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辽宁省沈阳市五校协作体2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷
一、单选题
1．（2022高二上·沈阳期中）已知 ，则下列向量中与 平行的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平行向量与共线向量
【解析】【解答】对于A选项，因为，所以A选项中的向量与不平行；
对于B选项，因为，所以B选项中的向量与不平行；
对于C选项，因为，所以C选项中的向量与不平行；
对于D选项，因为，所以D选项中的向量与平行；
故答案为：D.
【分析】根据空间向量共线的等价条件判断即可.
2．（2021高二上·杭州期中）两条平行直线和间的距离为，则，分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【知识点】两条平行直线间的距离
【解析】【解答】两直线平行，，解得，
将化为，
.
故答案为：D.
【分析】 由题意利用两条直线平行的性质求得a的值，再利用两条平行直线间的距离公式，计算求得答案.
3．（2020高二上·辽宁月考）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑 中， 平面BCD， ，且 ，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】异面直线及其所成的角；空间向量的数量积运算；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】四面体 是由正方体的四个顶点构成的，如下图所示
建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为
因为异面直线夹角的范围为 ，所以异面直线BM与CD夹角的余弦值为
故答案为：C
【分析】根据题意建立空间直角坐标系求出点以及向量的坐标，再由数量积的夹角公式代入数值计算出异面直线所成角的余弦值，由此求出异面直线所成角的大小。
4．（2022高三上·广东月考）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，这条直线后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点，则其欧拉线的一般式方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直线的一般式方程
【解析】【解答】显然为直角三角形，且为斜边，
所以其欧拉线方程为斜边上的中线，
设的中点为，由，
所以，由
所以的方程为，
所以欧拉线的一般式方程为.
故答案为：C.
【分析】写出BC的中点，根据点的坐标确定直线的斜率，由点斜式写出直线方程，转化成一般式即可。
5．（2022高二上·沈阳期中）已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若，则“”是“P，A，B，C四点共面”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】若A， B， C三点共线，所以存在实数非零实数，使得，
∴，即，即，
∴，其中，
若P， A， B， C四点共面， 且A， B， C三点不共线，所以存在实数m， n， 使得 ， 其中，
∴，即，
∴，即， 其中；
因为，但，
所以“”是“P， A， B， C四点共面”的充分不必要条件
故答案为：B
【分析】先找到P，A，B，C四点共面的充要条件，再进行判断.
6．（2022高二上·沈阳期中）是双曲线的左、右焦点，过左焦点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】设，则，，
，；
由双曲线定义可知：，，
，，
，，
，，则.
故答案为：D.
【分析】根据长度关系可得，利用双曲线定义可用表示出，，利用勾股定理可得，即可求得离心率.
7．（2022高三上·广东月考）已知棱长都为3的正三棱柱中，分别为棱上的点，当取得最小值时，与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】如图1，沿着棱将棱柱的侧面展开成一个矩形，
因为，
所以当取得最小值时，，，
如图2，在上取点，使得，连接，
因为，，
所以四边形为平行四边形，则，，
所以、与平面所成的角相等.
取的中点为，连接、，
因为，，
，平面，
所以平面，
则为与平面所成的角，即与平面所成的角，又，，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据直线与平面的位置关系，求出相应线段的长度，找到直线与平面所成的角，求出正弦值即可。
8．（2022高二上·沈阳期中）已知，分别为椭圆E：的左、右焦点，E上存在两点A，B使得梯形的高为c（其中c为半焦距），且，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】如图，因为，所以，则，为梯形的两条底边，
作于点P，则，因为梯形的高为c，所以，
在中，，则即．
设，则，在，
即，
解得，同理，
又，所以，即，
所以.
故答案为：A．
【分析】根据，所以，则，为梯形的两条底边，作于点P，所以，则可求得，再结合，建立的关系即可得出答案.
二、多选题
9．（2022高二上·沈阳期中）若方程所表示的曲线为，则下面四个命题中正确的是（ ）
A．若为椭圆，则 B．若为双曲线，则或
C．曲线可能是圆 D．若为双曲线，则焦距为定值
【答案】B,C
【知识点】椭圆的定义；双曲线的定义
【解析】【解答】若为椭圆，则且，故且 ，所以A不符合题意；
若为双曲线，则，故或，所以B符合题意；
若为圆，则，故，所以C符合题意；
若为双曲线，则或，当时，双曲线化为标准形式为，此时，所以 不是定值，则焦距也不为定值，同理焦距也不为定值，D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】二次曲线要表示椭圆需要满足且，要表示双曲线需要满足，要表示圆需要满足.
10．（2022高三上·广东月考）已知椭圆的左，右焦点分别为，椭圆的上顶点和右顶点分别为，B，若为椭圆上任意一点，且关于坐标原点对称，则（ ）
A．
B．面积的最大值为
C．四边形四边的平方和的最小值为12
D．椭圆上存在无数个点，使得
【答案】B,D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：如图所示，由已知得，点必在椭圆上，且，，.
A：，故不正确；
B：的面积为的面积的2倍，所以面积的最大值为，故正确；
C：因为，关于原点对称，且，关于坐标原点对称，所以四边形是平行四边形，
所以
，，
，
，
所以四边形四边的平方和等于，故不正确；
D：因为，所以以为直径的圆与椭圆有4个不同的交点，当位于圆内且在椭圆上时，，故正确.
故答案为：BD.
【分析】根据椭圆的标准方程，写出相应点的坐标，结合椭圆的性质，求出相应的值，逐一判断即可。
11．（2022高二上·沈阳期中）下列结论正确的是（ ）
A．若三点共线，则的值为0；
B．已知两点，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围为；
C．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1；
D．与圆相切，且在轴 轴上的截距相等的直线有三条.
【答案】A,C,D
【知识点】三点共线；两条直线的交点坐标；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】A选项，，
由于三点共线，所以共线，
所以，A选项正确.
B选项，，结合图象可知，直线的斜率的取值范围为，
所以B选项错误.
C选项，圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，所以圆上有且仅有3个点到直线的距离等于，
C选项正确.
D选项，当直线过原点时，设直线方程为，
圆心到直线的距离等于半径，
即，解得，直线方程为或.
当直线不过原点时，设直线方程为，
圆心到直线的距离等于半径，
即，解得或（舍去）.
直线方程为，
综上所述，与圆相切，且在轴 轴上的截距相等的直线有三条，D选项正确.
故答案为：ACD
【分析】根据三点共线、直线与线段有公共点、直线和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
12．（2022高二上·沈阳期中）如图所示，平行六面体，其中，，，，下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C．直线AC与直线是相交直线 D．与AC所成角的余弦值为
【答案】A,B
【知识点】平面向量数量积的运算；异面直线及其所成的角
【解析】【解答】由空间向量运算法则得到：，
所以
，
故，A符合题意；
因为，
所以
，
故，，B符合题意；
连接，
因为，且，所以四边形为平行四边形，
点平面，而点平面，
故直线AC与直线是异面直线，C不符合题意；
，，
，
又
，
，
故，
设与AC所成角为，
所以
故与AC所成角的余弦值为，D不符合题意.
故答案为：AB
【分析】A选项，利用空间向量运算法则得到，平方后由向量数量积公式求出求得，A正确；
B选项，求出，，得到B正确；
C选项，作出辅助线，得到四边形为平行四边形，点平面，而点平面，从而得到C错误；
D选项，先得到，，从而求出，，利用空间向量余弦夹角公式求出答案.
三、填空题
13．（2022高二上·恩施期中）一条光线从点处射到轴上，经轴反射后，反射光线经过点，则反射光线所在直线的倾斜角是 ．
【答案】120°
【知识点】斜率的计算公式；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】解：由题意可得点关于轴对称的点为，
则反射光线所在直线的斜率，
所以，反射光线所在直线的倾斜角为．
故答案为：120°
【分析】由题意可得点关于轴对称的点为，再根据斜率公式求解即可.
14．（2022高三上·浙江月考）已知双曲线恰好满足下列条件中的两个：①过点；②渐近线方程为；③离心率．则双曲线C方程为 ．
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】若选②③，，得，又，化简得，
可得，不符题意，故答案为：②③错；
若选①③，，得，过点，得，又由，得到，无解，故答案为：①③错；
若选①②，，化简得，又由且过点，得，解得，
故此时，双曲线C方程为
故答案为：
【分析】分类讨论，若选②③，由离心率可得a， b的关系，求出渐近线的方程，可得，不符题意；若选①③，由离心率的值可得a， b的关系，将M点的坐标代入不成立；选①②时，由②可得a， b的关系，将M点的坐标代入，可得a， b的值，求出双曲线的方程.
15．（2022高二上·武汉期中）如图，两条异面直线a，b所成角为，在直线上a，b分别取点，E和点A，F，使且.已知，，.则线段 .
【答案】或
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】因为，所以，
由于，，则，，
又因为两条异面直线a，b所成角为，所以或，
故，可得或.
故答案为：或
【分析】由题意，两边平方，结合已知条件和数量积的运算，可求出线段的长.
16．（2022高二上·沈阳期中）正方体中，点为线段上的动点.
①当为的中点时，面积最小；
②无论在线段的什么位置，均满足；
③在线段上存在一点，使得；
④三棱锥的体积为定值.
以上正确结论的序号为 .
【答案】①②④
【知识点】平面向量数量积的运算；点到直线的距离公式；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】对于①，易知当为的中点时，点到直线的距离最小，
即的高最小，所以面积最小成立；
对于②，设正方体棱长为，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，
所以，
所以，所以成立；
对于③，，
所以，
可得，故不存在一点，使得；
对于④，因为平面，平面，
所以平面，所以上的点到平面的距离相等，
，即三棱锥的体积为定值成立.
故答案为：①②④.
【分析】判断点到直线的距离最小情况，判断①，建立空间直角坐标系，写出点的坐标和向量的坐标，再利用向量的数量积以及夹角公式代入求解判断，即可判断②③，平面，所以上的点到平面的距离相等，判断④.
四、解答题
17．（2022高二上·湖北期中）已知向量，，.
（1）当时，若向量与垂直，求实数x和k的值；
（2）当时，求证：向量与向量，共面.
【答案】（1）解：因为，
所以，
解得，
因为，向量与垂直，
所以，
∴，
∴；
所以实数和的值分别为0和-3；
（2）证明：当时，，
设（），
则，
，解得，
即，
所以向量与向量，共面.
【知识点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；共线向量与共面向量
【解析】【分析】（1）由 求出 ，利用向量坐标运算法则求出 ，再由向量与垂直，求出k的值；
（2） 当时， ， 设（）， 列方程组求出的值，进而证得向量与向量，共面.
18．（2022高二上·沈阳期中）圆心在直线上的圆C，经过点，并且与直线相切
（1）求圆C的方程；
（2）圆C被直线分割成弧长的比值为的两段弧，求直线l的方程.
【答案】（1）解：设圆C的标准方程为，
由题意得，解得，
所以圆C的方程为；
（2）解：设直线与圆C交于B D两点，过点作，垂足为，
因为圆C被直线分割成弧长的比值为的两段弧，
所以，则，
即圆心C到直线l的距离为，且，
因为直线l的方程为，
所以，化简解得或，
故所求直线l的方程为或.
【知识点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）设圆C的标准方程为，由直线与圆相切的条件列出方程组，求出a b r；
（2）由题意求出圆心到直线l的距离，由点到直线的距离公式列出方程，求出k的值，代入直线方程即可.
19．（2022高二上·沈阳期中）如图所示，B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的北偏东30°方向2 km处，河流的沿岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远2 km．现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B，C两地转运货物．经测算，从M到B，C两地修建公路的费用都是a万元/km，求修建这两条公路的最低总费用．
【答案】解：如图所示，以AB的中点O为原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直坐标系xOy，则，，．连接AM，AC．因为，
所以点M的轨迹是双曲线的右支．
因为，当M，A，C三点共线时等号成立，
又总费用为万元，
所以，所以修建这两条公路的最低总费用为万元．
【知识点】双曲线的简单性质；函数模型的选择与应用
【解析】【分析】由，结合双曲线的定义可判断点M的轨迹是双曲线的右支，进而根据双曲线的性质即可求解.
20．（2022高二上·沈阳期中）如图，在直角中，，，，分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图.
（1）求证：平面；
（2）若，求与平面所成角的正弦值；
（3）当点在何处时，的长度最小，并求出最小值.
【答案】（1）证明：由题意知：，又，，即，；
又，，平面，
平面.
（2）解：，即，又，，
以为坐标原点，的方向为轴的正方向，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
，，；
设平面的法向量，
则，令，解得：，，，
，
即直线与平面所成角的正弦值为.
（3）解：设，则，
，，，
，
当，即为中点时，长度取得最小值.
【知识点】向量的模；直线与平面垂直的判定；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】（1）由平行关系可得，结合，由线面垂直的判定可证得结论；
（2） 以为坐标原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法可求得结果；
（3）设，利用空间向量模长的坐标运算可得，根据二次函数最值的求法可求得结果.
21．（2022高二上·沈阳期中）如图，四棱锥中，四边形ABCD为梯形，其中，，，平面平面.
（1）证明：；
（2）若，且PA与平面ABCD所成角的正弦值为，点F在线段PC上满足，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明：由题设，为等边三角形，则，
又四边形ABCD为梯形，，则，
在中，，
所以，即，
平面平面ABCD，平面平面，平面，
所以平面，
又平面，
故；
（2）解：若O为BD中点，，则，
平面平面ABCD，平面平面，平面，
则平面，
连接OC，则，且平面，
故，
综上，，，两两垂直，
以为原点，，，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，
所以，，，，
设且，则，
而平面的一个法向量为，，
所以，
可得，故，
所以，，，
若是面的一个法向量，则，
取，
若是平面的一个法向量，则，
取，
所以，
所以二面角的余弦值.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1）由题可得，根据面面垂直的性质定理可得平面，进而即得；
（2） 以为原点，，，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系， 利用坐标法，根据线面角的向量求法及面面角的向量求法即得.
22．（2022高二上·沈阳期中）设椭圆的左顶点为A，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，.
（1）求椭圆的方程；
（2）设P，Q为椭圆E上异于点A的两动点，若直线AP，AQ的斜率之积为.证明直线PQ恒过定点，并求出该点坐标.
【答案】（1）解：由于，①
又，②
由①②解得，
椭圆的方程为.
（2）证明：在（1）的条件下，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由，消去得：，
设，则，.
又，由题知，
则，且，
则.
，
则，
或
当时，直线的方程为，
此时直线过定点，显然不适合题意，
当时，直线的方程为.
此时直线过定点.
当直线的斜率不存在时，若直线过定点，
点的坐标分别为.
满足.
综上，直线过定点.
【知识点】恒过定点的直线；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意可得，， ，从而可求得椭圆的方程；
（2） 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 代入椭圆方程中消去，利用根与系数的关系，再结合化简可得，从而可得或，进而可求出定点， 当直线的斜率不存在时，若直线过定点，求出两点坐标，求解即可，
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辽宁省沈阳市五校协作体2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷
一、单选题
1．（2022高二上·沈阳期中）已知 ，则下列向量中与 平行的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021高二上·杭州期中）两条平行直线和间的距离为，则，分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
3．（2020高二上·辽宁月考）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑 中， 平面BCD， ，且 ，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022高三上·广东月考）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，这条直线后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点，则其欧拉线的一般式方程为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022高二上·沈阳期中）已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若，则“”是“P，A，B，C四点共面”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2022高二上·沈阳期中）是双曲线的左、右焦点，过左焦点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022高三上·广东月考）已知棱长都为3的正三棱柱中，分别为棱上的点，当取得最小值时，与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022高二上·沈阳期中）已知，分别为椭圆E：的左、右焦点，E上存在两点A，B使得梯形的高为c（其中c为半焦距），且，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022高二上·沈阳期中）若方程所表示的曲线为，则下面四个命题中正确的是（ ）
A．若为椭圆，则 B．若为双曲线，则或
C．曲线可能是圆 D．若为双曲线，则焦距为定值
10．（2022高三上·广东月考）已知椭圆的左，右焦点分别为，椭圆的上顶点和右顶点分别为，B，若为椭圆上任意一点，且关于坐标原点对称，则（ ）
A．
B．面积的最大值为
C．四边形四边的平方和的最小值为12
D．椭圆上存在无数个点，使得
11．（2022高二上·沈阳期中）下列结论正确的是（ ）
A．若三点共线，则的值为0；
B．已知两点，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围为；
C．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1；
D．与圆相切，且在轴 轴上的截距相等的直线有三条.
12．（2022高二上·沈阳期中）如图所示，平行六面体，其中，，，，下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C．直线AC与直线是相交直线 D．与AC所成角的余弦值为
三、填空题
13．（2022高二上·恩施期中）一条光线从点处射到轴上，经轴反射后，反射光线经过点，则反射光线所在直线的倾斜角是 ．
14．（2022高三上·浙江月考）已知双曲线恰好满足下列条件中的两个：①过点；②渐近线方程为；③离心率．则双曲线C方程为 ．
15．（2022高二上·武汉期中）如图，两条异面直线a，b所成角为，在直线上a，b分别取点，E和点A，F，使且.已知，，.则线段 .
16．（2022高二上·沈阳期中）正方体中，点为线段上的动点.
①当为的中点时，面积最小；
②无论在线段的什么位置，均满足；
③在线段上存在一点，使得；
④三棱锥的体积为定值.
以上正确结论的序号为 .
四、解答题
17．（2022高二上·湖北期中）已知向量，，.
（1）当时，若向量与垂直，求实数x和k的值；
（2）当时，求证：向量与向量，共面.
18．（2022高二上·沈阳期中）圆心在直线上的圆C，经过点，并且与直线相切
（1）求圆C的方程；
（2）圆C被直线分割成弧长的比值为的两段弧，求直线l的方程.
19．（2022高二上·沈阳期中）如图所示，B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的北偏东30°方向2 km处，河流的沿岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远2 km．现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B，C两地转运货物．经测算，从M到B，C两地修建公路的费用都是a万元/km，求修建这两条公路的最低总费用．
20．（2022高二上·沈阳期中）如图，在直角中，，，，分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图.
（1）求证：平面；
（2）若，求与平面所成角的正弦值；
（3）当点在何处时，的长度最小，并求出最小值.
21．（2022高二上·沈阳期中）如图，四棱锥中，四边形ABCD为梯形，其中，，，平面平面.
（1）证明：；
（2）若，且PA与平面ABCD所成角的正弦值为，点F在线段PC上满足，求二面角的余弦值.
22．（2022高二上·沈阳期中）设椭圆的左顶点为A，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，.
（1）求椭圆的方程；
（2）设P，Q为椭圆E上异于点A的两动点，若直线AP，AQ的斜率之积为.证明直线PQ恒过定点，并求出该点坐标.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行向量与共线向量
【解析】【解答】对于A选项，因为，所以A选项中的向量与不平行；
对于B选项，因为，所以B选项中的向量与不平行；
对于C选项，因为，所以C选项中的向量与不平行；
对于D选项，因为，所以D选项中的向量与平行；
故答案为：D.
【分析】根据空间向量共线的等价条件判断即可.
2．【答案】D
【知识点】两条平行直线间的距离
【解析】【解答】两直线平行，，解得，
将化为，
.
故答案为：D.
【分析】 由题意利用两条直线平行的性质求得a的值，再利用两条平行直线间的距离公式，计算求得答案.
3．【答案】C
【知识点】异面直线及其所成的角；空间向量的数量积运算；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】四面体 是由正方体的四个顶点构成的，如下图所示
建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为
因为异面直线夹角的范围为 ，所以异面直线BM与CD夹角的余弦值为
故答案为：C
【分析】根据题意建立空间直角坐标系求出点以及向量的坐标，再由数量积的夹角公式代入数值计算出异面直线所成角的余弦值，由此求出异面直线所成角的大小。
4．【答案】C
【知识点】直线的一般式方程
【解析】【解答】显然为直角三角形，且为斜边，
所以其欧拉线方程为斜边上的中线，
设的中点为，由，
所以，由
所以的方程为，
所以欧拉线的一般式方程为.
故答案为：C.
【分析】写出BC的中点，根据点的坐标确定直线的斜率，由点斜式写出直线方程，转化成一般式即可。
5．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】若A， B， C三点共线，所以存在实数非零实数，使得，
∴，即，即，
∴，其中，
若P， A， B， C四点共面， 且A， B， C三点不共线，所以存在实数m， n， 使得 ， 其中，
∴，即，
∴，即， 其中；
因为，但，
所以“”是“P， A， B， C四点共面”的充分不必要条件
故答案为：B
【分析】先找到P，A，B，C四点共面的充要条件，再进行判断.
6．【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】设，则，，
，；
由双曲线定义可知：，，
，，
，，
，，则.
故答案为：D.
【分析】根据长度关系可得，利用双曲线定义可用表示出，，利用勾股定理可得，即可求得离心率.
7．【答案】C
【知识点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】如图1，沿着棱将棱柱的侧面展开成一个矩形，
因为，
所以当取得最小值时，，，
如图2，在上取点，使得，连接，
因为，，
所以四边形为平行四边形，则，，
所以、与平面所成的角相等.
取的中点为，连接、，
因为，，
，平面，
所以平面，
则为与平面所成的角，即与平面所成的角，又，，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据直线与平面的位置关系，求出相应线段的长度，找到直线与平面所成的角，求出正弦值即可。
8．【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】如图，因为，所以，则，为梯形的两条底边，
作于点P，则，因为梯形的高为c，所以，
在中，，则即．
设，则，在，
即，
解得，同理，
又，所以，即，
所以.
故答案为：A．
【分析】根据，所以，则，为梯形的两条底边，作于点P，所以，则可求得，再结合，建立的关系即可得出答案.
9．【答案】B,C
【知识点】椭圆的定义；双曲线的定义
【解析】【解答】若为椭圆，则且，故且 ，所以A不符合题意；
若为双曲线，则，故或，所以B符合题意；
若为圆，则，故，所以C符合题意；
若为双曲线，则或，当时，双曲线化为标准形式为，此时，所以 不是定值，则焦距也不为定值，同理焦距也不为定值，D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】二次曲线要表示椭圆需要满足且，要表示双曲线需要满足，要表示圆需要满足.
10．【答案】B,D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：如图所示，由已知得，点必在椭圆上，且，，.
A：，故不正确；
B：的面积为的面积的2倍，所以面积的最大值为，故正确；
C：因为，关于原点对称，且，关于坐标原点对称，所以四边形是平行四边形，
所以
，，
，
，
所以四边形四边的平方和等于，故不正确；
D：因为，所以以为直径的圆与椭圆有4个不同的交点，当位于圆内且在椭圆上时，，故正确.
故答案为：BD.
【分析】根据椭圆的标准方程，写出相应点的坐标，结合椭圆的性质，求出相应的值，逐一判断即可。
11．【答案】A,C,D
【知识点】三点共线；两条直线的交点坐标；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】A选项，，
由于三点共线，所以共线，
所以，A选项正确.
B选项，，结合图象可知，直线的斜率的取值范围为，
所以B选项错误.
C选项，圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，所以圆上有且仅有3个点到直线的距离等于，
C选项正确.
D选项，当直线过原点时，设直线方程为，
圆心到直线的距离等于半径，
即，解得，直线方程为或.
当直线不过原点时，设直线方程为，
圆心到直线的距离等于半径，
即，解得或（舍去）.
直线方程为，
综上所述，与圆相切，且在轴 轴上的截距相等的直线有三条，D选项正确.
故答案为：ACD
【分析】根据三点共线、直线与线段有公共点、直线和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
12．【答案】A,B
【知识点】平面向量数量积的运算；异面直线及其所成的角
【解析】【解答】由空间向量运算法则得到：，
所以
，
故，A符合题意；
因为，
所以
，
故，，B符合题意；
连接，
因为，且，所以四边形为平行四边形，
点平面，而点平面，
故直线AC与直线是异面直线，C不符合题意；
，，
，
又
，
，
故，
设与AC所成角为，
所以
故与AC所成角的余弦值为，D不符合题意.
故答案为：AB
【分析】A选项，利用空间向量运算法则得到，平方后由向量数量积公式求出求得，A正确；
B选项，求出，，得到B正确；
C选项，作出辅助线，得到四边形为平行四边形，点平面，而点平面，从而得到C错误；
D选项，先得到，，从而求出，，利用空间向量余弦夹角公式求出答案.
13．【答案】120°
【知识点】斜率的计算公式；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】解：由题意可得点关于轴对称的点为，
则反射光线所在直线的斜率，
所以，反射光线所在直线的倾斜角为．
故答案为：120°
【分析】由题意可得点关于轴对称的点为，再根据斜率公式求解即可.
14．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】若选②③，，得，又，化简得，
可得，不符题意，故答案为：②③错；
若选①③，，得，过点，得，又由，得到，无解，故答案为：①③错；
若选①②，，化简得，又由且过点，得，解得，
故此时，双曲线C方程为
故答案为：
【分析】分类讨论，若选②③，由离心率可得a， b的关系，求出渐近线的方程，可得，不符题意；若选①③，由离心率的值可得a， b的关系，将M点的坐标代入不成立；选①②时，由②可得a， b的关系，将M点的坐标代入，可得a， b的值，求出双曲线的方程.
15．【答案】或
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】因为，所以，
由于，，则，，
又因为两条异面直线a，b所成角为，所以或，
故，可得或.
故答案为：或
【分析】由题意，两边平方，结合已知条件和数量积的运算，可求出线段的长.
16．【答案】①②④
【知识点】平面向量数量积的运算；点到直线的距离公式；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】对于①，易知当为的中点时，点到直线的距离最小，
即的高最小，所以面积最小成立；
对于②，设正方体棱长为，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，
所以，
所以，所以成立；
对于③，，
所以，
可得，故不存在一点，使得；
对于④，因为平面，平面，
所以平面，所以上的点到平面的距离相等，
，即三棱锥的体积为定值成立.
故答案为：①②④.
【分析】判断点到直线的距离最小情况，判断①，建立空间直角坐标系，写出点的坐标和向量的坐标，再利用向量的数量积以及夹角公式代入求解判断，即可判断②③，平面，所以上的点到平面的距离相等，判断④.
17．【答案】（1）解：因为，
所以，
解得，
因为，向量与垂直，
所以，
∴，
∴；
所以实数和的值分别为0和-3；
（2）证明：当时，，
设（），
则，
，解得，
即，
所以向量与向量，共面.
【知识点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；共线向量与共面向量
【解析】【分析】（1）由 求出 ，利用向量坐标运算法则求出 ，再由向量与垂直，求出k的值；
（2） 当时， ， 设（）， 列方程组求出的值，进而证得向量与向量，共面.
18．【答案】（1）解：设圆C的标准方程为，
由题意得，解得，
所以圆C的方程为；
（2）解：设直线与圆C交于B D两点，过点作，垂足为，
因为圆C被直线分割成弧长的比值为的两段弧，
所以，则，
即圆心C到直线l的距离为，且，
因为直线l的方程为，
所以，化简解得或，
故所求直线l的方程为或.
【知识点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）设圆C的标准方程为，由直线与圆相切的条件列出方程组，求出a b r；
（2）由题意求出圆心到直线l的距离，由点到直线的距离公式列出方程，求出k的值，代入直线方程即可.
19．【答案】解：如图所示，以AB的中点O为原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直坐标系xOy，则，，．连接AM，AC．因为，
所以点M的轨迹是双曲线的右支．
因为，当M，A，C三点共线时等号成立，
又总费用为万元，
所以，所以修建这两条公路的最低总费用为万元．
【知识点】双曲线的简单性质；函数模型的选择与应用
【解析】【分析】由，结合双曲线的定义可判断点M的轨迹是双曲线的右支，进而根据双曲线的性质即可求解.
20．【答案】（1）证明：由题意知：，又，，即，；
又，，平面，
平面.
（2）解：，即，又，，
以为坐标原点，的方向为轴的正方向，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
，，；
设平面的法向量，
则，令，解得：，，，
，
即直线与平面所成角的正弦值为.
（3）解：设，则，
，，，
，
当，即为中点时，长度取得最小值.
【知识点】向量的模；直线与平面垂直的判定；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】（1）由平行关系可得，结合，由线面垂直的判定可证得结论；
（2） 以为坐标原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法可求得结果；
（3）设，利用空间向量模长的坐标运算可得，根据二次函数最值的求法可求得结果.
21．【答案】（1）证明：由题设，为等边三角形，则，
又四边形ABCD为梯形，，则，
在中，，
所以，即，
平面平面ABCD，平面平面，平面，
所以平面，
又平面，
故；
（2）解：若O为BD中点，，则，
平面平面ABCD，平面平面，平面，
则平面，
连接OC，则，且平面，
故，
综上，，，两两垂直，
以为原点，，，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，
所以，，，，
设且，则，
而平面的一个法向量为，，
所以，
可得，故，
所以，，，
若是面的一个法向量，则，
取，
若是平面的一个法向量，则，
取，
所以，
所以二面角的余弦值.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1）由题可得，根据面面垂直的性质定理可得平面，进而即得；
（2） 以为原点，，，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系， 利用坐标法，根据线面角的向量求法及面面角的向量求法即得.
22．【答案】（1）解：由于，①
又，②
由①②解得，
椭圆的方程为.
（2）证明：在（1）的条件下，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由，消去得：，
设，则，.
又，由题知，
则，且，
则.
，
则，
或
当时，直线的方程为，
此时直线过定点，显然不适合题意，
当时，直线的方程为.
此时直线过定点.
当直线的斜率不存在时，若直线过定点，
点的坐标分别为.
满足.
综上，直线过定点.
【知识点】恒过定点的直线；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意可得，， ，从而可求得椭圆的方程；
（2） 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 代入椭圆方程中消去，利用根与系数的关系，再结合化简可得，从而可得或，进而可求出定点， 当直线的斜率不存在时，若直线过定点，求出两点坐标，求解即可，
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