故，
所以抛物线方程为．
故答案为：．
【分析】由题意必过抛物线的焦点，当直线斜率不存在时，易得； 当直线斜率存在时，设的方程为，与抛物线方程联立，，又因为两平行光线间的最小距离为，故，即可得解.
16．【答案】；3
【知识点】函数的值；二次函数的性质；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】因为，
所以，
，
令，则，对称轴为，开口向上，
所以当时，
所以的最大值为，
故答案为：；.
【分析】】把代入解析式即可求值，，令，则，结合二次函数的性质即可得解.
17．【答案】（1）解： ，
所以直线的方程为：
故
（2）解：的中点
所以直线的方程为：
故
【知识点】直线的点斜式方程；平面内中点坐标公式
【解析】【分析】（1）利用点斜式求解直线方程；
（2）利用点斜式求解直线方程.
18．【答案】（1）解：因为，
由正弦定理得，
因为，
所以，
因为，所以，所以，
因为，所以.
（2）解：法1：在中，由余弦定理得，
即，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
因为，所以，
即，
所以，
整理得，解得：或（舍去），
所以.
法2：因为为的中点，所以，
两边平方得，
即，即，解得或（舍），
所以.
【知识点】平面向量的数量积运算；正弦定理
【解析】【分析】（1）由正弦定理整理条件可得，进而求得；
（2）利用平面向量运算法则表示出，平方后代入数据求得，利用三角形面积公式即可求解.
19．【答案】（1）解：由②可知圆的圆心在直线上，
故可设圆的方程为
由①③，圆心到点与到直线的距离相等，即
，
解得
所以，圆的方程为，
（2）解：由可得：，
令，
直线过定点
又，在⊙内
直线与⊙交于两点，设为
当直线过圆心时，取最大值10，此时，
当直线时，取最小值，，，而此时不存在
所以，
故弦长为整数的值有各有2条
而时有1条，故弦长为整数的弦共有7条．
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1） 由②可知圆的圆心在直线上，由①③，圆心到点与到直线的距离相等，解得，可得圆的方程为；
（2） 直线过定点 ，分类讨论可得不同情况下直线与圆相交所得的弦长为整数的弦的条数，综合讨论结果，可得答案.
20．【答案】（1）因为三棱柱 是直三棱柱，所以 底面ABC，所以
因为 ， ，所以 ，又 ，所以 平面 ．所以BA，BC， 两两垂直．以B为坐标原点，分别以BA，BC， 所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图．
所以 ， ， ， ， ， ，
， ．由题设 ．
因为 ， ，所以 ，所以 ．
（2）因为D为 中点，则
因为 平面 ，所以面 的法向量为
而 ，
设面DEF的法向量为 ， ，即
解得 ，
所以平面 与平面DFE所成锐角的余弦值 .
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；直线与平面垂直的性质；空间向量的数量积运算；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)根据题意建立空间坐标系，由此求出各个点以及向量的坐标，然后由数量积的坐标公式代入计算出，从而得证出。
(2)由(1)的结论，求出平面DEF和的法向量，然后由数量积的夹角公式，代入数值计算出结果即可。
21．【答案】（1）证明：因为底面ABCD是平行四边形，且AC=BD，所以底面ABCD是矩形，所以有，又PD⊥AB，且，平面PAD，
所以平面PAD，又平面PAB，
所以平面PAB⊥平面PAD；
（2）解：取的中点，因为，可得，由（1）可得，
而，且平面，
所以平面.
所以以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
所以.
设，由PD=3MD．有，可得，所以.
所以
设平面PAB的法向量为，则有，可取，
设平面MAC的法向量为，则有，可取，
设平面PAB与平面MAC所成锐二面角为，
则平面PAB与平面MAC所成锐二面角的余弦值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】 (1)先证明线面垂直，再证明面面垂直即可证得面PAB⊥平面PAD；
(2)以O坐标原点，建立空间直角坐标系，再分别求出平面PAB的法向量和平面MAC的法向量，利用向量的夹角公式计算即可得平面PAB与平面MAC所成锐二面角的余弦值．
22．【答案】（1）解：当 时，
联立方程 得，
所以
（2）解：由对称性，设，则
所以
因为，所以当时，的最小值为
（3）解：取的中点，连结，
所以，由垂径定理和切线的性质得
所以，
所以，，从而 ，
因为点是的中点，
所以，不妨记，
在中，有，即①
在中，有，即②
由①②解得
由题直线的斜率不为0，可设直线的方程为： ，
由点A到直线的距离等于，则，所以，
所以，直线的方程为
【知识点】平面向量的数量积运算；平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1） 联立方程 得， ，根据两点之间的距离公式即可求解；
（2）根据对称性，可得，即可求出最小值；
（3）根据比例的性质和勾股定理，可求出半径， 设直线的方程为： ，根据点到直线的距离公式即可求解.
1 / 1新疆喀什地区伽师县2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷
一、单选题
1．（2022高二上·伽师期中）在空间直角坐标系中，已知，则以下错误的是（　　）
A． B．夹角的余弦值为
C．A，B，C，D共面 D．点O到直线AB的距离是
【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；共面向量定理；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】因为，所以，A正确，不符合题意；
夹角的余弦值为，所以B错误，符合题意；
因为，所以，所以A，B，C，D共面，所以C正确，不符合题意；
因为，所以，所以点O到直线AB的距离是，D正确，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据空间向量数量积的坐标运算以及夹角计算公式可求解A，B；根据共面向量基本定理可判断C；根据点线距离的向量法即可判断D.
2．（2022高二上·伽师期中）已知点，则直线的倾斜角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】设直线AB的倾斜角为，
因为，
所以直线AB的斜率，即，
因为，所以.
故答案为：A
【分析】直接求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角即可.
3．（2021高二上·湖南月考）若椭圆上一点A到焦点的距离为3，则点A到焦点的距离为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】由椭圆的定义知，。
故选：B
【分析】利用已知条件结合椭圆的定义，进而求出点A到焦点的距离。
4．（2022高二上·伽师期中）已知分别是直线和圆上的动点，圆与轴正半轴交于点，则的最小值为（　　）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】平面内两点间的距离公式；空间中的点的坐标
【解析】【解答】如图，圆的圆心为，半径.
设点关于的对称点为，
则解得即.
连接，交直线于点，交圆于点，
此时取得最小值为.
故答案为：C.
【分析】求出点A关于直线的对称点，将问题转化为对称点到圆上的最小值问题，根据圆的几何条件，圆外的点到圆上的点的最小值等于该点到圆心的距离减去半径.
5．（2021高二上·西城期末）已知椭圆，双曲线，其中.若与的焦距之比为，则的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：椭圆的焦距为，双曲线的焦距为，渐近线为，因为与的焦距之比为，所以，所以，即，所以，所以双曲线的渐近线为，即；
故答案为：A
【分析】分别求出椭圆和双曲线的焦距，再根据已知条件中与的焦距之比为，列出方程求解，可得答案。
6．（2020高三上·湖北期末）已知a，b都是实数，那么“ ”是“方程 表示圆”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】方程 ，即 ，
表示圆则需 ，解得 ，
因为 ，而反之不成立，
所以“ ”是“方程 表示圆”的充分不必要条件，
故答案为：A
【分析】先将圆的方程化成标准形式，根据r＞0，求出a的范围，然后根据若p q为真命题且q p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件，即可得到结论。
7．（2022高二上·伽师期中）三棱柱中，记，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量加法运算
【解析】【解答】解：如图，根据向量的加减法运算法则得：
，
故答案为：C.
【分析】根据向量的加减法运算求解即可.
8．（2022高二上·伽师期中）已知向量，，，，的夹角为，若存在实数m，使得，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由，得，又，所以，
若存在实数m，使得，则，
因为，所以，故.
故答案为：C．
【分析】根据题意转化为，由平面向量数量积运算得，求解即可.
二、多选题
9．（2022高二上·伽师期中）下列说法正确的是（　　）
A．已知直线与直线垂直，则实数a的值是
B．直线必过定点
C．直线在y轴上的截距为
D．经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为
【答案】B,C
【知识点】直线的截距式方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系；恒过定点的直线
【解析】【解答】解：对A：因为直线与直线垂直，
则，解得或，A不正确；
对B：直线可变为，因此直线必过定点，即B符合题意；
对C：由直线方程取，得，
所以直线在y轴上的截距为，所以C符合题意．
对D：经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为或，所以D不正确；
故答案为：BC．
【分析】由已知结合直线垂直的条件检验选项A；结合直线系方程检验选项B；结合直线截距的概念检验选项C；结合直线方程的截距式检验选项D.
10．（2022高三下·浙江竞赛）已知点P在曲线 上，点P与点Q关于y轴对称，点P与点R关于x轴对称，点R与点S关于直线 对称，则下列说法正确的是（　　）
A．点Q与点R关于原点对称
B．点S在曲线
C．设O为坐标原点， 的值不随点P位置的改变而改变
D．当且仅当点P与点Q重合时， 取最小值
【答案】A,C,D
【知识点】两角和与差的正切公式；用斜率判定两直线垂直；平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】解：由题意，作出图象如下图所示，
设点P坐标为(x0，y0) ，y0=ex0 ，则Q(-x0，y0) ，R(x0，-y0) ，故A正确；
设点S的坐标为(x1，y1) ，S与R的中点为B，由于S与R关于y=x对称，所以B必然在直线y=x上，并且直线SR与直线y=x垂直，
则： ……①， ……②，
联立①②，解得x1=-y0 ，y1=x0 ，即S点的坐标为(-y0，x0)=(-ex0，x0) ，
将S点坐标代入y=-ln(-x) ，得 ，故B错误；
延长PS，交x轴于C点，设 ，直线PO的倾斜角为α ，
则β=α-γ ， ，
由于 ，则 ，故C正确；
由两点距离公式得： ，
设g(x)=ex-x ，g'(x)=ex-1，当x=0时，g(x)取得最小值=1，即|QS|2取最小值=2，
此时P与Q重合，故D正确；
故答案为：ACD.
【分析】根据点关于直线对称的点的性质，直线垂直的充要条件，结合两角差的正切公式，以及两点间的距离公式逐项判断求解即可.
11．（2022高二上·伽师期中）在三棱锥A－BCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC，E为BC的中点，则直线AE和BC（　　）
A．垂直 B．相交 C．共面 D．异面
【答案】A,B,C
【知识点】向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【解答】因为E为BC的中点，则直线AE和BC相交于点，所以B，C符合题意，D不正确.
因为E为BC的中点，所以
因为在三棱锥A－BCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC，
所以
所以，A符合题意.
故答案为：ABC.
【分析】因为E为BC的中点，则直线AE和BC相交于点，可判断B，C正确，D不正确，化简得到，可得，判断A正确.
12．（2020高三上·如皋月考）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线 的离心率为 ，且双曲线C的左焦点在直线 上，A，B分别是双曲线C的左，右顶点，点P是双曲线C的右支上位于第一象限的动点，记PA，PB的斜率分别为 ， ，则下列说法正确的是（　　）
A．双曲线C的渐近线方程为 B．双曲线C的方程为
C． 为定值 D．存在点P，使得
【答案】B,C
【知识点】直线的斜率；双曲线的简单性质
【解析】【解答】因为双曲线C的左焦点 在直线 上，
所以 ，
又离心率为 ，
所以 ，
故 ，
所以双曲线方程为 ，
故双曲线的渐近线方程为 ，A不符合题意；B符合题意；
由题意可得 ，设P(m, n)，
可得 ，即有 ，
所以 ，C符合题意；
因为点P是双曲线C的右支上位于第一象限的动点，
所以 ，
则 ，当且仅当 时，等号成立，
由A，B为左右顶点，可得 ，
所以 ，D不符合题意，
故答案为：BC。
【分析】利用双曲线标准方程求出a,b的值，再利用双曲线中a,b,c三者的关系式结合离心率公式，从而结合双曲线C的左焦点在直线 上， 求出a,b,c的值，从而求出双曲线的标准方程，再利用双曲线标准方程求出渐近线方程，再利用两点求斜率公式结合均值不等式求最值的方法，从而找出说法正确的选项。
三、填空题
13．（2022高二上·伽师期中）在正方体中，E为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为　 　.
【答案】
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图：
设正方体的棱长为1，则，，，，
所以，，
设异面直线与所成角为，则.
故答案为：.
【分析】以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，所以，，根据空间向量数量积的运算即可得解.
14．（2022高二上·伽师期中）已知圆的方程为，则它的圆心坐标为　 　．
【答案】
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】由可得，所以圆心坐标为，
故答案为：
【分析】根据题意写出圆的标准方程，即可得解.
15．（2022高二上·伽师期中）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出．今有抛物线(如图)一条平行x轴的光线射向C上一点P点，经过C的焦点F射向C上的点Q，再反射后沿平行x轴的方向射出，若两平行线间的最小距离是4，则C的方程是　 　．
【答案】
【知识点】直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】由抛物线的光学性质可得：必过抛物线的焦点，
当直线斜率不存在时，易得；
当直线斜率存在时，设的方程为，，
由，得，整理得，
所以，
所以；
综上，当直线与轴垂直时，弦长最短，
又因为两平行光线间的最小距离为，故，
所以抛物线方程为．
故答案为：．
【分析】由题意必过抛物线的焦点，当直线斜率不存在时，易得； 当直线斜率存在时，设的方程为，与抛物线方程联立，，又因为两平行光线间的最小距离为，故，即可得解.
16．（2022高二上·伽师期中）已知函数，则　 　；的最大值为　 　
【答案】；3
【知识点】函数的值；二次函数的性质；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】因为，
所以，
，
令，则，对称轴为，开口向上，
所以当时，
所以的最大值为，
故答案为：；.
【分析】】把代入解析式即可求值，，令，则，结合二次函数的性质即可得解.
四、解答题
17．（2022高二上·伽师期中）已知的三个顶点是，求：
（1）BC边上的高AD所在直线的一般式方程；
（2）BC边上的中线AM所在直线的一般式方程.
【答案】（1）解： ，
所以直线的方程为：
故
（2）解：的中点
所以直线的方程为：
故
【知识点】直线的点斜式方程；平面内中点坐标公式
【解析】【分析】（1）利用点斜式求解直线方程；
（2）利用点斜式求解直线方程.
18．（2022高二上·伽师期中）在中，，，所对的角分别为，，，已知.
（1）求；
（2）若，为的中点；且，求的面积.
【答案】（1）解：因为，
由正弦定理得，
因为，
所以，
因为，所以，所以，
因为，所以.
（2）解：法1：在中，由余弦定理得，
即，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
因为，所以，
即，
所以，
整理得，解得：或（舍去），
所以.
法2：因为为的中点，所以，
两边平方得，
即，即，解得或（舍），
所以.
【知识点】平面向量的数量积运算；正弦定理
【解析】【分析】（1）由正弦定理整理条件可得，进而求得；
（2）利用平面向量运算法则表示出，平方后代入数据求得，利用三角形面积公式即可求解.
19．（2022高二上·伽师期中）已知直线，．圆满足条件：①经过点；②当时，被直线平分；③与直线相切．
（1）求圆的方程；
（2）对于，求直线与圆相交所得的弦长为整数的弦共有几条．
【答案】（1）解：由②可知圆的圆心在直线上，
故可设圆的方程为
由①③，圆心到点与到直线的距离相等，即
，
解得
所以，圆的方程为，
（2）解：由可得：，
令，
直线过定点
又，在⊙内
直线与⊙交于两点，设为
当直线过圆心时，取最大值10，此时，
当直线时，取最小值，，，而此时不存在
所以，
故弦长为整数的值有各有2条
而时有1条，故弦长为整数的弦共有7条．
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1） 由②可知圆的圆心在直线上，由①③，圆心到点与到直线的距离相等，解得，可得圆的方程为；
（2） 直线过定点 ，分类讨论可得不同情况下直线与圆相交所得的弦长为整数的弦的条数，综合讨论结果，可得答案.
20．（2021高二上·温州期中）已知直三棱柱 中， ，E，F分别为AC和 的中点，D为棱 上的点， ．
（1）证明： ；
（2）若D为 中点，求平面 与平面DFE所成锐角的余弦值．
【答案】（1）因为三棱柱 是直三棱柱，所以 底面ABC，所以
因为 ， ，所以 ，又 ，所以 平面 ．所以BA，BC， 两两垂直．以B为坐标原点，分别以BA，BC， 所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图．
所以 ， ， ， ， ， ，
， ．由题设 ．
因为 ， ，所以 ，所以 ．
（2）因为D为 中点，则
因为 平面 ，所以面 的法向量为
而 ，
设面DEF的法向量为 ， ，即
解得 ，
所以平面 与平面DFE所成锐角的余弦值 .
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；直线与平面垂直的性质；空间向量的数量积运算；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)根据题意建立空间坐标系，由此求出各个点以及向量的坐标，然后由数量积的坐标公式代入计算出，从而得证出。
(2)由(1)的结论，求出平面DEF和的法向量，然后由数量积的夹角公式，代入数值计算出结果即可。
21．（2022高二下·连云期末）如图，四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，AD=2AB=6，，PD⊥AB，AC=BD，点M在侧棱PD上，且PD=3MD．
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）求平面PAB与平面MAC所成锐二面角的余弦值．
【答案】（1）证明：因为底面ABCD是平行四边形，且AC=BD，所以底面ABCD是矩形，所以有，又PD⊥AB，且，平面PAD，
所以平面PAD，又平面PAB，
所以平面PAB⊥平面PAD；
（2）解：取的中点，因为，可得，由（1）可得，
而，且平面，
所以平面.
所以以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
所以.
设，由PD=3MD．有，可得，所以.
所以
设平面PAB的法向量为，则有，可取，
设平面MAC的法向量为，则有，可取，
设平面PAB与平面MAC所成锐二面角为，
则平面PAB与平面MAC所成锐二面角的余弦值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】 (1)先证明线面垂直，再证明面面垂直即可证得面PAB⊥平面PAD；
(2)以O坐标原点，建立空间直角坐标系，再分别求出平面PAB的法向量和平面MAC的法向量，利用向量的夹角公式计算即可得平面PAB与平面MAC所成锐二面角的余弦值．
22．（2022高二上·伽师期中）如图，在平面直角坐标系中，圆：与轴的正半轴交于点，以点为圆心的圆：与圆交于，两点.
（1）当时，求的长；
（2）当变化时，求的最小值；
（3）过点的直线与圆切于点，与圆分别交于点，，若点是的中点，试求直线的方程.
【答案】（1）解：当 时，
联立方程 得，
所以
（2）解：由对称性，设，则
所以
因为，所以当时，的最小值为
（3）解：取的中点，连结，
所以，由垂径定理和切线的性质得
所以，
所以，，从而 ，
因为点是的中点，
所以，不妨记，
在中，有，即①
在中，有，即②
由①②解得
由题直线的斜率不为0，可设直线的方程为： ，
由点A到直线的距离等于，则，所以，
所以，直线的方程为
【知识点】平面向量的数量积运算；平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1） 联立方程 得， ，根据两点之间的距离公式即可求解；
（2）根据对称性，可得，即可求出最小值；
（3）根据比例的性质和勾股定理，可求出半径， 设直线的方程为： ，根据点到直线的距离公式即可求解.
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