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河北省张家口市部分学校2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷
一、单选题
1．（2022高二上·张家口期中）已知直线l的斜率为，则其倾斜角为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】设直线的倾斜角为，则，所以
斜率.
故答案为：C．
【分析】设直线的倾斜角为，则，根据已知条件可得，即可得答案.
2．（2022高二上·张家口期中）圆的半径等于（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】把圆化为标准方程得，圆，
所以圆的半径为．
故答案为：B．
【分析】将圆的一般方程化为标准方程，即可求得圆的半径.
3．（2022高二上·张家口期中）已知直线与直线垂直，则（ ）．
A．2 B． C． D．
【答案】C
【知识点】两条直线垂直的判定
【解析】【解答】解：直线斜率为，
直线斜率为，
又两直线垂直，故，解得．
故答案为：C．
【分析】根据直线垂直斜率之积为-1，求解可得答案.
4．（2022高二上·张家口期中）已知直线恒过定点Q，Q点在直线l上，则l的方程可以是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】恒过定点的直线
【解析】【解答】由题意知可化为，
则直线l恒过定点，
验证选项得直线l的方程可以为．
故答案为：B
【分析】根据直线过定点的求法求得Q，利用代入验证法可得答案.
5．（2022高二上·张家口期中）已知圆与圆，若圆与圆有且仅有一个公共点，则得实数等于（ ）．
A．7 B．3 C．3或7 D．5
【答案】C
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：圆的圆心为，半径为
圆的圆心，半径为
所以，
因为圆与圆有且仅有一个公共点，所以圆与圆相内切或外切，
所以或，所以或或（舍）.
故答案为：C．
【分析】两个圆有且只有一个公共点，可得两个圆内切或外切，分别求出，即可得出答案.
6．（2022高二上·张家口期中）点关于直线的对称点Q的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】斜率的计算公式；中点坐标公式
【解析】【解答】设点关于直线的对称点的坐标为，
则，解得．
所以点Q的坐标为.
故答案为：A
【分析】 设对称点Q的坐标，由题意可得直线为线段PQ的中垂线，可得a， b的值，即可得对称点Q的坐标 .
7．（2022高二上·张家口期中）如图，在三棱锥中，平面，是正三角形，，，F是棱上一点，且满足，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】以D为坐标原点，，所在直线分别为y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，
易知，，，，
，，
设，则，
已知，
因为，，
所以，
可得，即，
所以，所以，
则，
∴异面直线与所成角的余弦值为．
故答案为：B．
【分析】以D为坐标原点，，所在直线分别为y，z轴建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，由求出的值，利用向量法可求出异面直线与所成角的余弦值.
8．（2022高二上·张家口期中）如果圆上总存在两个点到原点的距离为2，则实数的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：如果圆上总存在两个点到原点的距离为2
则圆和圆相交，
又圆的圆心为，半径为
两圆圆心距，
由得，
解得，即．
故答案为：D．
【分析】 利用圆和圆相交，两圆圆心距大于两圆半径之差、小于两圆半径之和即可得实数的取值范围 .
二、多选题
9．（2022高二上·张家口期中）已知圆和圆的交点为A，B，则（ ）．
A．两圆的圆心距
B．直线的方程为
C．圆上存在两点P和Q使得
D．圆上的点到直线的最大距离为
【答案】B,D
【知识点】点到直线的距离公式；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】由圆和圆，
可得圆和圆，
则圆的圆心坐标为，半径为2，
圆的圆心坐标为，半径为，
对于A，两圆的圆心距，A不符合题意；
对于B，将两圆方程作差可得，即得直线的方程为，B符合题意；
对于C，直线经过圆的圆心坐标，所以线段是圆的直径，
故圆中不存在比长的弦，C不符合题意；
对于D，圆的圆心坐标为，半径为2，
圆心到直线的距离为，
所以圆上的点到直线的最大距离为，D符合题意.
故答案为：BD.
【分析】由直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，逐项进行判断，可得答案.
10．（2022高二上·张家口期中）已知直线，，和圆，下列说法正确的是（ ）．
A．直线l恒过定点
B．圆C被x轴截得的弦长为
C．直线l被圆截得的弦长存在最大值，且最大值为
D．直线l被圆截得的弦长存在最小值，且最小值为
【答案】A,B,D
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【解答】对于A，由，得，
由解得，因此无论m为何值，直线l恒过定点，A符合题意；
对于B，在中，令，得，
因此圆C截x轴所得弦长为，B符合题意；
对于C，直线l恒过的定点在圆内，当直线l过圆心时，直线l被圆截得的弦长最大，最大值为圆C直径4，C不符合题意；
对于D，直线l恒过的定点在圆内，当直线l与过点P的直径垂直时，直线l被圆截得的弦长最短，
最短弦长为，D符合题意．
故答案为：ABD
【分析】由直线恒过定点的求法可判断A；令圆的方程中的y=0，求得x，圆C截x轴所得弦长为，可判断B；由定点在圆C内，可得弦长的最大值为直径，可判断C；由定点P与C的连线与弦垂直时，截得的弦长最小，计算可判断D.
11．（2022高二上·张家口期中）若直线，，不能构成三角形，则m的取值可能为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】两条直线平行的判定；两条直线的交点坐标
【解析】【解答】因为直线，，不能构成三角形，
所以存在，，过与的交点三种情况.
显然，.则直线的斜率分别为，，.
当时，有，即，解得；
当时，有，即，解得；
当过与的交点时.先联立，解得，则与的交点为，
代入，得，解得．
综上：或或．
故答案为：ABD．
【分析】 分，，过与的交点三种情况讨论即可求出 m的取值 .
12．（2022高二上·张家口期中）已知三棱锥，，且，，两两垂直，G是的重心，E，F分别为，上的点，且，则下列说法正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】向量的线性运算性质及几何意义；平面向量数量积的运算
【解析】【解答】解：如图，
设，，，
则是空间的一个正交基底，则，
取的中点，连接，由于是的重心，则
则，
，
又，
则，
，
∴，则不平行于，A不正确；
，B符合题意；
，C符合题意；
，D符合题意．
故答案为：BCD．
【分析】根据OA， OB， OC两两垂直，设，，，则是空间的一个正交基底，根据空间向量运算逐项进行判断，可得答案.
三、填空题
13．（2022高二上·张家口期中）若过两点，的直线的斜率为，则直线的方程为 ．
【答案】
【知识点】斜率的计算公式；直线的点斜式方程
【解析】【解答】因为直线经过两点、且直线的斜率是，
所以，解得，所以点A的坐标为，
所以直线的方程为，化简可得，
故答案为：．
【分析】根据题意求解出m，再利用点斜式方程求解可得答案.
14．（2022高二上·张家口期中）已知圆C的圆心在直线上，且过点，，则圆C的一般方程为 ．
【答案】
【知识点】圆的标准方程；圆的一般方程
【解析】【解答】设所求圆的标准方程为，
由题意得：，解得：，
故所求圆的方程为，即．
故答案为：．
【分析】设所求圆的标准方程为，利用待定系数法求出a，b，r，可得圆的标准方程，进而求出圆C的一般方程.
15．（2022高二上·张家口期中）已知圆，若圆C与y轴交于M，N两点，且，则 ．
【答案】2
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【解答】由题意知的圆心，半径为r，
圆心到y轴的距离为1，
因为圆C与y轴交于M，N两点，且，
，所以，
由垂径定理得，，
即，解得．
故答案为：2．
【分析】根据已知条件，结合垂径定理即可求解出r的值.
16．（2022高二上·张家口期中）球O为正四面体的内切球，，是球O的直径，点M在正四面体的表面运动，则的最大值为 ．
【答案】
【知识点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】如图，
为中点，为中心，平面，
设球O的半径为r，，
正四面体中，易求得
所以正四面体的高为，
所以根据体积公式得：
，解得，
因为点M在正四面体的表面运动，
所以，
所以
．
故答案为：．
【分析】根据向量的法则，分别求出正四面体ABCD的外接球半径和内切球半径，即可求出 的最大值 .
四、解答题
17．（2022高二上·张家口期中）已知的顶点，，．
（1）直线l过点B且与直线平行，求直线l的方程；
（2）若垂足为D，求D的坐标．
【答案】（1）解：由题意可知，则，
所以直线l方程为，即．
（2）解：设，由题意得，，D在直线上，
因为，所以直线方程为，，
又D在直线上，所以，
联立，解得，
所以．
【知识点】斜率的计算公式；两条直线平行的判定；两条直线垂直的判定；直线的点斜式方程
【解析】【分析】(1)先由直线平行求得 ，从而利用点斜式即可求得直线l的方程；
(2)先由点斜式得到BC的方程，从而得到 ， 再由AD⊥BC得到 ， 联立方程求解即可得到m，n的值，可得 D的坐标．
18．（2022高二上·张家口期中）如图，正方体的棱长为2，点E，F为棱，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离．
【答案】（1）证明：如图取的中点M，连接，．
∵F，M分别是，的中点，∴，．
又，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，∴．
又平面，平面，∴平面；
（2）解：如图，连接，以A为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
∴，，．
设平面的法向量为，则.
令，得，
∴到平面的距离为．
【知识点】直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】(1) 取的中点M，连接，，根据平行四边形性质得出CF// EM，故而推出 平面；
(2) 以A为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，求出平面的法向量，利用向量法可求出点到平面的距离．
19．（2022高二上·张家口期中）已知直线．
（1）求证：直线l恒过定点；
（2）已知两点，，过点A的直线l与线段有公共点，求直线l的倾斜角的取值范围．
【答案】（1）证明：由，得．
由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点．
（2）解：由题意可知，，
由题意可知直线l的倾斜角介于直线与的倾斜角之间，
又的倾斜角是，的倾斜角是，点横坐标在两点横坐标之间，因此直线可能与轴垂直，倾斜角可以是，
∴的取值范围是．
【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系；直线的点斜式方程
【解析】【分析】(1)直线l的方程可变形为 ， 由直线方程的点斜式可证得直线l恒过定点；
(2)求出直线AC， AB的斜率， 由题意可知直线l的倾斜角介于直线与的倾斜角之间， 进而求出直线的倾斜角的取值范围.
20．（2022高二上·张家口期中）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的动点，．
（1）证明：平面；
（2）当为何值时，平面与平面所成的夹角最小？
【答案】（1）证明：因为三棱柱是直三棱柱，
所以底面，底面，所以．
因为，，平面，平面，
所以平面．
所以，，两两垂直．
以B为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，
所以，，，，，，
因为，，，
所以，，
所以，，
因为，，平面，
所以平面．
（2）解：由题设．
设平面的法向量为，
因为，，
所以，即．
令，则．
因为平面的法向量为，
设平面与平面所成的夹角为，
则，
当时，取最小值为，此时取最大值为，
此时，符合题意．
故当时，面与面所成的夹角最小．
【知识点】向量语言表述线面的垂直、平行关系；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1）先证明 平面， 以B为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 利用向量法证明 ，， 由线面垂直的判定定理可证得 平面；
（2）求出平面的法向量和平面的法向量，再利用向量夹角公式求出两平面的夹角余弦，再求其最小值可得的取值.
21．（2022高二上·张家口期中）已知圆．
（1）求过点与圆O相切的直线方程；
（2）点在直线上，若在圆O上存在两个不同的点A，B，使，求的取值范围．
【答案】（1）解：当切线斜率不存在时，直线与圆相切，此时切线方程为，
当切线斜率存在时，设切线斜率为k，直线方程为，即，
因此有，解得，此时直线方程为，
所以过点与圆O相切的直线方程为和．
（2）解：如图，，故四边形为平行四边形，因为，所以四边形为菱形，故与互相垂直平分，则线段OP的中点在圆O内，因此，
即，又，即，因此，解得，
所以实数的取值范围是．
【知识点】圆的切线方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】(1)分两种情况：当过点(1， 2)的直线斜率不存在时，当过点(1， 2)的直线斜率存在时，讨论直线与圆相切，即可求出过点与圆O相切的直线方程；
(2)由于在圆C上总存在不同的点A， B，使 ，可得AB垂直平分OP，分三种情况：当直线AB的斜率不为0时，当直线AB的斜率不存在时，当直线AB的斜率存在且不为0时，分析直线AB的方程，使得圆心到直线AB的距离 ，又 ，即可求出 的取值范围．
22．（2022高二上·张家口期中）已知圆，P是圆C上动点，Q为圆C与x轴负半轴交点，E是中点．
（1）求点E的轨迹方程；
（2）过点的直线与点E的轨迹交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：设，因为P是圆C上动点，所以，
因为Q为圆C与x轴负半轴交点，所以，
设，因为E是中点，所以，即，
所以，即，
所以点E的轨迹方程为.
（2）解：当直线轴时，x轴平分.
当直线的斜率存在时，
设直线的方程为，，，，
由，得，
所以，．
若x轴平分，则，
∴，∴，
∴，
∴，
所以当点N为时，能使得x轴平分总成立
【知识点】圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】 (1)设 ，利用 P是圆C上动点及Q为圆C与x轴负半轴交点，可得Q的坐标，设 ，利用中点坐标公式得即可求出点E的轨迹方程；
(2) 当直线轴时，x轴平分，当直线AB斜率存在时， 设直线的方程为 ，联立圆与直线方程，消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理表示出两根之和与两根之积，由若x轴平分∠ANB，则 ，求出t的值，确定出此时N坐标.
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河北省张家口市部分学校2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷
一、单选题
1．（2022高二上·张家口期中）已知直线l的斜率为，则其倾斜角为（ ）．
A． B． C． D．
2．（2022高二上·张家口期中）圆的半径等于（ ）．
A． B． C． D．
3．（2022高二上·张家口期中）已知直线与直线垂直，则（ ）．
A．2 B． C． D．
4．（2022高二上·张家口期中）已知直线恒过定点Q，Q点在直线l上，则l的方程可以是（ ）．
A． B． C． D．
5．（2022高二上·张家口期中）已知圆与圆，若圆与圆有且仅有一个公共点，则得实数等于（ ）．
A．7 B．3 C．3或7 D．5
6．（2022高二上·张家口期中）点关于直线的对称点Q的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
7．（2022高二上·张家口期中）如图，在三棱锥中，平面，是正三角形，，，F是棱上一点，且满足，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）．
A． B． C． D．
8．（2022高二上·张家口期中）如果圆上总存在两个点到原点的距离为2，则实数的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2022高二上·张家口期中）已知圆和圆的交点为A，B，则（ ）．
A．两圆的圆心距
B．直线的方程为
C．圆上存在两点P和Q使得
D．圆上的点到直线的最大距离为
10．（2022高二上·张家口期中）已知直线，，和圆，下列说法正确的是（ ）．
A．直线l恒过定点
B．圆C被x轴截得的弦长为
C．直线l被圆截得的弦长存在最大值，且最大值为
D．直线l被圆截得的弦长存在最小值，且最小值为
11．（2022高二上·张家口期中）若直线，，不能构成三角形，则m的取值可能为（ ）．
A． B． C． D．
12．（2022高二上·张家口期中）已知三棱锥，，且，，两两垂直，G是的重心，E，F分别为，上的点，且，则下列说法正确的是（ ）．
A． B． C． D．
三、填空题
13．（2022高二上·张家口期中）若过两点，的直线的斜率为，则直线的方程为 ．
14．（2022高二上·张家口期中）已知圆C的圆心在直线上，且过点，，则圆C的一般方程为 ．
15．（2022高二上·张家口期中）已知圆，若圆C与y轴交于M，N两点，且，则 ．
16．（2022高二上·张家口期中）球O为正四面体的内切球，，是球O的直径，点M在正四面体的表面运动，则的最大值为 ．
四、解答题
17．（2022高二上·张家口期中）已知的顶点，，．
（1）直线l过点B且与直线平行，求直线l的方程；
（2）若垂足为D，求D的坐标．
18．（2022高二上·张家口期中）如图，正方体的棱长为2，点E，F为棱，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离．
19．（2022高二上·张家口期中）已知直线．
（1）求证：直线l恒过定点；
（2）已知两点，，过点A的直线l与线段有公共点，求直线l的倾斜角的取值范围．
20．（2022高二上·张家口期中）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的动点，．
（1）证明：平面；
（2）当为何值时，平面与平面所成的夹角最小？
21．（2022高二上·张家口期中）已知圆．
（1）求过点与圆O相切的直线方程；
（2）点在直线上，若在圆O上存在两个不同的点A，B，使，求的取值范围．
22．（2022高二上·张家口期中）已知圆，P是圆C上动点，Q为圆C与x轴负半轴交点，E是中点．
（1）求点E的轨迹方程；
（2）过点的直线与点E的轨迹交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】设直线的倾斜角为，则，所以
斜率.
故答案为：C．
【分析】设直线的倾斜角为，则，根据已知条件可得，即可得答案.
2．【答案】B
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】把圆化为标准方程得，圆，
所以圆的半径为．
故答案为：B．
【分析】将圆的一般方程化为标准方程，即可求得圆的半径.
3．【答案】C
【知识点】两条直线垂直的判定
【解析】【解答】解：直线斜率为，
直线斜率为，
又两直线垂直，故，解得．
故答案为：C．
【分析】根据直线垂直斜率之积为-1，求解可得答案.
4．【答案】B
【知识点】恒过定点的直线
【解析】【解答】由题意知可化为，
则直线l恒过定点，
验证选项得直线l的方程可以为．
故答案为：B
【分析】根据直线过定点的求法求得Q，利用代入验证法可得答案.
5．【答案】C
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：圆的圆心为，半径为
圆的圆心，半径为
所以，
因为圆与圆有且仅有一个公共点，所以圆与圆相内切或外切，
所以或，所以或或（舍）.
故答案为：C．
【分析】两个圆有且只有一个公共点，可得两个圆内切或外切，分别求出，即可得出答案.
6．【答案】A
【知识点】斜率的计算公式；中点坐标公式
【解析】【解答】设点关于直线的对称点的坐标为，
则，解得．
所以点Q的坐标为.
故答案为：A
【分析】 设对称点Q的坐标，由题意可得直线为线段PQ的中垂线，可得a， b的值，即可得对称点Q的坐标 .
7．【答案】B
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】以D为坐标原点，，所在直线分别为y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，
易知，，，，
，，
设，则，
已知，
因为，，
所以，
可得，即，
所以，所以，
则，
∴异面直线与所成角的余弦值为．
故答案为：B．
【分析】以D为坐标原点，，所在直线分别为y，z轴建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，由求出的值，利用向量法可求出异面直线与所成角的余弦值.
8．【答案】D
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：如果圆上总存在两个点到原点的距离为2
则圆和圆相交，
又圆的圆心为，半径为
两圆圆心距，
由得，
解得，即．
故答案为：D．
【分析】 利用圆和圆相交，两圆圆心距大于两圆半径之差、小于两圆半径之和即可得实数的取值范围 .
9．【答案】B,D
【知识点】点到直线的距离公式；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】由圆和圆，
可得圆和圆，
则圆的圆心坐标为，半径为2，
圆的圆心坐标为，半径为，
对于A，两圆的圆心距，A不符合题意；
对于B，将两圆方程作差可得，即得直线的方程为，B符合题意；
对于C，直线经过圆的圆心坐标，所以线段是圆的直径，
故圆中不存在比长的弦，C不符合题意；
对于D，圆的圆心坐标为，半径为2，
圆心到直线的距离为，
所以圆上的点到直线的最大距离为，D符合题意.
故答案为：BD.
【分析】由直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，逐项进行判断，可得答案.
10．【答案】A,B,D
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【解答】对于A，由，得，
由解得，因此无论m为何值，直线l恒过定点，A符合题意；
对于B，在中，令，得，
因此圆C截x轴所得弦长为，B符合题意；
对于C，直线l恒过的定点在圆内，当直线l过圆心时，直线l被圆截得的弦长最大，最大值为圆C直径4，C不符合题意；
对于D，直线l恒过的定点在圆内，当直线l与过点P的直径垂直时，直线l被圆截得的弦长最短，
最短弦长为，D符合题意．
故答案为：ABD
【分析】由直线恒过定点的求法可判断A；令圆的方程中的y=0，求得x，圆C截x轴所得弦长为，可判断B；由定点在圆C内，可得弦长的最大值为直径，可判断C；由定点P与C的连线与弦垂直时，截得的弦长最小，计算可判断D.
11．【答案】A,B,D
【知识点】两条直线平行的判定；两条直线的交点坐标
【解析】【解答】因为直线，，不能构成三角形，
所以存在，，过与的交点三种情况.
显然，.则直线的斜率分别为，，.
当时，有，即，解得；
当时，有，即，解得；
当过与的交点时.先联立，解得，则与的交点为，
代入，得，解得．
综上：或或．
故答案为：ABD．
【分析】 分，，过与的交点三种情况讨论即可求出 m的取值 .
12．【答案】B,C,D
【知识点】向量的线性运算性质及几何意义；平面向量数量积的运算
【解析】【解答】解：如图，
设，，，
则是空间的一个正交基底，则，
取的中点，连接，由于是的重心，则
则，
，
又，
则，
，
∴，则不平行于，A不正确；
，B符合题意；
，C符合题意；
，D符合题意．
故答案为：BCD．
【分析】根据OA， OB， OC两两垂直，设，，，则是空间的一个正交基底，根据空间向量运算逐项进行判断，可得答案.
13．【答案】
【知识点】斜率的计算公式；直线的点斜式方程
【解析】【解答】因为直线经过两点、且直线的斜率是，
所以，解得，所以点A的坐标为，
所以直线的方程为，化简可得，
故答案为：．
【分析】根据题意求解出m，再利用点斜式方程求解可得答案.
14．【答案】
【知识点】圆的标准方程；圆的一般方程
【解析】【解答】设所求圆的标准方程为，
由题意得：，解得：，
故所求圆的方程为，即．
故答案为：．
【分析】设所求圆的标准方程为，利用待定系数法求出a，b，r，可得圆的标准方程，进而求出圆C的一般方程.
15．【答案】2
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【解答】由题意知的圆心，半径为r，
圆心到y轴的距离为1，
因为圆C与y轴交于M，N两点，且，
，所以，
由垂径定理得，，
即，解得．
故答案为：2．
【分析】根据已知条件，结合垂径定理即可求解出r的值.
16．【答案】
【知识点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】如图，
为中点，为中心，平面，
设球O的半径为r，，
正四面体中，易求得
所以正四面体的高为，
所以根据体积公式得：
，解得，
因为点M在正四面体的表面运动，
所以，
所以
．
故答案为：．
【分析】根据向量的法则，分别求出正四面体ABCD的外接球半径和内切球半径，即可求出 的最大值 .
17．【答案】（1）解：由题意可知，则，
所以直线l方程为，即．
（2）解：设，由题意得，，D在直线上，
因为，所以直线方程为，，
又D在直线上，所以，
联立，解得，
所以．
【知识点】斜率的计算公式；两条直线平行的判定；两条直线垂直的判定；直线的点斜式方程
【解析】【分析】(1)先由直线平行求得 ，从而利用点斜式即可求得直线l的方程；
(2)先由点斜式得到BC的方程，从而得到 ， 再由AD⊥BC得到 ， 联立方程求解即可得到m，n的值，可得 D的坐标．
18．【答案】（1）证明：如图取的中点M，连接，．
∵F，M分别是，的中点，∴，．
又，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，∴．
又平面，平面，∴平面；
（2）解：如图，连接，以A为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
∴，，．
设平面的法向量为，则.
令，得，
∴到平面的距离为．
【知识点】直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】(1) 取的中点M，连接，，根据平行四边形性质得出CF// EM，故而推出 平面；
(2) 以A为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，求出平面的法向量，利用向量法可求出点到平面的距离．
19．【答案】（1）证明：由，得．
由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点．
（2）解：由题意可知，，
由题意可知直线l的倾斜角介于直线与的倾斜角之间，
又的倾斜角是，的倾斜角是，点横坐标在两点横坐标之间，因此直线可能与轴垂直，倾斜角可以是，
∴的取值范围是．
【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系；直线的点斜式方程
【解析】【分析】(1)直线l的方程可变形为 ， 由直线方程的点斜式可证得直线l恒过定点；
(2)求出直线AC， AB的斜率， 由题意可知直线l的倾斜角介于直线与的倾斜角之间， 进而求出直线的倾斜角的取值范围.
20．【答案】（1）证明：因为三棱柱是直三棱柱，
所以底面，底面，所以．
因为，，平面，平面，
所以平面．
所以，，两两垂直．
以B为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，
所以，，，，，，
因为，，，
所以，，
所以，，
因为，，平面，
所以平面．
（2）解：由题设．
设平面的法向量为，
因为，，
所以，即．
令，则．
因为平面的法向量为，
设平面与平面所成的夹角为，
则，
当时，取最小值为，此时取最大值为，
此时，符合题意．
故当时，面与面所成的夹角最小．
【知识点】向量语言表述线面的垂直、平行关系；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1）先证明 平面， 以B为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 利用向量法证明 ，， 由线面垂直的判定定理可证得 平面；
（2）求出平面的法向量和平面的法向量，再利用向量夹角公式求出两平面的夹角余弦，再求其最小值可得的取值.
21．【答案】（1）解：当切线斜率不存在时，直线与圆相切，此时切线方程为，
当切线斜率存在时，设切线斜率为k，直线方程为，即，
因此有，解得，此时直线方程为，
所以过点与圆O相切的直线方程为和．
（2）解：如图，，故四边形为平行四边形，因为，所以四边形为菱形，故与互相垂直平分，则线段OP的中点在圆O内，因此，
即，又，即，因此，解得，
所以实数的取值范围是．
【知识点】圆的切线方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】(1)分两种情况：当过点(1， 2)的直线斜率不存在时，当过点(1， 2)的直线斜率存在时，讨论直线与圆相切，即可求出过点与圆O相切的直线方程；
(2)由于在圆C上总存在不同的点A， B，使 ，可得AB垂直平分OP，分三种情况：当直线AB的斜率不为0时，当直线AB的斜率不存在时，当直线AB的斜率存在且不为0时，分析直线AB的方程，使得圆心到直线AB的距离 ，又 ，即可求出 的取值范围．
22．【答案】（1）解：设，因为P是圆C上动点，所以，
因为Q为圆C与x轴负半轴交点，所以，
设，因为E是中点，所以，即，
所以，即，
所以点E的轨迹方程为.
（2）解：当直线轴时，x轴平分.
当直线的斜率存在时，
设直线的方程为，，，，
由，得，
所以，．
若x轴平分，则，
∴，∴，
∴，
∴，
所以当点N为时，能使得x轴平分总成立
【知识点】圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】 (1)设 ，利用 P是圆C上动点及Q为圆C与x轴负半轴交点，可得Q的坐标，设 ，利用中点坐标公式得即可求出点E的轨迹方程；
(2) 当直线轴时，x轴平分，当直线AB斜率存在时， 设直线的方程为 ，联立圆与直线方程，消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理表示出两根之和与两根之积，由若x轴平分∠ANB，则 ，求出t的值，确定出此时N坐标.
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